多元智能視角下《橢圓》教學(xué)的探索*

俞 昕|浙江省杭州高級中學(xué)錢江校區(qū)

霍華德·加德納認(rèn)為人的智能是一個(gè)復(fù)雜的綜合體，涵蓋語言、空間視覺、運(yùn)動、音樂、數(shù)理邏輯、人際關(guān)系、自我認(rèn)知、自然觀察者（博物學(xué)家）、存在等智能.他還認(rèn)為：每個(gè)人都有各自的智能強(qiáng)項(xiàng)和弱項(xiàng)，即優(yōu)勢智能與弱勢智能；通過教育培養(yǎng)可以提高人的智能，即多元智能發(fā)展水平的高低關(guān)鍵在于后天的開發(fā)；應(yīng)有意識地捕捉不同智能發(fā)展的最佳時(shí)機(jī)；不同智能之間存在“瓶頸效應(yīng)”“補(bǔ)償效應(yīng)”和“催化效應(yīng)”［1］.

有些學(xué)生的優(yōu)勢智能中有數(shù)理邏輯智能，教師可以借助其他智能讓學(xué)生的數(shù)理邏輯智能發(fā)揮得淋漓盡致；有些學(xué)生的優(yōu)勢智能中沒有數(shù)理邏輯智能，但這并不代表他們的智能結(jié)構(gòu)中沒有數(shù)理邏輯智能，只是數(shù)理邏輯智能沒有位于智能結(jié)構(gòu)的頂層，或者說隱藏著沒有被真正開發(fā).

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，其中蘊(yùn)含的思想方法與核心素養(yǎng)涉及各個(gè)領(lǐng)域，擁有不同智能特征與優(yōu)勢智能的學(xué)生都需要數(shù)學(xué)思想與理性精神的浸潤，都有通過不同方式發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的需求與權(quán)利.因此，要使多元智能理論真正服務(wù)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師就要在教學(xué)中充分利用學(xué)生的多元智能，助推其數(shù)理邏輯智能，培養(yǎng)學(xué)生的“四基四能三會六素養(yǎng)”，從而落實(shí)立德樹人根本任務(wù).在人教A版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線的方程》的教學(xué)中，筆者對多元智能視角下的的《橢圓》教學(xué)進(jìn)行了探索.

一、多元智能視角下的《橢圓》教學(xué)問題分解

橢圓是學(xué)生高中階段所學(xué)的第一種圓錐曲線.《橢圓》教學(xué)對其所在單元的教學(xué)有引領(lǐng)作用.《圓錐曲線的方程》的教學(xué)要求學(xué)生研究圓錐曲線（幾何圖形），研究過程中要以數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法統(tǒng)領(lǐng)全局.教材按橢圓、雙曲線、拋物線的順序安排了三節(jié)內(nèi)容，三種圓錐曲線的研究思路、過程和方法是“同構(gòu)”的，對每一種圓錐曲線的研究都是按照“曲線的幾何特性—曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程—通過方程研究曲線的性質(zhì)—應(yīng)用”的過程展開的.在具體展開過程中，教材把橢圓作為重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)它的典型示范作用，注重?cái)?shù)學(xué)思想和基本方法的引領(lǐng)性，而雙曲線、拋物線的研究過程通過類比橢圓來完成.

《橢圓》教學(xué)中涉及數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想，從學(xué)習(xí)過程與結(jié)果來看這也是教學(xué)難點(diǎn)，而突破難點(diǎn)的一個(gè)途徑是挖掘?qū)W生的多元智能.不是每一個(gè)學(xué)生都具有較強(qiáng)的數(shù)理邏輯智能，因此要使具有不同智能優(yōu)勢的學(xué)生都能沉浸于對橢圓的學(xué)習(xí)，達(dá)成單元課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，教師就需要充分挖掘蘊(yùn)含在《橢圓》一節(jié)中的多元智能元素，將其滲透在單元課時(shí)教學(xué)目標(biāo)當(dāng)中，激發(fā)學(xué)生的優(yōu)勢智能，進(jìn)而用優(yōu)勢智能助推數(shù)理邏輯智能，產(chǎn)生“催化效應(yīng)”和“補(bǔ)償效應(yīng)”.

在具體操作中，教師可以先將大問題分解為幾個(gè)結(jié)構(gòu)化的、具有邏輯序列的基本問題，再將基本問題分解為一連串有意義的、相互聯(lián)系的具體問題（詳見表1）.在教學(xué)開始之前，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用“五何”問題分類法提出感興趣和疑惑的問題：“是何”類問題，如橢圓的定義是什么；“為何”類問題，如為什么要研究橢圓；“如何”類問題，如選擇怎樣的方法研究橢圓；“由何”類問題，如我們可以由哪些方面來研究橢圓；“若何”類問題，如學(xué)習(xí)了橢圓后對我們有什么啟發(fā)和幫助.

表1 《橢圓》教學(xué)中的大問題、基本問題和具體問題

二、多元智能視角下的《橢圓》教學(xué)設(shè)計(jì)

基于對《橢圓》一節(jié)大問題、基本問題、具體問題的分解，筆者探求解決以上問題的多元路徑，力求讓學(xué)生的多元智能在學(xué)習(xí)中發(fā)揮重要作用，增強(qiáng)其對橢圓探究的興趣.具體探究過程如下.

（一）以語言智能助推數(shù)理邏輯智能

筆者先要求學(xué)生在正式開課前就收集好橢圓的相關(guān)資料，并整理歸類.上課伊始，筆者讓學(xué)生展示（結(jié)合PPT）自學(xué)成果.學(xué)生基于橢圓研究的歷史一致達(dá)成“數(shù)學(xué)具有超前性”的認(rèn)識：橢圓最初被研究僅僅是因?yàn)閿?shù)學(xué)家們的愛好，和實(shí)際應(yīng)用并沒有什么聯(lián)系，而在將近兩千年之后，人們才發(fā)現(xiàn)橢圓與自然界的物體運(yùn)動、天文學(xué)及軍事科技等有著密切的聯(lián)系.此外，對于橢圓不同定義以及研究方法的變化，不同科學(xué)家存在側(cè)重與偏愛.部分學(xué)生將收集的資料表述如下.

生1：我對教材的章頭圖進(jìn)行追本溯源，查詢到古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯用垂直于圓錐錐面的一條母線的平面截圓錐，當(dāng)圓錐頂角為銳角、直角、鈍角時(shí)，分別得到我們熟知的橢圓、拋物線、雙曲線.

生2：鼎鼎大名的歐幾里得也對圓錐曲線有過深入研究.他在《圓錐曲線》一書中對圓錐曲線知識進(jìn)行匯總，可惜該書已失傳.他在《面軌跡》一書中不加證明地給出了圓錐曲線的定義：“到定點(diǎn)與到定直線的距離之比等于給定比的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線：當(dāng)給定比小于1時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)給定比等于1時(shí)，軌跡是拋物線；當(dāng)給定比大于1時(shí)，軌跡是雙曲線.”

生3：阿基米德是第一個(gè)利用輔助圓來繪制橢圓的人，這是均勻壓縮思想的起源.

生4：在學(xué)習(xí)圓方程的時(shí)候曾經(jīng)接觸過阿波羅尼奧斯圓，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中提出了487個(gè)命題，對橢圓進(jìn)行系列闡述.

生5：“天空立法者”開普勒發(fā)現(xiàn)行星的運(yùn)行軌道是橢圓，并最先提出橢圓焦點(diǎn)、離心率等概念.

生6：自從笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)立了解析幾何之后，人們就開始從代數(shù)的角度來研究橢圓問題.

生7：旦德林利用一個(gè)圓錐的內(nèi)切球，證明了橢圓的截面定義與軌跡定義的等價(jià)性，此球被稱為旦德林球.

師：教材中使用的橢圓定義方法是固定一根繩子兩端畫橢圓，這一方法是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰給出的橢圓機(jī)械作圖三種方法中的一種.（借助動畫演示，詳細(xì)地向?qū)W生介紹教材中橢圓的定義）

在收集資料的過程中，有一件事令學(xué)生非常郁悶，那就是關(guān)于橢圓研究的歷史資料多數(shù)來源于西方，我國古代對于橢圓的研究頗少.我國古代關(guān)于橢圓的知識都是從國外傳入的，傳入的時(shí)期主要是在明末清初.第一個(gè)帶來橢圓知識的是利瑪竇——來自意大利的傳教士.這激發(fā)了學(xué)生的愛國熱情和歷史責(zé)任感，并由此帶來一種學(xué)習(xí)緊迫感，促使學(xué)生更加努力地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以便讓將來有更多的數(shù)學(xué)新發(fā)現(xiàn)由中國來書寫.同時(shí)，在當(dāng)堂表述橢圓研究相關(guān)資料的過程中，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了知識互通、智能互補(bǔ).

（二）以空間視覺智能助推數(shù)理邏輯智能

在學(xué)生表述之后，筆者借助直觀想象，先抽象出幾何圖形，讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)問題和圖形間的轉(zhuǎn)換，再將橢圓與矩形聯(lián)系，讓學(xué)生感受圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)換.

師：感謝同學(xué)們?yōu)槲覀儙砹巳绱素S富的橢圓歷史資料，下面讓我們類比之前學(xué)習(xí)直線方程與圓方程的方法來探究橢圓方程，大家有哪些想法？

生1：剛才有同學(xué)提到均勻壓縮思想，我的想法是類比正方形壓縮為矩形的過程，橢圓可以看成是通過壓縮圓得到的，那么橢圓方程應(yīng)該可以通過伸縮變換圓方程得到.

師：你的想法非常棒！你具有非常豐富的空間想象能力，從空間視覺上確實(shí)可以實(shí)現(xiàn)由圓伸縮變換為橢圓的操作.我們可以先來看看教材第108頁的例2.

在解決了這個(gè)問題之后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)回歸到橢圓的定義，引導(dǎo)學(xué)生思考如何通過定義得到橢圓的方程，將幾何的視覺直觀進(jìn)一步過渡到嚴(yán)格的代數(shù)推理論證.筆者提出以下問題，引導(dǎo)學(xué)生思考解決.

問題1：運(yùn)用“建設(shè)限代化”五步坐標(biāo)法推導(dǎo)橢圓方程，首先要建立坐標(biāo)系，以便運(yùn)算和化簡.那么，如何建立坐標(biāo)系呢？

問題2：在建立好的坐標(biāo)系中，思考如何將橢圓定義的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言.由此可以得到一個(gè)方程，即橢圓方程.

問題3：你得到的橢圓方程能否進(jìn)一步化簡？如何化簡？

問題4：從數(shù)學(xué)簡潔美和對稱美的視角來看，你能將個(gè)人化簡過的方程進(jìn)一步簡潔化和優(yōu)美化嗎？

問題5：大家可能得到了不同的橢圓方程，這些方程之間有何聯(lián)系？

問題6：為什么教材中得到的橢圓方程被稱為“標(biāo)準(zhǔn)方程”？這個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”體現(xiàn)在哪里？

這六個(gè)問題層層遞進(jìn)，有助于使擁有不同智能優(yōu)勢的學(xué)生都能進(jìn)行該課時(shí)的核心問題解決，學(xué)生可以沿著問題串拾級而上.即使不具備數(shù)理邏輯優(yōu)勢智能的學(xué)生，在該問題串的引導(dǎo)下也基本能通過獨(dú)立探究或合作交流得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

波格列諾夫認(rèn)為，由于解析幾何可以作為解決各類問題的一種普遍適應(yīng)的方法，因此對于解析幾何來說，確定無疑的內(nèi)容顯然并不重要，重要的反而是一種方法，這個(gè)方法的實(shí)質(zhì)在于將幾何圖形與方程組進(jìn)行對應(yīng)，使得圖形的性質(zhì)得以表現(xiàn)出來［2］.

因此，在相關(guān)教學(xué)中，筆者努力滲透與“解析法”相關(guān)的各種數(shù)學(xué)思想方法，使它們在學(xué)生各類優(yōu)勢智能中形成關(guān)聯(lián)與互動，以此體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法之間的統(tǒng)一性，進(jìn)而使它們在學(xué)生的頭腦中串聯(lián)成思維導(dǎo)圖，并沉淀內(nèi)化為牢固的知識.知識的外形可以忘記，而經(jīng)過內(nèi)化的知識，猶如鹽之在水，可以了無痕跡地影響學(xué)生的一生.

（三）以人際關(guān)系智能助推數(shù)理邏輯智能

合作探究可以為獨(dú)立思考錦上添花.在橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體，并組織不同程度的合作探究活動.如在得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程之后，筆者給學(xué)生學(xué)習(xí)共同體布置以下探究任務(wù).

問題1：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中蘊(yùn)含著三個(gè)參數(shù)a，b，c，這三個(gè)參數(shù)的幾何意義是什么？

問題2：三個(gè)參數(shù)間的關(guān)系a2=b2+c2與勾股定理有著驚人的巧合，你能否在橢圓圖形中找到這樣的等量關(guān)系？

問題3：焦點(diǎn)位置不同，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程會發(fā)生怎樣的變化？

問題4：如何從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中辨別出橢圓的焦點(diǎn)位置？

筆者充分調(diào)動學(xué)生的人際關(guān)系優(yōu)勢智能，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體中充分爭鳴、辨析、論證、共鳴，使其對所得結(jié)論既知其然又知其所以然，從而把握住相關(guān)概念的來龍去脈.

（四）以自我認(rèn)知智能助推數(shù)理邏輯智能

《橢圓》是《圓錐曲線的方程》這一章的第一節(jié)，因此在教學(xué)時(shí)，教師有必要讓學(xué)生對所學(xué)的階段性知識進(jìn)行內(nèi)省.筆者設(shè)計(jì)各種變式幫助學(xué)生鞏固橢圓定義的內(nèi)涵和外延，調(diào)動學(xué)生的自我認(rèn)知智能.

變式1：若平面內(nèi)一動點(diǎn)M到兩點(diǎn)F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）的距離之和為8，則點(diǎn)M 形成的軌跡是什么？

變式2：若點(diǎn)M 在運(yùn)動過程中滿足式子=12，則點(diǎn)M形成的軌跡是什么？

變式3：若點(diǎn)M 在運(yùn)動過程中滿足式子=8，則點(diǎn)M形成的軌跡是什么？

變式4：若點(diǎn)M 在運(yùn)動過程中滿足式子=10，則點(diǎn)M形成的軌跡是什么？

變式5：已 知Δ ABC 的 周 長 為10，點(diǎn)B( -4,0 )，點(diǎn)C( 4,0 )，則點(diǎn)A形成的軌跡是什么？

此外，調(diào)動自我認(rèn)知智能的另一種途徑是開展編題活動，編題是解題的延伸且境界更高，是自我認(rèn)知的進(jìn)階階段.在《橢圓》教學(xué)中，筆者“即興小酌”式地滲透編題意識，讓學(xué)生進(jìn)行以下思考.

思考1：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程需要幾個(gè)條件？你能編制一個(gè)求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的問題嗎？

思考2：如果已知某一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，你能從此標(biāo)準(zhǔn)方程中獲取哪些信息？你能就此編制一個(gè)問題嗎？

（五）以運(yùn)動智能助推數(shù)理邏輯智能

擁有運(yùn)動優(yōu)勢智能的學(xué)生擅長采用動手的方式學(xué)習(xí)，喜歡直接接觸那些能夠體現(xiàn)或表達(dá)某一種觀念的信息或素材.課堂中，教師可以根據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)如下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［3］.

（1）折紙活動：如圖1-1，在一張圓形紙片內(nèi)部設(shè)置一個(gè)不同于圓心的一點(diǎn)，折疊紙片，使圓的周界上有一點(diǎn)落于設(shè)置點(diǎn)；如圖1-2，折疊數(shù)次，形成一系列折痕，它們整體地勾畫出一條曲線的輪廓.

圖1 圓形紙片折疊

（2）觀察、猜想：眾多折痕圍出一個(gè)橢圓.

（3）“幾何畫板”動態(tài)演示折紙過程及形成的橢圓.

（4）探究橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)C、點(diǎn)B的距離和等于圓的半徑，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的本質(zhì)特征，進(jìn)而由學(xué)生概括、教師補(bǔ)充，形成橢圓的定義.

（5）根據(jù)橢圓的定義，推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（六）以自然觀察者智能助推數(shù)理邏輯智能

筆者努力延伸課堂，引導(dǎo)學(xué)生在課后探尋自然界和實(shí)際生活中橢圓的范例與應(yīng)用，挖掘其中的探究點(diǎn)，并與同學(xué)分享.這可以作為數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)或數(shù)學(xué)建模的良好素材，為擁有自然觀察者優(yōu)勢智能的學(xué)生提供用武之地.以下是學(xué)生課后分組合作探究形成的部分成果.

成果1：電影放映燈泡的橢圓面反射鏡，可以證明橢圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓內(nèi)一定點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過橢圓反射后都經(jīng)過橢圓內(nèi)另一定點(diǎn)，這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn).利用這個(gè)光學(xué)性質(zhì)可以確定片門（電影膠片通過的地方）的位置，并使在片門處的光線最強(qiáng).

成果2：為了給開展勞動教育創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)校決定開墾出一塊平行四邊形形狀的自留自種地，并為其建立圍墻，現(xiàn)計(jì)劃以A，B 兩點(diǎn)作為該平行四邊形一條對角線的兩個(gè)頂點(diǎn)，提供總長為2000米的圍墻，如果你是設(shè)計(jì)師，請指出這個(gè)平行四邊形區(qū)域另外兩個(gè)頂點(diǎn)C，D可選擇的位置.

成果3：開放性任務(wù)，查閱關(guān)于太陽系的信息，闡述為什么橢圓在太陽系研究中很重要，解釋為什么一個(gè)精確描述行星運(yùn)動軌跡的方程很有用.

這樣的研究問題沒有一個(gè)可以預(yù)期的解題路徑，需要學(xué)生具有較為復(fù)雜、綜合、多元的非算法化思維，是激發(fā)學(xué)生多元智能的良好素材.

三、滲透多元智能進(jìn)行教學(xué)的思考

（一）潛移默化，讓人人都學(xué)習(xí)到屬于自己的數(shù)學(xué)

將多元智能滲透于教學(xué)，需要教師長期堅(jiān)持，潛移默化.在制訂單元課時(shí)教學(xué)目標(biāo)時(shí)，教師就要考慮實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的路徑，因?yàn)榈缆冯m有千萬條，但適合才是第一條.教師可以針對大問題，設(shè)計(jì)基本問題和具體問題，在具體的教學(xué)過程中以問題串的形式激發(fā)學(xué)生潛藏的多元智能，為學(xué)生指明通向數(shù)學(xué)知識的多條路徑，讓學(xué)生都能夠?qū)W習(xí)到屬于自己的數(shù)學(xué)（即適合自己智能特征的數(shù)學(xué)，或在學(xué)習(xí)過程中能引起智能共鳴），而不是為學(xué)生提供一連串的概念、方法或定義等.

（二）遍地開花，讓人人都收獲到意想不到的數(shù)學(xué)

將多元智能滲透于教學(xué)，需要教師精心預(yù)設(shè)，多元生成.在進(jìn)行單元課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師需要大膽精心地作出預(yù)設(shè)，既要設(shè)計(jì)教學(xué)問題，又要給學(xué)生留足自由發(fā)揮的空間.教師要轉(zhuǎn)變理念，由知識傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)設(shè)計(jì)者和引導(dǎo)者，讓擁有不同優(yōu)勢智能的學(xué)生都有展示自我、發(fā)揮優(yōu)勢智能的機(jī)會與空間，進(jìn)而促使學(xué)生由碎片化知識的獲取轉(zhuǎn)變?yōu)檎闲越Y(jié)構(gòu)化知識體系的構(gòu)建，促使學(xué)生由被動接受的淺層學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃舆w移應(yīng)用的深度學(xué)習(xí).在此過程中，學(xué)生不僅能使自身的優(yōu)勢智能得到體現(xiàn)，而且可以經(jīng)歷與同伴間多種智能的碰撞.在碰撞中，學(xué)生會摩擦出靈感的火花，收獲意想不到的數(shù)學(xué)，最終實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展.□◢