“三個(gè)基本事實(shí)”快樂導(dǎo)學(xué)

■王佩其

“三個(gè)基本事實(shí)”刻畫了平面的性質(zhì),是論證立體幾何位置關(guān)系的基石,是立體幾何學(xué)習(xí)不可忽視的重要內(nèi)容。

一、把握“三個(gè)基本事實(shí)”的表述與作用

基本事實(shí)1:過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。作用:一是確定平面;二是證明點(diǎn)、線共面問題;三是判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)。

基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)。作用:既可判斷直線和點(diǎn)是否在平面內(nèi),又能說(shuō)明平面是無(wú)限延展的。

基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。作用:判斷兩平面相交的依據(jù);判斷點(diǎn)在直線上的依據(jù)。

二、證明點(diǎn)、線共面

例1(1)如圖1,已知A,B,C,D,E是空間的五個(gè)點(diǎn),且線段CE、AC和BD兩兩相交,求證:A,B,C,D,E這五個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)。

圖1

(2)如圖2,已知A,B,C,D是空間的四個(gè)點(diǎn),且點(diǎn)A,B,C在同一直線l上,點(diǎn)D不在直線l上。求證:直線AD,BD,CD在同一平面內(nèi)。

圖2

證明：(1)設(shè)CE∩BD=M,CA∩BD=N。因?yàn)镃A∩CE=C,所以CA,CE確定一個(gè)平面α。

因?yàn)镸∈CE,所以M∈α。同理N∈α。所以直線MN即直線BD?α,所以B∈α,D∈α。故A,B,C,D,E這五個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)。

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C在同一直線l上,點(diǎn)D不在直線l上,所以點(diǎn)A,B,D確定唯一平面α,所以l?α。因?yàn)镃∈l,所以C∈α。

因?yàn)锳,B,C,D∈α,所以AD?α,BD?α,CD?α,故直線AD,BD,CD在同一平面內(nèi)。

方法點(diǎn)撥：證明點(diǎn)、線共面問題的兩種常用方法:先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面,再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi),即為“納入法”;先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α,其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β,再證平面α與β重合,即為“同一法”。

三、證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題

例2(1)如圖3,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面α內(nèi),它的三邊AB,BC,AC延長(zhǎng)后分別交平面α于點(diǎn)P,Q,R,求證:P,Q,R三點(diǎn)在同一條直線上。

圖3

圖4

證明：(1)已知AB的延長(zhǎng)線交平面α于點(diǎn)P,根據(jù)基本事實(shí)3,平面ABC與平面α必相交于一條直線,設(shè)為直線l。

因?yàn)镻∈直線AB,所以P∈平面ABC。又因?yàn)锳B∩α=P,所以P∈平面α,所以P是平面ABC與平面α的公共點(diǎn)。

因?yàn)槠矫鍭BC∩α=l,所以P∈l。同理可得Q∈l,R∈l。

故P,Q,R三點(diǎn)在同一條直線上。

同理,P∈平面BCD。

又因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD=BD,所以P∈BD,所以EH,BD,FG三條直線相交于同一點(diǎn)P。

方法點(diǎn)撥：證明多點(diǎn)共線問題,可證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi),再證明點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上,也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上;證明三線共點(diǎn)問題,可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線,證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn),再證點(diǎn)重合,從而得三線共點(diǎn)。