基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究

武玨 陳艷紅

摘要：《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》中清晰地指出了六大數(shù)學(xué)與核心素養(yǎng)，六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之首是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。而向量有著幾何和代數(shù)的相結(jié)合的身份，向量的理論和方法是解決其他學(xué)科：例如向量為物理學(xué)研究的重要工具?；谝陨媳尘?，本文選擇在抽象素養(yǎng)培養(yǎng)方面具有代表性的平面向量的概念作為研究載體，系統(tǒng)研究數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在課堂中的落實(shí)問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 抽象素養(yǎng) 平面向量概念

一、平面向量知識(shí)地位與作用

向量的地位在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中非常重要。幾何學(xué)為高中數(shù)學(xué)課程的幾大主線之一，向量的引入為解決傳統(tǒng)綜合幾何問題提供了新的思路，給學(xué)生的解題帶來了便利。2017 年頒布的《普通高中中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的概念，必修課程包括五個(gè)主題，平面向量及其應(yīng)用在幾何與代數(shù)中。

二、新舊課標(biāo)對(duì)高中平面向量的概念要求

新課標(biāo)提出要理解平面向量的基本要素。大小和方向是平面向量的基本要素，務(wù)必要與有向線段的三要素大小、起點(diǎn)和方向進(jìn)行辨別。此次新《課標(biāo)》中明確提出這一點(diǎn)，想必是為了讓學(xué)生認(rèn)清平面向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系，并進(jìn)一步給出自由向量的概念。

三、高中數(shù)學(xué)“平面向量實(shí)際背景及基本概念”教材分析

（一）平面向量的概念來自于物理學(xué)“力”及生活中“位移”的抽象

史寧中在《數(shù)學(xué)思想概論》指出抽象深度大概可以分為簡(jiǎn)約階段、符號(hào)階段和普適階段這三個(gè)階段。張勝利，孔凡哲在史寧中教授提出的抽象深度的三個(gè)階段的基礎(chǔ)上進(jìn)一步將數(shù)學(xué)抽象劃分為四個(gè)層次：實(shí)物層面、半符號(hào)層面、符號(hào)層面、形式化層面抽象。比較這些步驟的異同點(diǎn)，認(rèn)為實(shí)物層面抽象和半符號(hào)層面抽象屬于史寧中教授提出的簡(jiǎn)約階段。根據(jù)教材中所出示的抽象過程，可以得出向量的概念是基于物理學(xué)中的“力”抽象而成的。

牛頓最開始用的有向線段代表向量，是為了更好地表達(dá)力、速度、位移等物理學(xué)中基本的要素。在本質(zhì)上，力的概念包括三個(gè)基本要素：力的作用點(diǎn)、力的方向和力的大小。能夠同時(shí)表達(dá)這三個(gè)要素的數(shù)學(xué)符號(hào)就是向量：力的起點(diǎn)用作用點(diǎn)表示，力的方向用箭頭表示，力的大小用長度表示。但在抽象的過程中，史寧中在《高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問題——數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)模型》中提出在數(shù)學(xué)中向量是自由的；物理學(xué)或?qū)嶋H應(yīng)用中，矢量是限定的，矢量的起點(diǎn)尤其重要，因?yàn)樗橇Φ淖饔命c(diǎn)。由此得知，這是屬于抽象方式中的“弱抽象”，減弱物理中“力”的特殊性，舍去對(duì)象的“作用點(diǎn)”這一特征而僅抽取大小和方向來加以概括，形成比原對(duì)象“力”更為普遍、更為一般的“向量”對(duì)象的一種抽象方法。

四、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能

1.了解向量的物理背景。

2.采用類比的方式，將物理中用有向線段表示力的大小和方向來掌握向量的表示方式，了解物理中矢量與向量間的區(qū)別。

3.掌握零向量、單位向量這兩個(gè)特殊的向量的概念，學(xué)會(huì)辨別共線向量、相等向量以及相反向量。

（二）過程與方法

通過生活中的位移舉例子，在熟悉的現(xiàn)實(shí)世界中抽象出向量的概念，掌握向量的表示方法。

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過觀察生活實(shí)例，在抽象出平面向量的概念過程中來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

2.培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的探究精神。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境——引入概念

實(shí)物層面抽象：通過“位移”和“力”抽象出向量的概念

問題：金校長要把這次空中課堂上課所需要的物件送到需要的老師手上，那么金校長從學(xué)校O處出發(fā)，把東西送到A老師家，然后從A老師家再到B老師家，從O點(diǎn)到 A 點(diǎn)有一個(gè)位移，

[A][O][B] 問：位移和距離有什么區(qū)別？

學(xué)生預(yù)設(shè)：位移具有方向，而距離沒有方向。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在生活中去發(fā)現(xiàn)位移和距離之間的區(qū)別和聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界。

（二）觀察歸納——形成概念

半符號(hào)層面抽象：類比數(shù)字的由來提出提煉共性、總結(jié)概念

問題：現(xiàn)實(shí)世界中同學(xué)們還發(fā)現(xiàn)是否有既有大小又有方向的量嗎？請(qǐng)同學(xué)們舉例說明，并相互討論這些量是如何體現(xiàn)大小的方向？

學(xué)生預(yù)設(shè)：學(xué)生能容易地舉出重力、浮力、作用力等物理中學(xué)過的量。

（設(shè)計(jì)意圖：掌握抽象概念中豐富的實(shí)例，幫助學(xué)生提煉共性，初步認(rèn)識(shí)概念的，為下一步的更進(jìn)一步抽象概括做預(yù)備。）

教師：在物理學(xué)科中，這些既有大小又有方向的量統(tǒng)稱矢量；在數(shù)學(xué)中如長度、時(shí)間等這些只有大小有方向的量統(tǒng)稱標(biāo)量。由同學(xué)們的思考和舉例可知，現(xiàn)實(shí)世界中有只有大小沒有方向的量，也有既有大小又有方向的量。類似于從一棵樹、一朵花中抽象出“1”這個(gè)大小的數(shù)，數(shù)學(xué)中對(duì)位移、力既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象形成一種新的量——向量。

（三）討論研究——深化概念

符號(hào)層面抽象：得到向量概念數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)（幾何表達(dá)）

老師：那么向量可以如何表示呢？請(qǐng)按照要求畫出物體所受到的“力”學(xué)生活動(dòng)：借助物理情境，借助物理背景進(jìn)行研究。學(xué)生很容易找到各力的大小和方向。

老師：現(xiàn)在，只研究其具體的大小和方向，能觀察出什么呢？

學(xué)生預(yù)設(shè)：具體物體可抽象出成點(diǎn)的概念，力可抽象成有向線段的概念。

老師：初中時(shí)學(xué)過線段可以用AB、a 表示，有向線段應(yīng)該怎樣表示呢？數(shù)學(xué)上規(guī)定了一種比較形象的表示方法，記做：AB，或者用[a→]表示，注意AB和BA不是同一個(gè)向量。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生已經(jīng)知道線段的表示方法，有向線段在線段的基礎(chǔ)上加上一個(gè)箭頭即可，類比實(shí)數(shù)大小的表示，得到向量大小的表示方式。）

老師：由相等向量的概念可以得出，它的方向和模確定一個(gè)向量。由此，同學(xué)們可以用有向線段來表示數(shù)學(xué)中的向量，那么向量就等同于有向線段嗎？向量和物理學(xué)中的“力”有什么區(qū)別？

總結(jié)：向量沒有起點(diǎn)，而有向線段有起點(diǎn)，力也有作用點(diǎn)，但是向量只有“大小和方向”兩個(gè)要素，力這是舍棄了“力”中的作用點(diǎn)抽象而成的。

（四）總結(jié)反思——提高認(rèn)識(shí)

形式化層面抽象：向量概念的系統(tǒng)化和普適化。

1.向量的模

問題：向量能比較大小嗎？

老師：向量有大小這樣的屬性，大小是可以比較的，但是方向卻無法比較大小。實(shí)數(shù)的大小用絕對(duì)值表示，于此進(jìn)行類比，[AB]記作AB的模。

2.零向量和單位向量的認(rèn)識(shí)

問題：同學(xué)們，在我們學(xué)習(xí)的數(shù)中，哪些實(shí)數(shù)比較特殊？

老師：數(shù)字0、1 比較特殊。你能說出這兩個(gè)數(shù)字特殊的理由嗎？

學(xué)生預(yù)設(shè)：在實(shí)數(shù)中，0正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)；1 時(shí)常作為“單位”，起到了至關(guān)重要的作用。

（設(shè)計(jì)意圖：通過類比實(shí)數(shù)的方法得處向量有關(guān)的概念，提升學(xué)生的類比思維。）

老師：同學(xué)們思考類比特殊實(shí)數(shù)是否能得出特殊向量呢？

學(xué)生預(yù)設(shè)：認(rèn)為零向量的長度是 0，單位向量的長度是 1，最為特殊，引出單位向量和零向量。

（設(shè)計(jì)意圖：這表明他們已經(jīng)在把向量集與實(shí)數(shù)集作類比。以梳理邏輯出發(fā)，從內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行原理型抽象，自然會(huì)想到零向量、單位向量的特殊性。）

（設(shè)計(jì)意圖：通過問題驅(qū)動(dòng)的方式設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，突出了學(xué)生在課堂上的主體地位。學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象，再從具體到抽象再到概括的過程。）

六、總結(jié)鞏固——知識(shí)小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的向量的概念、幾個(gè)特殊的向量、向量之間的關(guān)系等相關(guān)知識(shí)。教師總結(jié)概念抽象的過程：觀察實(shí)例、提煉共性、總結(jié)概念、得到概念數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)、建立完整的體系。