基于稀疏和低秩先驗的雷達(dá)前視超分辨成像方法

唐軍奎 劉 崢 冉 磊 謝 榮 秦基凱 (西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

1 引言

雷達(dá)前視成像可以提供運動平臺正前方目標(biāo)的精細(xì)化電磁散射特性，在地形測繪、自動駕駛、精確制導(dǎo)等領(lǐng)域有多種應(yīng)用，目前已成為雷達(dá)成像技術(shù)研究的熱點和難點[1,2]。然而，由于沿飛行路徑多普勒頻率梯度較小，合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar,SAR)和多普勒波束銳化(Doppler Beam Sharpening,DBS)等常規(guī)方法無法實現(xiàn)前視高分辨率成像[3,4]。雙基地前視SAR (Bistatic Forward-looking SAR,BFSAR)可以克服常規(guī)SAR的限制，實現(xiàn)前視方向的高分辨率成像。然而，復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和同步問題很難解決[5,6]。通過掃描成像區(qū)域，利用實波束成像方法可以實現(xiàn)前視成像。但是，實波束成像方法方位分辨率與雷達(dá)天線孔徑成正比，而天線孔徑通常受到導(dǎo)彈或無人機(jī)(Unmanned Aerial Vehicle,UAV)等平臺的限制，因此實波束成像方法無法滿足小型運動平臺高分辨率成像要求[7,8]。

為了突破實波束分辨率的限制，國內(nèi)外學(xué)者對掃描雷達(dá)基于解卷積前視超分辨成像方法展開了深入研究。然而，由于掃描雷達(dá)的天線方向圖通常為低通濾波器，在解卷積過程中噪聲對成像結(jié)果影響較大。因此，傳統(tǒng)的解卷積方法是一個病態(tài)問題。為解決這個問題，文獻(xiàn)[9]在代數(shù)理論的背景下采用截斷奇異分解方法解決了反卷積成像中噪聲放大問題，從而有效提高了前視成像的角度分辨率。文獻(xiàn)[10]建立了一種多通道解卷積前視超分辨率成像信號模型，通過多通道聯(lián)合處理緩解了傳統(tǒng)單通道解卷積的病態(tài)問題?；谪惾~斯理論，文獻(xiàn)[11]使用拉普拉斯分布來描述目標(biāo)的先驗信息，并使用最大后驗概率準(zhǔn)則來解決相關(guān)的反卷積問題，從而實現(xiàn)掃描雷達(dá)的角度超分辨。雖然上述方法在一定程度上緩解了反卷積過程中噪聲放大問題，但是在強(qiáng)噪聲環(huán)境中依然難以獲得令人滿意的成像結(jié)果。此外，文獻(xiàn)[12]提出了一種基于單脈沖雷達(dá)和差通道多普勒估計的前視成像方法，提高了雷達(dá)前斜視方向的多目標(biāo)分辨能力。但是，這種方法的局限性在于需要同一個波束內(nèi)多個目標(biāo)存在多普勒差異。

近年來，壓縮感知(Compressed Sensing,CS)理論被引入雷達(dá)成像中，當(dāng)成像場景中目標(biāo)滿足稀疏條件時，可以利用低維觀測數(shù)據(jù)實現(xiàn)高維稀疏信號的準(zhǔn)確恢復(fù)。在實際雷達(dá)前視圖像中，強(qiáng)散射中心的數(shù)量通常遠(yuǎn)小于整個圖像上的像素數(shù)量。因此，在前視成像中基于CS方法利用短孔徑數(shù)據(jù)向長孔徑數(shù)據(jù)外推，這相當(dāng)于CS的一個特例，從而能夠?qū)崿F(xiàn)前視高分辨率圖像的重建。在文獻(xiàn)[13]中，Giusti等人詳細(xì)分析了使用CS重建超分辨逆合成孔徑雷達(dá)(Inverse Synthetic Aperture Radar,ISAR)圖像的性能，證明了CS對ISAR成像的適用性。在文獻(xiàn)[14]中，Zhang等人通過將改進(jìn)的傅里葉基與加權(quán)CS優(yōu)化相結(jié)合，實現(xiàn)了雙基逆合成孔徑雷達(dá)(Bistatic ISAR,Bi-ISAR)圖像的精確重建。此外，在文獻(xiàn)[15]中，一種基于多測量向量(Multiple Measurement Vectors,MMV)模型的CS-SAR成像方法被應(yīng)用于亞奈奎斯特率采樣下的高質(zhì)量和高分辨率成像，可以大大節(jié)省時間計算成本。然而，強(qiáng)噪聲在雷達(dá)成像中通常是不可避免的。噪聲分布稀疏性不足會對目標(biāo)的精準(zhǔn)重建產(chǎn)生重大影響，這對現(xiàn)有基于CS高分辨率成像方法提出了挑戰(zhàn)。為了克服強(qiáng)噪聲，稀疏先驗假設(shè)是最廣泛使用的方法。然而，單個稀疏約束不能解決所有問題，如何挖掘更多先驗信息對提高成像質(zhì)量至關(guān)重要。Qiu等人[16]提出一種聯(lián)合低秩和稀疏先驗(Joint Low-Rank and Sparsity,JLRS)的ISAR成像方法。當(dāng)數(shù)據(jù)隨機(jī)丟失時，利用回波數(shù)據(jù)的低秩特性和目標(biāo)的稀疏性來提高ISAR成像性能。但由于在約束模型中未考慮噪聲，因此在強(qiáng)噪聲環(huán)境中成像性能受到影響。Zhang等人[17]發(fā)現(xiàn)，將局部稀疏約束與非局部總變差(Nonlocal Total Variation,NLTV) 相結(jié)合，可以在基于CS的ISAR成像中抑制噪聲，并去除一些虛假強(qiáng)散射中心或雜波，同時保留目標(biāo)區(qū)域的幾何形狀。此外，Zeng等人[18]受到目標(biāo)二維分布稀疏性和低秩性的啟發(fā)，提出一種新的ISAR重建方法。實驗結(jié)果表明，此方法具有較高的成像質(zhì)量和較強(qiáng)的抗噪性能。然而，該方法由于使用二維矩陣的零范數(shù)作為稀疏約束，重建性能并不是最優(yōu)的。Zhang等人[19]提出了一種基于加權(quán)CS (Weighted CS,WCS)的ISAR成像方法，通過對目標(biāo)和噪聲的不同權(quán)重約束，提高了傳統(tǒng)CS成像方法對噪聲的魯棒性。

在上述文獻(xiàn)中，觀察到利用更多的先驗知識可以提高基于CS方法的成像性能。受到該啟發(fā)，建立了一種低秩和稀疏先驗相結(jié)合的多通道陣列雷達(dá)前視成像模型。本文的前視成像模型考慮了這個事實，即目標(biāo)在前視區(qū)域中是稀疏的，并且最終生成的前視圖像存在著大量冗余信息，這意味著前視圖像是低秩的。具體而言，利用低秩特性實現(xiàn)對圖像矩陣的恢復(fù)，同時利用稀疏先驗來檢測和區(qū)分強(qiáng)目標(biāo)和噪聲，以消除不可靠或虛假的強(qiáng)散射點。對于由此產(chǎn)生的雙重優(yōu)化問題，交替方向乘子法(Alternating Direction Multiplier Method,ADMM)[20]是解決該優(yōu)化問題的框架，并可以保證收斂。而且ADMM已在稀疏SAR/ISAR成像中得到廣泛應(yīng)用，其中的優(yōu)化問題受到多種函數(shù)的約束[16–18]。在本文中，推導(dǎo)了所提出優(yōu)化問題在ADMM框架下的增廣拉格朗日乘子(Augmented Lagrange Multiplier,ALM) 法，通過將優(yōu)化問題分解為幾個子問題，有效解決了所提出的優(yōu)化問題。

2 前視成像信號模型

UAV等小型運動平臺載多通道陣列雷達(dá)對正前方區(qū)域目標(biāo)成像的幾何示意圖，如圖1所示。在高度為H的雷達(dá)平臺上N個收發(fā)一體天線陣元以等間隔d均勻布置，陣列天線長度為L。其中雷達(dá)平臺以速度v移動，N個天線陣元以脈沖重復(fù)間隔(Pulse Repetition Interval,PRI)為時間間隔進(jìn)行切換，依次發(fā)射LFM信號并接收回波，即“單發(fā)單收”工作模式。假設(shè)雷達(dá)平臺正前方存在一個點目標(biāo)P(x0,y0,0)，則慢時間t時刻點目標(biāo)P到第n個陣列天線陣元的距離為

圖1 陣列雷達(dá)前視成像觀測幾何示意圖Fig.1 Array radar forward-looking imaging observation geometry schematic

對式(1)進(jìn)行2階泰勒展開，可以得到

由于在前視成像系統(tǒng)中R0較大，且無人機(jī)等小型平臺運動速度較慢以及飛行高度較低，因此式(2)中泰勒展開式的2階項非常小，可以忽略不計，則式(2)可以近似為

假設(shè)雷達(dá)發(fā)射的LFM信號為

其中，τ表示快時間，wr表示距離窗函數(shù)，fc為載頻，γ為調(diào)頻斜率?；夭ㄐ盘柦?jīng)過距離向脈壓后可以表示為

其中，C表示目標(biāo)的復(fù)散射系數(shù)，B為帶寬，c為光速，λ=c/fc表示波長。然后，對脈壓后的回波信號在頻域構(gòu)造距離走動校正因子，以消除平臺運動對回波的影響，距離走動校正后的回波信號可以表示為

其中，2vay0/λR0和2vx0/λR0分別是由陣列天線等效運動和平臺運動引起的多普勒頻率。則在一個距離單元內(nèi)(即x0為固定值)由平臺運動引起的多普勒頻率沿方位向的斜率為d(2x0v/λR0)/dy0=2vx0y0/。通常定義運動平臺正前方±10?為前視成像區(qū)域，因此有y0?x0，則多普勒頻率2x0v/λR0在方位向變化較小，這就是僅依靠傳統(tǒng)的單基SAR成像技術(shù)無法實現(xiàn)雷達(dá)前視高分辨成像的原因。

假設(shè)回波中共包含M個距離單元，忽略式(6)中的固定項exp(?jπ(4R0/λ))并校正相位因子exp(j2π(2x0v/(λR0))t)，同時考慮高斯白噪聲，則脈壓后的回波矩陣Src可以表示為

當(dāng)僅考慮目標(biāo)分布稀疏的先驗信息時，利用CS實現(xiàn)前視超分辨成像的優(yōu)化問題可以表示為

其中，∥·∥0和 ∥·∥F分別表示矩陣的l0范數(shù)和Frobenius范數(shù)。ε是取決于噪聲水平的常數(shù)。式(9)是一個MMV求解問題，可以通過貝葉斯算法[21,22]和迭代重加權(quán)算法[23,24]來解決，從而得到圖像矩陣X。然而，在實際應(yīng)用中，回波中通常存在強(qiáng)噪聲，噪聲分布的非稀疏性會破壞目標(biāo)的稀疏分布，導(dǎo)致基于CS的超分辨成像方法性能嚴(yán)重惡化，主要表現(xiàn)為成像中丟失重要目標(biāo)或出現(xiàn)大量虛假目標(biāo)。因此提高低信噪比下基于CS前視超分辨成像方法的穩(wěn)健性至關(guān)重要。

3 聯(lián)合低秩和稀疏的前視成像方法

3.1 低秩特性分析

本文在已知目標(biāo)分布稀疏的基礎(chǔ)上利用最終生成圖像包含大量冗余信息的特性，對圖像矩陣X進(jìn)行低秩約束，提高在強(qiáng)噪聲環(huán)境中基于CS前視雷達(dá)成像的性能。首先對圖像矩陣X的低秩特性進(jìn)行分析。根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)，X的秩滿足

同時信號矩陣Y的秩滿足

其中，K0為成像場景中強(qiáng)散射點的總數(shù)。

由式(10)和式(11)可以得到

式(12)表明如果成像場景中強(qiáng)散射點目標(biāo)的數(shù)量小于Y的維度，即小于N或M，則Y和X的低秩特性同時滿足。通常，感興趣的目標(biāo)相對于整個成像場景而言只占很小一部分，因此在不考慮噪聲的條件下，接收的回波信號能量可以用幾個較大的特征值表示，大特征值對應(yīng)目標(biāo)的強(qiáng)散射點信息。這一事實表明，如果目標(biāo)是稀疏的，則接收到的信號矩陣Y是低秩的，同時最終生成的圖像矩陣X也是低秩的。

然而當(dāng)考慮到噪聲影響時，回波矩陣Src和圖像矩陣X的低秩特性并不滿足。圖2(a)給出了由4.1節(jié)點目標(biāo)仿真實驗中的信號矩陣Y和在SNR=5 dB時回波矩陣Src的特征值分布，可以明顯看出在無噪聲時信號矩陣Y特征值衰減很快，這表明該數(shù)據(jù)的低秩特性。與之相反，由于在低SNR下噪聲能量較高從而破壞了回波矩陣Src的低秩特性。使用傳統(tǒng)的基于CS成像方法生成的圖像矩陣X的特征值分布如圖2(b)所示，可以看出在不考慮噪聲時，最終生成的前視圖像具有低秩的特性。由于傳統(tǒng)的CS成像方法對噪聲抑制能力有限，在強(qiáng)噪聲條件下導(dǎo)致生成圖像中存在大量的虛假目標(biāo)，從而影響圖像低秩特性。以上實驗結(jié)果證實了所重建的高質(zhì)量圖像應(yīng)具有低秩特性。因此，可以對圖像矩陣X進(jìn)行低秩約束，從而提高對噪聲的抑制能力。

圖2 回波和生成的圖像的特征值分布對比Fig.2 Eigenvalue distribution comparison of echo and generated image

3.2 低秩和稀疏相結(jié)合的前視成像求解方法

本節(jié)中，圖像矩陣X的稀疏特性以及低秩特性被用于前視圖像的重建，通過對X的雙重約束提高對噪聲的抑制能力。由此形成如下稀疏與低秩相結(jié)合的前視成像模型：

其中，rank(·)表示秩函數(shù)。λ1是一個用于平衡l0范數(shù)和X秩的正則化參數(shù)，λ2是一個考慮噪聲水平的正則化參數(shù)。

考慮到秩函數(shù)rank(·)和l0范數(shù)的求解是NP難題，無法對其進(jìn)行具體求解，所以將rank(·)和l0范數(shù)分別凸松弛為核范數(shù)和l1范數(shù)。則式(13)中的優(yōu)化問題可以改寫為

為方便求解式(14)，令Z=X,J=X，則式(14)中的優(yōu)化問題可以重新表示為

式(15)在ADMM框架下的增廣拉格朗日函數(shù)為L(Z,J,X,E,Q1,Q2,Q3,Q4,u1,u2,u3,u4)

其中，Q1,Q2,Q3,Q4表示拉格朗日乘子矩陣，u1,u2,u3,u4表示懲罰項系數(shù)。然后利用ADMM方法交替估計變量Z,J,X,E，即在保證其他變量不變的情況下估計一個變量，直至滿足收斂條件。

更新Z：固定J,X,E，更新Z的優(yōu)化子問題為

將奇異值閾值(Singular Value Thresholding,SVT)算法[25]應(yīng)用到式(17)中的核范數(shù)最小化優(yōu)化，可以得到

式(21)X的最小優(yōu)化問題求解結(jié)果為

最后，更新E：固定Z,J,X，更新E的優(yōu)化子問題為

式(23)E的最小優(yōu)化問題求解結(jié)果為

通過不斷迭代求解，直至滿足終止條件，最終得到圖像矩陣X。具體的算法處理步驟如表1所示。

4 仿真和實測實驗結(jié)果分析

ρ1=ρ2=ρ3=ρ4=1.2,最大迭代次數(shù)為200，正則化參數(shù)λ1和λ2取值范圍分別為(0,4]和[2,4]。

本節(jié)利用仿真和實測數(shù)據(jù)實驗來驗證所提前視高分辨成像方法的性能。所有實驗結(jié)果均與實波束成像方法、CS方法、WCS[20]方法以及JLRS[17]方法進(jìn)行對比。為了后續(xù)描述方便以及與JLRS方法區(qū)分，將提出的方法簡寫為FLI-CLRS (Forward-Looking Imaging method Combining Low-Rank and Sparsity)。對于所有實驗，評估算法性能中的SNR均為回波脈壓后的，實驗部分參數(shù)設(shè)置如下：

4.1 點目標(biāo)仿真實驗結(jié)果

本節(jié)實驗中，利用仿真點目標(biāo)來驗證所提方法的性能。假設(shè)雷達(dá)工作在Ka波段，“單發(fā)單收”模式下的雷達(dá)工作參數(shù)見表2。成像場景中共包含9個點目標(biāo)如圖3(a)所示，相鄰兩目標(biāo)方位向間距約為8 m，距離向間距為4 m。根據(jù)雷達(dá)工作參數(shù)設(shè)定，可以計算出該實驗中距離向分辨率為1 m，方位向分辨率約為32 m。因此利用實波束成像方法不能區(qū)分同一距離單元內(nèi)的3個點目標(biāo)，如圖3(b)所示。圖3(c)給出了在無噪聲條件下利用傳統(tǒng)的CS成像方法超分辨成像結(jié)果，可以看出9個點目標(biāo)清晰可分，這證實了利用CS的方法進(jìn)行超分辨成像的合理性。接下來向回波信號中添加高斯白噪聲以驗證所提方法在強(qiáng)噪聲環(huán)境中的穩(wěn)健性。

圖3 點目標(biāo)分布以及成像結(jié)果Fig.3 Point target distribution and imaging results

表2 仿真實驗雷達(dá)參數(shù)Tab.2 Radar parameters for simulation experiment

圖4給出了在SNR=5 dB時傳統(tǒng)CS方法、WCS方法、JLRS方法以及本文所提FLI-CLRS方法成像結(jié)果對比。從圖4可以明顯看出：在強(qiáng)噪聲環(huán)境中CS方法以及WCS方法未能將點目標(biāo)完全重建，且存在部分目標(biāo)主瓣能量嚴(yán)重擴(kuò)散問題。從視覺上看，JLRS方法成像結(jié)果要好于CS以及WCS方法，但是仍然存在目標(biāo)未能重建的問題。相比而言，本文所提FLI-CLRS方法成像結(jié)果如圖4(d)所示，很明顯看到9個點目標(biāo)清晰可分辨，且目標(biāo)能量基本得到聚集，說明了FLI-CLRS方法具有更強(qiáng)的噪聲抑制能力。

圖4 SNR=5 dB時仿真點目標(biāo)不同方法成像結(jié)果對比Fig.4 Comparison of imaging results of different methods for simulated point targets when SNR=5 dB

然后，利用不同SNR下不同成像方法的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)和圖像相關(guān)性(Correlation,Corr)[17]來定量描述所提FLICLRS成像方法的性能。其中，圖3(c)成像結(jié)果作為參考圖像，更小的RMSE和更高的Corr意味著更好的重建性能。不同成像方法在SNR分別為–5 dB,0 dB,5 dB,10 dB,15 dB時進(jìn)行200次蒙特卡羅實驗，成像結(jié)果的RMSE和Corr如圖5所示。由圖5(a)可以看出：在較高SNR條件下，各種方法的RMSE均較小，但是隨著SNR的下降，CS,WCS以及JLRS方法RMSE升高明顯較快，而所提出的FLI-CLRS方法依舊具有較低的RMSE。同時由圖5(b)可以看出：所提出的FLI-CLRS在同一SNR下Corr明顯高于其他3種方法。以上結(jié)果表明了本文方法具有穩(wěn)健的超分辨成像性能。

圖5 仿真點目標(biāo)的RMSE和Corr對比Fig.5 RMSE and Corr comparison of simulation point targets

4.2 實測數(shù)據(jù)實驗結(jié)果

為驗證所提方法對實測數(shù)據(jù)的成像性能，在西安電子科技大學(xué)某一停車場對兩輛汽車?yán)肁WR2243級聯(lián)雷達(dá)進(jìn)行超分辨成像，實驗設(shè)備以及實驗場景如圖6所示。其中，AWR2243級聯(lián)雷達(dá)設(shè)備可以支持遠(yuǎn)程雷達(dá)波束形成的應(yīng)用以及具有增強(qiáng)角度分辨率性能的中程和短程多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷達(dá)的應(yīng)用。當(dāng)AWR2243級聯(lián)雷達(dá)工作在MIMO雷達(dá)模式時，共包含12個發(fā)射天線陣元以及16個接收天線陣元，根據(jù)等效相位中心原理，方位向等效陣列長度約為0.16 m，共包含86個等效天線陣元。AWR2243級聯(lián)雷達(dá)在本節(jié)實驗中關(guān)鍵的參數(shù)如表3所示。

表3 AWR2243 雷達(dá)關(guān)鍵參數(shù)Tab.3 Key parameters of AWR2243 radar

圖6 實測數(shù)據(jù)實驗場景及雷達(dá)平臺Fig.6 Experimental scenarios of measured data and radar platform

圖7(a)給出AWR2243雷達(dá)方位向等效的86個天線回波數(shù)據(jù)利用實波束成像方法的成像結(jié)果，可以看出基本能夠區(qū)分開兩輛汽車。然后利用等效天線中1～24的天線回波進(jìn)行實波束成像結(jié)果如圖7(b)所示，此時相當(dāng)于縮短了陣列天線長度，兩輛汽車完全重疊在一起，難以進(jìn)行區(qū)分。因此可以利用這1～24天線的回波來驗證所提算法的超分辨性能。此外，圖7(c)給出了86個天線回波基于CS方法的成像結(jié)果。由圖7(a)和圖7(c)的成像結(jié)果可以看出：基于CS的成像結(jié)果具有分辨率高，旁瓣低的優(yōu)點?？紤]到實際的實測環(huán)境中SNR較高，因此向回波中添加高斯白噪聲以達(dá)到所需的SNR。

實測數(shù)據(jù)實驗中不同方法在SNR=5 dB時的成像結(jié)果如圖8所示。從視覺直觀角度可以看出，在低信噪比下CS和WCS成像方法性能較差，兩輛汽車幾乎未能得到重建，并出現(xiàn)較多虛假目標(biāo)。相比而言，JLRS和FLI-CLRS成像方法較為穩(wěn)健，即使僅用24個天線回波數(shù)據(jù)，兩輛汽車仍能清晰可分，超分辨成像結(jié)果也沒有明顯的虛假散射點。但所提的FLI-CLRS比JLRS成像更為密集，這說明其對目標(biāo)的弱散射分量具有更好的重建能力以及對噪聲更強(qiáng)的抑制能力。為了更好地體現(xiàn)所提方法超分辨成像的穩(wěn)健性，在圖9給出在不同SNR下不同方法成像結(jié)果RMSE以及Corr，其中圖7(c)作為參考圖像。從圖9可以看出，在同一SNR下所提FLI-CLRS成像方法具有更低的RMSE以及更高的Corr，進(jìn)一步證實了所提方法的優(yōu)越性能。

圖7 實測數(shù)據(jù)成像結(jié)果Fig.7 Measured data imaging results

圖8 SNR=5 dB時實測數(shù)據(jù)不同方法成像結(jié)果對比Fig.8 Comparison of imaging results of different methods for measurd data when SNR=5 dB

圖9 實測數(shù)據(jù)的RMSE和Corr對比Fig.9 RMSE and Corr comparison of measurd data

5 結(jié)語

傳統(tǒng)的基于CS的成像方法容易受到噪聲的影響，成像結(jié)果會出現(xiàn)大量虛假目標(biāo)或者部分目標(biāo)未能得到重建。本文同時考慮了目標(biāo)的稀疏性以及圖像的低秩特性，構(gòu)建結(jié)合稀疏和低秩的前視成像模型，并在ADMM框架下利用ALM方法解決所提模型中的雙重約束問題，能夠獲得穩(wěn)健的前視超分辨圖像。仿真和實測數(shù)據(jù)的實驗結(jié)果表明，相比于目前基于CS的成像方法，本文方法不僅可以突破實波束分辨率的限制實現(xiàn)超分辨成像，而且具有較強(qiáng)的噪聲魯棒性，從而保證目標(biāo)的重建性能。