例析條件概率問題的四種解法

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學(xué) 徐春生

在很多的實(shí)際問題中,都存在條件概率問題。要求條件概率,必須先了解條件概率的定義與相關(guān)的計(jì)算公式,將問題轉(zhuǎn)化為條件概率問題,分清誰是條件誰是結(jié)論,掌握對(duì)應(yīng)的性質(zhì),然后根據(jù)實(shí)際問題,結(jié)合相關(guān)的方法來求解。

一、定義法

根據(jù)條件概率的定義,也就是條件概率的計(jì)算公式,先求P(A)(P(A)＞0)和P(AB),再由定義,即可求解P(B|A)。

例1甲、乙、丙、丁4名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng),社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教育咨詢、交通宣傳等四個(gè)項(xiàng)目,每人限報(bào)其中一項(xiàng),記事件A為“4 名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”,事件B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”,則P(A|B)=( )。

點(diǎn)評(píng):要解決條件概率問題,要分清事件A、B及其條件的構(gòu)成,要厘清相關(guān)的定義與對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式,結(jié)合對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式加以分析與處理。解決條件概率問題時(shí),關(guān)鍵是抓住條件概率的定義,把問題加以轉(zhuǎn)化再分析與處理。

二、古典概型的基本事件法

當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí),可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB),得。這是條件概率的定義在古典概型條件下的特殊模型。

例2(多選題)為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年,謳歌中華民族偉大復(fù)興的百年奮斗歷程,增進(jìn)全體黨員干部職工對(duì)黨史知識(shí)的了解,某地開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),以黨支部為單位參加比賽。某黨支部在5道黨史題中(包含3 道選擇題和2 道填空題),不放回地依次隨機(jī)抽取2道題作答,設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”,事件B為“第2次抽到選擇題”,則下列結(jié)論中正確的是( )。

點(diǎn)評(píng):本例的事件為古典概型,利用基本事件數(shù)來解決相應(yīng)的條件概率問題,方法巧妙。

三、縮減樣本空間法

在事件A發(fā)生的前提之下,進(jìn)而確定事件B的縮減樣本空間ΩA=Ω∩A,并在ΩA中計(jì)算事件B發(fā)生的概率,從而得到條件概率P(B|A)。這是條件概率與實(shí)際操作過程中產(chǎn)生的有效的等價(jià)轉(zhuǎn)化方式。

例3在100 件產(chǎn)品中有95 件合格品,5 件不合格品,現(xiàn)從中不放回地取兩次,每次任取一件,則在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率為____。

解析：第一次取到不合格品后,也就是在第二次取之前,還有99 件產(chǎn)品,其中有4 件不合格品。

點(diǎn)評(píng):利用縮減樣本空間法求條件概率的步驟:(1)縮——將原來的基本事件全體Ω縮減為事件A,原來的事件B縮減為AB;(2)數(shù)——數(shù)出事件A中所包含的基本事件AB;(3)算——利用求得結(jié)果。

四、性質(zhì)法

由條件概率和對(duì)立事件的定義,可得條件概率的性質(zhì):P(|A)=1-P(B|A),利用該性質(zhì)可以解決一些相關(guān)的條件概率問題。這是針對(duì)一些復(fù)雜的條件概率的求解而采用的逆向思維所產(chǎn)生的特殊模型。

例4如圖1,三行三列的方陣有9個(gè)數(shù)aij(i=1,2,3,j=1,2,3),從中任取3 個(gè)數(shù),則在取到a22的條件下,至少有2個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為_____。

圖1

點(diǎn)評(píng):解決本題時(shí),直接求解可能會(huì)沒有頭緒,由于“在取到a22的條件下,至少有2個(gè)數(shù)位于同行或同列”無法直接來解決,而通過條件概率的性質(zhì)法,從對(duì)立面去分析,即利用對(duì)立事件的概率來轉(zhuǎn)化,巧妙有效。