培養(yǎng)靈感：在課堂教學(xué)中轉(zhuǎn)變學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的策略

衛(wèi)向陽(yáng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）中指出：“數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮不可替代的作用。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)?！边@里既說明了數(shù)學(xué)的重要，又明確了數(shù)學(xué)課是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的主陣地?！皵?shù)學(xué)是思維的體操”“把數(shù)學(xué)課上成思維訓(xùn)練課”已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教師的共識(shí)，其中每一次思維方式的轉(zhuǎn)變，都是學(xué)生靈感爆發(fā)的時(shí)機(jī)，也是數(shù)學(xué)課上最突出、最精彩、最有價(jià)值的體現(xiàn)，更是教師激發(fā)、培養(yǎng)學(xué)生靈感的最佳契機(jī)。

一、深研教材，準(zhǔn)確洞悉靈感的產(chǎn)生點(diǎn)

新課標(biāo)指出：“能夠根據(jù)已知事實(shí)或原理，合乎邏輯地推出結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系；能夠運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算、形式推理等數(shù)學(xué)方法，分析、解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。” 基于對(duì)新課標(biāo)的認(rèn)知，我們可以簡(jiǎn)單地理解為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在用舊知識(shí)解決新問題，并形成新的、更高層面結(jié)論的過程。學(xué)生在解決新問題的過程中不僅要掌握新知識(shí)，更要學(xué)習(xí)解決問題的方法，而激發(fā)靈感的契機(jī)就隱藏在一次次的解決問題中。

（一）新舊知識(shí)的契合處就是靈感的產(chǎn)生點(diǎn)

解決新問題的過程需要多項(xiàng)知識(shí)、技能、方法的集中參與，小學(xué)階段的學(xué)習(xí)大多數(shù)是從知識(shí)層面解決問題。從心理學(xué)角度講，是單一知識(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)向多項(xiàng)知識(shí)的提取和運(yùn)用，這也是一種思維方式的轉(zhuǎn)變，在這一過程中，新舊知識(shí)的契合點(diǎn)就是靈感的產(chǎn)生點(diǎn)。

例如，教學(xué)小數(shù)除法18.9÷6=？（北師大版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)第一單元“打掃衛(wèi)生”一課）時(shí)，教師出示問題后，學(xué)生會(huì)按小數(shù)除以整數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)除到末尾有余數(shù)時(shí)按以前的慣例就不計(jì)算了，這個(gè)時(shí)候就需要學(xué)生轉(zhuǎn)變認(rèn)識(shí)，想辦法繼續(xù)除下去，這就是本課的新舊知識(shí)契合點(diǎn)。要想解決此問題，學(xué)生要聯(lián)想到以下三種已有知識(shí)中的一種。

一是聯(lián)想到生活經(jīng)驗(yàn)：3在這里表示3角，3角也就是30分，這樣就可以繼續(xù)分下去了。

二是聯(lián)想到小數(shù)計(jì)數(shù)單位：3可以表示3個(gè)0.1，也可以表示30個(gè)0.01。

三是聯(lián)想到小數(shù)基本性質(zhì)：3在小數(shù)的末尾，根據(jù)小數(shù)的基本性質(zhì)，小數(shù)末尾添0或去掉0，小數(shù)的大小不變，可以在3的后面添0繼續(xù)除。

用框圖可以如圖1所示：

很顯然，轉(zhuǎn)變解決問題的角度，將有效知識(shí)順利提取，與問題結(jié)合進(jìn)行再加工，就是解決此問題的靈感來源。由于知識(shí)是顯性的，對(duì)于這類靈感的產(chǎn)生教師比較容易把握，這類教學(xué)教師處理得較好。

（二）思維轉(zhuǎn)變的細(xì)微差異就是靈感的爆發(fā)點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要正確把握教材中的知識(shí)體系，更要挖掘其思維的內(nèi)涵，賦予其實(shí)際的思維內(nèi)容。現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材有兩條線，一條是明線，即知識(shí)和技能，另一條是隱含其中的思想和方法。這些思想和方法同樣既有延續(xù)，又有突破，而很多突破并不明顯，往往被教師忽略。

例如，“三角形的面積”一課，很多教師將其定位為教學(xué)數(shù)學(xué)的“轉(zhuǎn)化思想”，這本身沒有問題，因?yàn)槠涞拇_是 “平行四邊形的面積”一課的思路延續(xù)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將未知圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)生已經(jīng)會(huì)求面積的圖形。但是，很多教師并沒有意識(shí)到這里轉(zhuǎn)變方法發(fā)生了質(zhì)的變化，要由“割補(bǔ)法”變成“倍拼法（用兩個(gè)完全一樣的三角形轉(zhuǎn)化成一個(gè)已經(jīng)會(huì)求面積的圖形）”，具體如圖2所示：

其中由“用一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化”到“用兩個(gè)完全一樣的圖形轉(zhuǎn)化”就是思考角度轉(zhuǎn)變、突破的地方，這就需要激發(fā)學(xué)生的靈感，也是教師培養(yǎng)學(xué)生思維能力的契機(jī)。在北師大版數(shù)學(xué)教材中，有些內(nèi)容在課題前標(biāo)注“探索活動(dòng)”，其目的就是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)體驗(yàn)、感悟?qū)W習(xí)思維方式的轉(zhuǎn)變。但這些內(nèi)容是暗線，不容易把握，所以需要教師更深層次地領(lǐng)悟課程，從中找到細(xì)微的差別，激發(fā)學(xué)生的靈感。

在本課的教學(xué)中有如下片段。

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積，還記得我們是怎么得到它的計(jì)算公式的嗎？

生：我們用割補(bǔ)法，沿平行四邊形的高切開，再把它平移到另一側(cè)，這樣就轉(zhuǎn)化成了面積相等的長(zhǎng)方形。得到公式是：平行四邊形的面積=底×高。

師：通過割補(bǔ)把未知圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會(huì)求面積的圖形，從而得出面積公式，看來你們學(xué)得不錯(cuò)。這節(jié)課我們研究三角形的面積，你想怎么研究？

生：我想還用割補(bǔ)法把未知圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會(huì)求面積的圖形。比如長(zhǎng)方形、正方形和平行四邊形。

師：還有別的方法嗎？

生：不一定用割補(bǔ)法，只要能轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會(huì)求面積的圖形就行。

師：可能還有新的方法，但轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會(huì)求面積的圖形這個(gè)思路大家是一致的（板書，轉(zhuǎn)化）。打開你的學(xué)具袋，試著把三角形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會(huì)求面積的圖形，開始研究吧。（教師巡視，與學(xué)生簡(jiǎn)單交流，學(xué)具袋中有長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形各一個(gè)，直角、銳角、鈍角三角形各一個(gè)）

（學(xué)生開始匯報(bào)，有用一個(gè)三角形沒有完成任務(wù)的，也有用一個(gè)三角形通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的）

生：我們用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成了一個(gè)平行四邊形（邊說邊演示）。

師：學(xué)具袋里只有一個(gè)三角形，你怎么想到用兩個(gè)完全一樣的三角形的？

生：我先用一個(gè)三角形去割補(bǔ)，沒有找到方法，這個(gè)三角形也壞了。我就想用長(zhǎng)方形再剪一個(gè)三角形，但我還是沒有轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會(huì)求面積的圖形。我突然想到剛才我用長(zhǎng)方形剪三角形的過程，從中間剪開正好是兩個(gè)完全一樣的三角形。那反過來不就是用兩個(gè)完全一樣的三角形就能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形了，所以我就這么做了。

在這里，教師準(zhǔn)確地把握了轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)，采用逆向思維并產(chǎn)生了靈感，達(dá)到了很好的教學(xué)效果。在處理隱性的數(shù)學(xué)思想和方法上要注意以下三點(diǎn)：

一是明確思考方向。這是解決問題的總體思維，是大前提，是基礎(chǔ)。案例中新課伊始通過復(fù)習(xí)喚起學(xué)生對(duì)平行四邊形面積推導(dǎo)過程的回憶，順勢(shì)提出研究三角形的面積。在研究三角形面積時(shí)，先明確基本思想還是轉(zhuǎn)化，再研究具體的方法。

二是找到細(xì)微差別。這是問題呈現(xiàn)獨(dú)特的地方，也是教師最容易忽略的地方，需要教師站在更高層面去審視教材，不斷摸索，找到思想與方法上細(xì)微的差別，從而有的放矢地設(shè)計(jì)、教學(xué)。案例中從上節(jié)課的用一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化，到這里借用一個(gè)圖形，用兩個(gè)圖形轉(zhuǎn)化，這就是兩節(jié)課的最大區(qū)別。

三是巧設(shè)鋪墊，激發(fā)靈感。有了正確的認(rèn)識(shí)不等于最佳方案，還需要教師設(shè)置有效的活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的靈感。案例中如何想到用兩個(gè)相同的三角形轉(zhuǎn)化，這是一個(gè)思維瓶頸，需要學(xué)生思維的轉(zhuǎn)變。在這里，教師并沒有給學(xué)生足夠的三角形進(jìn)行鋪墊，卻給學(xué)生一個(gè)操作、想象、思考的空間。學(xué)生在自己做三角形的過程中通過逆向思維，觸發(fā)靈感，轉(zhuǎn)變思維，從而解決問題。

二、經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”的過程，重現(xiàn)靈感培養(yǎng)的契機(jī)

受 “超前學(xué)習(xí)”的影響，很多學(xué)生似乎很多知識(shí)都“會(huì)”，甚至“對(duì)答如流”，這就讓本應(yīng)是思維方式轉(zhuǎn)變的“關(guān)卡”變得“一馬平川”。在筆者對(duì)一年級(jí)“20以內(nèi)加減法”和六年級(jí)“圓的周長(zhǎng)”相關(guān)知識(shí)的課前測(cè)試中，學(xué)生正確率分別達(dá)到了90.3%和65.8%。如不能正確地透過現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)生的表現(xiàn)將掩蓋思維方式轉(zhuǎn)變的存在，教師也將忽略對(duì)學(xué)生靈感的培養(yǎng)。為了應(yīng)對(duì)這一問題，教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)情并順勢(shì)而為。

例如，在教學(xué)“平行四邊形面積”一課時(shí)，筆者先導(dǎo)入新課，引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)單回顧平行四邊形的有關(guān)知識(shí)。

師：你們知道平行四邊形的面積怎么計(jì)算嗎？

生：我知道，用割補(bǔ)法，把平行四邊形變成長(zhǎng)方形，得出公式是：平行四邊形面積＝底乘高。

師：你們是怎么知道的？

生：我自學(xué)了。

生：我在托管班上學(xué)過。

師：你們的學(xué)習(xí)精神非?？杉选Ｄ悄銈?yōu)槭裁匆酶钛a(bǔ)法？什么地方可以用到割補(bǔ)法嗎？

師：我們不僅要知其然，還要知其所以然。現(xiàn)在大家想，如果沒人告訴你平行四邊形面積的推導(dǎo)過程，你會(huì)怎么想，怎么辦？

生：把它轉(zhuǎn)化成會(huì)求面積的圖形，但一下子想不出具體方法來。

生：數(shù)格子，看它里面有多少個(gè)面積單位，它的面積就有多大。

師：這個(gè)方法最直接，是最基本的方法，大家肯定都會(huì)做。那好，咱們就用這種最原始的方案試一試，在試的過程中看你有什么發(fā)現(xiàn)。兩分鐘之后，可以把你的發(fā)現(xiàn)與小組內(nèi)同學(xué)交流。

（學(xué)生開始數(shù)格子。兩分鐘后，學(xué)生開始交流，氣氛越來越活躍）

生：數(shù)的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)很多格子不滿一格，比如這個(gè)，但把它移到這邊和這邊的一拼就成了一個(gè)滿格。這樣一個(gè)一個(gè)地移太麻煩了，我想從這兒切開，把它一起移過去（邊說邊演示）。這個(gè)過程就是我們說的割補(bǔ)。我明白為什么用割補(bǔ)了。

生：每個(gè)格子都是正方形，我明白為什么割補(bǔ)要沿高切了。

生：我還有一個(gè)發(fā)現(xiàn)，為什么用到割補(bǔ)呢？主要是這個(gè)邊不垂直于底，是斜的。

以上案例中，教師尊重學(xué)生的已有認(rèn)知，對(duì)他們所掌握的知識(shí)給予肯定，但同時(shí)對(duì)學(xué)生的“會(huì)”，采用追問的方式，刨根問底，最終達(dá)到了激發(fā)靈感的效果。這個(gè)教學(xué)過程體現(xiàn)出以下兩個(gè)方面的策略：

（一） 還原“發(fā)現(xiàn)”過程，確定思維轉(zhuǎn)變的切換點(diǎn)

教師在組織教學(xué)時(shí)，要盡可能充分暴露知識(shí)形成過程，讓學(xué)生親歷知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)，有意識(shí)地讓學(xué)生感悟一些數(shù)學(xué)思想，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，逐步培養(yǎng)其會(huì)用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)思維觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的核心素養(yǎng)。面對(duì)類似案例中學(xué)生的“一知半解”“似是而非”，更要把視角從記憶性知識(shí)轉(zhuǎn)向程序性知識(shí)，把學(xué)習(xí)的重心落到數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成上。案例中，教師在了解學(xué)生知道結(jié)論后，給予肯定，但同時(shí)又提出：“如果沒有人告訴你，你會(huì)怎么想，怎么辦？”這個(gè)問題讓學(xué)生回到起點(diǎn)，重新思考，從而找到思維方式轉(zhuǎn)變的切換點(diǎn)，為靈感的激發(fā)奠定基礎(chǔ)。

（二） 經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”，適時(shí)激發(fā)靈感

新課標(biāo)中指出：“能夠探索自然現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)情境所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)‘再發(fā)現(xiàn)’的過程。”“再發(fā)現(xiàn)”不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是重現(xiàn)靈感產(chǎn)生的過程，從而學(xué)習(xí)、體會(huì)、領(lǐng)悟轉(zhuǎn)變思維方式的方法。以本課為例，在“再發(fā)現(xiàn)”的過程中，學(xué)生怎么想到用“割補(bǔ)”法的，這是本課的關(guān)鍵，是學(xué)生靈感的爆發(fā)點(diǎn)。在這個(gè)問題上，個(gè)別教材在設(shè)計(jì)上也不盡合理，有的版本為了降低難度，在數(shù)格子知道平行四邊形的面積時(shí)，強(qiáng)調(diào)“不滿一格的按半格計(jì)算”，這本身既不科學(xué)，又會(huì)將思維轉(zhuǎn)變過程中的靈感扼殺。而案例中的教師把數(shù)格子的決定權(quán)交給了學(xué)生，學(xué)生在數(shù)的過程中靈感突現(xiàn)，從而轉(zhuǎn)變思維方式，“創(chuàng)造”了“割補(bǔ)”的方法，同時(shí)也理解了割補(bǔ)怎么來的、為什么強(qiáng)調(diào)要沿高切、什么時(shí)候用到割補(bǔ)等。

三、靜待花開，堅(jiān)信學(xué)生靈感會(huì)突現(xiàn)

當(dāng)前，課堂教學(xué)時(shí)間在很多地區(qū)已經(jīng)變?yōu)槿宸昼?。個(gè)別教師為了盡快得到自己想要的答案，會(huì)把問題設(shè)計(jì)得非常直接，這樣的問題就失去了思考價(jià)值，從而也就不會(huì)有學(xué)生靈感的突現(xiàn)。教師不應(yīng)急于求成，而應(yīng)靜待花開，給學(xué)生充足的時(shí)間，相信他們會(huì)在思辨中調(diào)整方向，從而實(shí)現(xiàn)思維的飛躍、發(fā)展。

（一） 問題留白

“留白”原本指的是書法、繪畫中為欣賞者留下的想象空間。同樣，在課堂上教師提出的問題也要給學(xué)生留有思考的空間和時(shí)間。如果問題沒有思考價(jià)值，就難以讓學(xué)生產(chǎn)生靈感；學(xué)生如果沒有時(shí)間，無暇思考，就不可能產(chǎn)生靈感。

例如，“3的倍數(shù)的特征”一課，筆者是這樣處理的。

生：3的倍數(shù)在斜線上。

師：這條線上的數(shù)有什么特點(diǎn)？（留白、靜待）

生：除了第一排外，其余的都是個(gè)位數(shù)逐個(gè)減1，十位數(shù)逐個(gè)加1。

生：我也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律，這一斜線上各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加和相等。（靜待）

生：其他斜線上的數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加和也不變，這個(gè)不是特點(diǎn)。

師：大家已經(jīng)轉(zhuǎn)變思考方向，不再關(guān)注某位上的數(shù)字，而是整體去思考，已經(jīng)關(guān)注了各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和。（留白、繼續(xù)靜待）

生：老師，我發(fā)現(xiàn)斜線上的數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和分別是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11……，3的倍數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和分別是3、6、9、12、15……，這些數(shù)都是3的倍數(shù)。我找到規(guī)律了……

從這個(gè)片段中不難看出，學(xué)生的靈感會(huì)在教師的有效啟發(fā)和耐心等待中迸發(fā)。

（二） 思維留痕

隨著教育改革的不斷深入，教研質(zhì)量的不斷提高，數(shù)學(xué)教材雙線設(shè)計(jì)得到教師充分的理解，教師有必要將轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合、對(duì)應(yīng)思想等數(shù)學(xué)思想、方法加以明確，甚至使其出現(xiàn)在板書中。

例如，“三角形面積”一課的板書可以如圖3這樣設(shè)計(jì)：

教師把“轉(zhuǎn)化”思想和“倍拼法”明確地寫在板書上，一方面可以更好地幫助、強(qiáng)化學(xué)生領(lǐng)悟、掌握思想、方法，為創(chuàng)造靈感打下理念基礎(chǔ)和思維模型；另一方面，可以引領(lǐng)教師把目光從具體的知識(shí)技能層面轉(zhuǎn)向隱性的數(shù)學(xué)思想、方法層面，使得教學(xué)達(dá)到更高的立意。

總之，靈感不是先天的，思維方式的轉(zhuǎn)變也不是一蹴而就的，它們是學(xué)生觀察世界、思考世界時(shí)的創(chuàng)造性表現(xiàn)，是在學(xué)習(xí)過程中逐步培養(yǎng)和形成的。學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生更多、更有效的靈感需要教師不斷思考、挖掘、創(chuàng)造，并形成教學(xué)策略。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）