雙曲正切高斯與兩階段反向?qū)W習(xí)平衡優(yōu)化算法

李守玉,何 慶,陳 俊

(貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院,貴陽(yáng) 550025) E-mail：qhe@gzu.edu.cn

1 引 言

為了更好解決現(xiàn)實(shí)中的復(fù)雜優(yōu)化問題,研究者們通過觀察、研究自然界中生物的進(jìn)化或物體存在的物理現(xiàn)象,提出了遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法及灰狼算法等元啟發(fā)式算法,并在工程領(lǐng)域取得不錯(cuò)的成果.

然而傳統(tǒng)的遺傳算法[1]易出現(xiàn)的局部搜索精度不高且算法執(zhí)行效率低;粒子群算法[2]雖收斂速度快、易于實(shí)現(xiàn),但存在早熟現(xiàn)象;蟻群算法[3]雖有較強(qiáng)的記憶性,但它容易出現(xiàn)停滯現(xiàn)象且效率低.平衡優(yōu)化算法[4](Equilibrium Optimizer,EO)由Faramarzi于2019年提出的基于物理的元啟發(fā)式算法.EO的尋優(yōu)過程是在動(dòng)態(tài)和平衡狀態(tài)的控制體積-質(zhì)量平衡模型中,幫助模型中的粒子找尋平衡狀態(tài).該算法與遺傳算法和粒子群算法相比,具備較強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)力,同時(shí)它具有參數(shù)少、執(zhí)行效率高及易于部署等優(yōu)點(diǎn).因此,它被成功應(yīng)用到閾值圖像分割[5],多目標(biāo)優(yōu)化[6],優(yōu)化太陽(yáng)能拋物面收集器的熱性能參數(shù)[7],光伏電池參數(shù)估計(jì)[8]等科學(xué)領(lǐng)域.

然而平衡優(yōu)化器算法與大多啟發(fā)式算法一樣存在易陷入局部最優(yōu)且收斂速度慢等問題.為此,研究者提出了不同的改進(jìn)策略.文獻(xiàn)[9]通過引入反向?qū)W習(xí)和改進(jìn)濃度更新公式,提高算法尋優(yōu)精度及加快算法收斂.文獻(xiàn)[10]利用混沌映射建立的搜索機(jī)制,改善算法尋優(yōu)性能并應(yīng)用于特征選擇.文獻(xiàn)[11]將拉普拉斯分布與反向?qū)W習(xí)結(jié)合增強(qiáng)開發(fā)能力,達(dá)到快速收斂的目的.文獻(xiàn)[12]將熱交換優(yōu)化與平衡優(yōu)化器結(jié)合提高算法的優(yōu)化性能.文獻(xiàn)[13]利用對(duì)立學(xué)習(xí)和逃逸策略提高算法的勘探能力.雖然上述算法對(duì)優(yōu)化性能有一定提升,但收斂速度慢的問題仍然存在以及未同時(shí)考慮提高全局與局部尋優(yōu)能力.

針對(duì)平衡優(yōu)化算法存在的問題,本文提出了雙曲正切高斯與兩階段反向?qū)W習(xí)的平衡優(yōu)化算法(HEO-OBL),將雙曲正切函數(shù)與黃金分割數(shù)融入高斯分布中,增強(qiáng)算法的全局搜索能力;利用遺傳算法中的交叉和變異,緩解種群迭代后期多樣性減少;通過兩階段方向?qū)W習(xí),使用不同的反向?qū)W習(xí)平衡全局與局部搜索能力并加快算法收斂.

2 平衡優(yōu)化算法

2.1 種群初始化

EO算法也是通過隨機(jī)初始化生成初始種群：

(1)

2.2 均衡池

(2)

2.3 濃度更新

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

3 雙曲正切高斯與兩階段反向?qū)W習(xí)平衡優(yōu)化算法

3.1 雙曲正切高斯因子

文獻(xiàn)[14]充分發(fā)揮黃金分割數(shù)的優(yōu)勢(shì)提出黃金正弦算法,其在解決函數(shù)優(yōu)化問題取得較好的成果.文獻(xiàn)[15]利用黃金正弦作為中間媒介,提高蝴蝶算法的優(yōu)化能力.另外,文獻(xiàn)[16]利用雙曲正切函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)開關(guān)函數(shù),增強(qiáng)滑模觀測(cè)器的抗干擾性和穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[17]借助雙曲正切函數(shù)的變化特性,實(shí)現(xiàn)風(fēng)機(jī)箱變?nèi)蹟嗥髋c集電線路之間反時(shí)限動(dòng)作特性配合,證明了黃金分割數(shù)和雙曲正切函數(shù)行之有效.

基本EO算法中平均候選解對(duì)算法的全局搜索和局部搜索起重要的作用,為了進(jìn)一步增強(qiáng)其對(duì)算法的影響,提出了雙曲正切高斯因子.該策略主要利用雙曲正切函數(shù)的變化特性以及黃金分割數(shù)的優(yōu)勢(shì)對(duì)高斯分布進(jìn)行改造,進(jìn)而加強(qiáng)算法尋優(yōu)能力.除此之外,將將種群的迭代信息融入雙曲正切函數(shù),使其的變化更符合種群進(jìn)化規(guī)律.具體改造如下：

(10)

(11)

N(gn,th)

(12)

文中采用高斯分布N(a,b),其中a表示均值,b表示方差.將式(1)和式(2)融入高斯分布中,得到雙曲正切高斯因子.gn為黃金分割數(shù)且充當(dāng)高斯分布的均值,使高斯分布具備它的優(yōu)勢(shì),增強(qiáng)算法的全局搜索能力,另外,th為融入迭代信息的雙曲正切函數(shù).同時(shí),它作為高斯分布的方差能夠根據(jù)種群進(jìn)化過程,動(dòng)態(tài)調(diào)整分布,達(dá)到自學(xué)習(xí)進(jìn)化規(guī)律的目的,從而提高平衡全局與局部搜索的能力.它通過如下方式作用平均候選解.

Cave=CaveN(gn,th)

(13)

3.2 交叉變異混合策略

基本EO算法存在迭代后期種群多樣性逐漸減少,導(dǎo)致出現(xiàn)早熟現(xiàn)象,從而影響算法的優(yōu)化精度.因此,借助遺傳算法中交叉和變異操作增強(qiáng)種群多樣性.文中交叉操作在增強(qiáng)種群多樣性占主導(dǎo)作用,變異起輔導(dǎo)作用.交叉依據(jù)較大的交叉概率,對(duì)種群中個(gè)體位置進(jìn)行交叉,得到新的個(gè)體位置;變異則是以較小的變異概率對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行變異,生成新個(gè)體;兩者協(xié)同配合進(jìn)一步增加種群個(gè)體多樣性,進(jìn)而提升種群多樣性.交叉概率和變異概率在增強(qiáng)種群多樣性環(huán)節(jié)扮演重要的角色,對(duì)兩者的定義如式(14)和式(15).

交叉概率定義如下：

(14)

變異概率定義如下：

(15)

為了充分發(fā)揮交叉與變異的優(yōu)勢(shì),文中將交叉概率設(shè)為0.8,變異概率設(shè)為0.08.

3.3 兩階段反向?qū)W習(xí)策略

為了更進(jìn)一步加快算法收斂,利用反向?qū)W習(xí)中反向解的思想,提出兩階段反向?qū)W習(xí)策略.其核心原理是對(duì)濃度更新之后個(gè)體求取反向解,再通過貪心算法擇優(yōu)進(jìn)入下一次循環(huán).反向點(diǎn)定義：若p(x1,x1,…,xn)是n維坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn),x1,x1,…,xn∈R,同時(shí)滿足xi∈[ai,bi],則反向點(diǎn)完全由坐標(biāo)確定.

(16)

兩階段反向?qū)W習(xí)策略,其一是隨機(jī)反向?qū)W習(xí);其二是基本反向?qū)W習(xí).該策略通過隨機(jī)產(chǎn)生[0,1]的隨機(jī)數(shù)與切換概率比P較大小,進(jìn)而為算法選擇不同階段的反向?qū)W習(xí).在文中,切換概率設(shè)為P=0.5.

若P小于該隨機(jī)數(shù),則選擇基本反向?qū)W習(xí)：

(17)

若P大于該隨機(jī)數(shù),則選擇隨機(jī)反向?qū)W習(xí)：

(18)

雖然兩階段反向?qū)W習(xí)策略產(chǎn)生新的個(gè)體一定程度加快算法收斂,但是不能保證產(chǎn)生的新解一定優(yōu)于原位置的解,因此,使用貪心思想進(jìn)行擇優(yōu).

(19)

3.4 算法流程圖

文中所提雙曲正切高斯與兩階段反向?qū)W習(xí)平衡優(yōu)化算法的算法流程,如圖1所示.

圖1 算法流程Fig.1 Algorithm flow

Step1.算法初始階段,先創(chuàng)建用于存儲(chǔ)候選解的C1～C4.

Step2.采用隨機(jī)初始化的方式對(duì)種群中的個(gè)體位置進(jìn)行初始化.

Step3.進(jìn)入大循環(huán),迭代更新種群個(gè)體位置,直到滿足迭代停止條件.

Step4.計(jì)算種群個(gè)體的適應(yīng)度,并對(duì)根據(jù)4個(gè)候選解計(jì)算平均候選解.

Step5.通過4個(gè)候選解C1～C4求出平均候選解,然后利用雙曲正切高斯策略提高平均候選解的全局與局部搜索能力.

Step6.執(zhí)行完Step 5后,對(duì)種群中的每個(gè)個(gè)體先執(zhí)行交叉操作,然后執(zhí)行變異操作,提高種群多樣性.

Step7.進(jìn)入個(gè)體濃度循環(huán)階段,直到滿足迭代停止條件.

Step9.執(zhí)行濃度更新,然后轉(zhuǎn)Step 7.

Step10.利用兩階段反向?qū)W習(xí)策略,加速算法收斂,然后轉(zhuǎn)Step 3.

4 實(shí)驗(yàn)與仿真分析

實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Windows7,64位操作系統(tǒng),CPU為Inter Core i5-6500H,主頻3.2GHz,內(nèi)存8GB,算法在MATLAB2014b上運(yùn)行.

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Table 1 Benchmark function

為了測(cè)試HEO-OBL算法的魯棒性和有效性,使用12個(gè)含有單峰可分、單峰不可分、多峰可分多峰不可分等類型基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù),其中f10～f12為Shekel函數(shù)系列,求和上限分別取5、7以及10的函數(shù),如表1所示.

表2 算法參數(shù)Table 2 Parameters of algorithm

同時(shí),為保證對(duì)比的公平性,算法基本參數(shù)設(shè)置相同：種群規(guī)模為30,最大迭代次數(shù)500,獨(dú)立運(yùn)行30次.另外,算法的初始對(duì)于其尋優(yōu)性能也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的影響,因此,初始參數(shù)參照相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行設(shè)置,如表2所示.

4.1 各策略與常見算法性能分析

表3通過最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、成功率以及平均耗時(shí)(s)等5個(gè)性能指標(biāo)來評(píng)估各算法的性能,對(duì)比數(shù)據(jù)如表3所示.其中,最優(yōu)值和最差值展現(xiàn)算法的尋優(yōu)上限和下限,從算法最好狀態(tài)以及最差狀態(tài)了解尋優(yōu)能力;平均值則反映算法在30次獨(dú)立運(yùn)行后,算法尋優(yōu)能力和收斂速度的綜合體現(xiàn);標(biāo)準(zhǔn)差則體現(xiàn)了算法尋優(yōu)過程中算法的穩(wěn)定程度;平均耗時(shí)可以看出算法執(zhí)行效率.另外,為了充分驗(yàn)證HEO-OBL的有效性和魯棒性,將HEO-OBL與雙曲正切高斯因子(EO1)、交叉變異混合策略(EO2)、兩階段反向?qū)W習(xí)策略(EO3)、灰狼算法(Grey Wolf Optimizer,GWO)、鯨魚算法(Whale Optimization Algorithm,WOA)與蝗蟲算法(Grasshopper Optimization Algorithm,GOA)進(jìn)行對(duì)比.

表3 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of benchmark function results

f算法最優(yōu)值最差值平均值標(biāo)準(zhǔn)差平均耗時(shí)/sEO4.81E-043.31E-031.30E-037.06E-040.1499EO12.77E-056.35E-043.02E-042.12E-040.1520EO24.52E-042.49E-031.29E-036.03E-040.1989f5EO31.98E-052.09E-033.19E-043.47E-040.3431HEO-OBL1.09E-051.33E-032.70E-042.65E-040.4453GWO4.22E-043.82E-032.00E-038.48E-040.1703WOA1.26E-042.10E-024.12E-035.05E-030.1591GOA1.77E-027.95E-023.23E-021.22E-0228.1699EO-9.92E+03-7.68E+03-8.80E+036.43E+020.0942EO1-1.01E+04-7.21E+03-8.65E+036.92E+020.0966EO2-1.05E+04-7.90E+03-9.15E+035.77E+020.1518f6EO3-1.26E+04-9.02E+03-1.01E+041.48E+030.1822HEO-OBL-1.26E+04-9.97E+03-1.03E+041.24E+030.2755GWO-7.37E+03-3.59E+03-5.99E+038.15E+020.1180WOA-1.26E+04-6.90E+03-1.03E+042.01E+030.1017GOA-8.49E+03-5.66E+03-7.28E+037.56E+0228.4217EO0.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.0837EO10.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.0864EO20.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.1358f7EO30.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.1479HEO-OBL0.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.2711GWO1.14E-141.81E+013.62E+004.37E+000.1150WOA0.00E+005.68E-143.79E-151.44E-140.0792GOA5.81E+012.27E+021.08E+024.12E+0129.9187EO7.99E-151.51E-148.23E-151.30E-150.0871EO18.88E-168.88E-168.88E-160.00E+000.0892EO24.44E-151.51E-148.23E-152.07E-150.1414f8EO38.88E-167.99E-152.43E-152.90E-150.1552HEO-OBL8.88E-168.88E-168.88E-160.00E+000.2785GWO7.55E-141.39E-131.01E-131.47E-140.1164WOA8.88E-167.99E-153.97E-152.23E-150.0894GOA3.82E+008.82E+005.44E+001.19E+0029.8933EO0.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.1008EO10.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.1019EO20.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.1515f9EO30.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.1949HEO-OBL0.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.3138GWO0.00E+002.19E-022.38E-035.77E-030.1270WOA0.00E+001.94E-011.12E-024.31E-020.1023GOA1.07E+002.24E+001.39E+002.93E-0129.6136EO-1.02E+01-2.68E+00-8.22E+002.86E+000.0844EO1-1.02E+01-8.81E-01-6.96E+002.76E+000.0890EO2-1.02E+01-2.63E+00-8.71E+002.47E+000.1113f10EO3-1.02E+01-1.02E+01-1.02E+012.65E-070.1702HEO-OBL-1.02E+01-1.02E+01-1.02E+011.71E-100.2614GWO-1.02E+01-2.68E+00-9.56E+001.83E+000.0588WOA-1.02E+01-2.62E+00-8.84E+002.36E+000.0874GOA-1.02E+01-2.63E+00-5.40E+003.30E+004.2838

f算法最優(yōu)值最差值平均值標(biāo)準(zhǔn)差平均耗時(shí)/sEO-1.04E+01-1.04E+01-1.04E+012.48E-050.0967EO1-1.04E+01-2.77E+00-7.98E+002.86E+000.0977EO2-1.04E+01-2.77E+00-9.44E+002.22E+000.1203f11EO3-1.04E+01-1.04E+01-1.04E+019.07E-080.1971HEO-OBL-1.04E+01-1.04E+01-1.04E+012.17E-110.2928GWO-1.04E+01-5.09E+00-1.02E+019.70E-010.0679WOA-1.04E+01-1.83E+00-7.65E+003.00E+000.1016GOA-1.04E+01-1.84E+00-6.52E+003.76E+004.2979EO-1.05E+01-1.05E+01-1.05E+017.90E-120.1089EO1-1.05E+01-2.42E+00-8.91E+002.81E+000.1113EO2-1.05E+01-1.05E+01-1.05E+011.22E-070.1350f12EO3-1.05E+01-1.05E+01-1.05E+012.72E-140.2405HEO-OBL-1.05E+01-1.05E+01-1.05E+011.21E-150.3319GWO-1.05E+01-5.13E+00-1.02E+011.37E+000.0811WOA-1.05E+01-2.42E+00-7.24E+003.35E+000.1114GOA-1.05E+01-1.68E+00-5.51E+003.71E+004.2885

從表3可以看出,在f1～f12函數(shù)上,HEO-OBL的5個(gè)性能評(píng)估指標(biāo)均優(yōu)于單個(gè)改進(jìn)策略和其他算法,證明HEO-OBL能夠兼容3個(gè)改進(jìn)策略且充分發(fā)揮它們的優(yōu)勢(shì),幫助提高算法的尋優(yōu)精度和加快收斂速度.從改進(jìn)策略角度看,在f1～f6和f10函數(shù)上的EO1的最優(yōu)值和最差值相較于EO尋優(yōu)精度更高.這也充分說明加入雙曲正切高斯因子,有助于改善算法尋優(yōu)的上限及下限,算法尋優(yōu)精度提升顯著;雖然EO2的尋優(yōu)精度提高不明顯,在f1～f2函數(shù)上略低于EO,但f4～f6和f8函數(shù)上均要優(yōu)于EO.EO2通過交叉和變異操作保持種群多樣性對(duì)于HEO-OBL的意義十分重大;在f1～f4函數(shù)上EO3的5個(gè)性能評(píng)估指標(biāo)均能尋到理論值,f5～f6和f8函數(shù)上,精度僅次于HEO-OBL.這驗(yàn)證了兩階段反向?qū)W習(xí)能夠綜合提高EO的綜合尋優(yōu)能力.此外,3個(gè)改進(jìn)策略在f7、f9和f10～f12函數(shù)上尋優(yōu)性能與EO相同并且在多個(gè)函數(shù)的尋優(yōu)精度也高于GWO、GOA和WOA.從平均耗時(shí)看,GOA的耗時(shí)最長(zhǎng),算法執(zhí)行效率低且精度最差;EO、EO1、WOA的耗時(shí)相差不大;EO3和GWO的耗時(shí)在一個(gè)量級(jí);相對(duì)于EO、EO1、EO2、EO3、WOA和GWO,HEO-OBL的耗時(shí)略有增加,主要因?yàn)镠EO-OBL需要執(zhí)行對(duì)個(gè)體的交叉、變異以及兩階段的反向解,但從算法總體尋優(yōu)結(jié)果和執(zhí)行效率考慮,HEO-OBL增加的耗時(shí)在接受范圍.

表4 8種算法在0.05顯著性水平下的Wilcoxon檢驗(yàn)結(jié)果Table 4 Wilcoxon test results of the 8 algorithms at 0.05 significance level

Derrac等人[18]指出對(duì)改進(jìn)進(jìn)化算法應(yīng)該進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn).因?yàn)槠骄岛蜆?biāo)準(zhǔn)差不會(huì)比較算法的每次運(yùn)算結(jié)果,所以需要通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn).本文主采用wilcoxon和Friedman兩種非參數(shù)檢驗(yàn)方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),前者驗(yàn)證兩個(gè)算法之間的顯著差異性,后者則通過秩均值衡量算法的性能,秩均值越小,算法性能越好,反之亦然.兩種檢驗(yàn)方法主要針對(duì)每個(gè)算法的尋優(yōu)能力的檢驗(yàn),即各算法在12個(gè)測(cè)試函數(shù)上的最優(yōu)值、最差值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差4個(gè)性能指標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn).表4列出了8種算法在0.05顯著性水平下的wilcoxon檢驗(yàn)的結(jié)果.

從表4中可以看出,除了“HEO-OBL vs EO3”,其余情況下,HEO-OBL的R+和R-值都較高,p-value值都小于0.05.這意味著除了EO3之外,HEO-OBL和其他算法之間的性能差異顯著.

圖2 8種算法在12個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)上Friedman檢驗(yàn)的秩均值Fig.2 Rank mean of the Friedman test on 12 benchmark functions of 8 algorithms

基于Friedman秩檢驗(yàn),圖2顯示了12個(gè)函數(shù)上的8種算法的秩均值.如圖2所示,HEO-OBL得到了最小的秩均值,其次是EO3、EO1、EO2、EO、WOA、GWO和GOA.這又一次證明HEO-OBL以及改進(jìn)策略的有效性和競(jìng)爭(zhēng)性.

4.2 收斂性分析

為了更好的觀測(cè)HEO-OBL及其他算法的尋優(yōu)過程,圖3給出部分基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的平均收斂曲線圖,各算法的曲線圖例與圖3(a)一致.此外,為了便于觀察曲線的收斂情況,除了圖3(b),其余曲線的縱坐標(biāo)取以10為底的對(duì)數(shù).

從圖3(a)～圖3(e)能夠看出,迭代前期HEO-OBL、EO1和EO3曲線下降速度很快且尋優(yōu)精度都高于EO,說明加入雙曲正切高斯因子和兩階段反向?qū)W習(xí)能夠增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力,使得算法在迭代開始時(shí)收斂速度變快,有助于大幅度提高EO算法的全局搜索能力.隨著算法進(jìn)入迭代后期,GOA發(fā)生最嚴(yán)重的停滯,GWO和WOA次之,算法過早陷入局部最優(yōu),而HEO-OBL得益于改進(jìn)策略的有效融合,在整個(gè)尋優(yōu)過程中保持最強(qiáng)的尋優(yōu)能力.除此之外,在圖3(a)～圖3(c)中,相比單個(gè)策略及其他算法,HEO-OBL能夠快速收斂到更高的尋優(yōu)精度;尤其圖3(c)中,除GOA和GWO外都能尋到理論值,但HEO-OBL的收斂速度最快,EO1、EO3、EO2、EO緊隨其后.在圖3(d)中,EO1最后的收斂精度與HEO-OBL在同一個(gè)量級(jí),EO2的尋優(yōu)精度與EO相似;圖3(d)～圖3(e)中,EO3的尋優(yōu)精度與HEO-OBL最為接近,高于其他算法.這也充分印證上述HEO-OBL以及3個(gè)改進(jìn)策略的有效性,并且具備出色的收斂能力.

結(jié)合表3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和圖3的收斂曲線圖證明,不管基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)是單峰、多峰,HEO-OBL的綜合性能均比其他算法要好.圖3(c)因縱坐標(biāo)取對(duì)數(shù)的原因加上算法尋到0后曲線后面就沒有顯示.

4.3 與新改進(jìn)智能算法對(duì)比

為了進(jìn)一步研究HEO-OBL優(yōu)化性能,將其與新改進(jìn)的(modified Equilibrium Optimizer,m-EO)[9]、(Opposition-based

圖3 各算法的平均收斂曲線Fig.3 Average convergence curves of each algorithm

表5 與新改進(jìn)算法對(duì)比Table 5 Compared with the new improved algorithm

Laplacian Equilibrium Optimizer,OB-L-EO)[11],其他新改進(jìn)算法,如亨利氣體溶解度優(yōu)化(Henry gas solubility optimization,HGSO)[19]、改改進(jìn)的模擬退火算法(Improved Simulated Annealing algorithm,OTSA)[20]、改進(jìn)的正余弦算法(improved Opposition-Based Sine Cosine Algorithm OBSCA)[21]和改進(jìn)的灰狼算法(Selective opposition basedgrey wolf optimization,SOGWO)[22]進(jìn)行對(duì)比.同時(shí),為了確保對(duì)比的公平性,HEO-OBL的參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[9]保持一致,即種群規(guī)模為30,函數(shù)維度為30,最大迭代次數(shù)為500,獨(dú)立運(yùn)行30次.其中,HGSO、OTSA、OBSCA和SOGWO的數(shù)據(jù)源自文獻(xiàn)[9].最終結(jié)果如表5所示,最優(yōu)結(jié)果已黑體表示.

從表5可知,HEO-OBL在12個(gè)函數(shù)上的整體性能都優(yōu)于HGSO、OTSA、OBSCA和SOGWO.HEO-OBL在10個(gè)函數(shù)上獲得更高的精度比m-EO的函數(shù)還多一個(gè).與OB-L-EO相比,HEO-OBL在所有函數(shù)上的優(yōu)化效果更好,除了f10上的標(biāo)準(zhǔn)差.在眾多新改進(jìn)的算法中,HEO-OBL出色的優(yōu)化性能離不開改進(jìn)策略的貢獻(xiàn),雙曲正切高斯因子利用正切變化動(dòng)態(tài)提高算法的全局和局部搜索能力,利于擴(kuò)大搜索空間的尋優(yōu)范圍;選擇與交叉最大城堡度保留種群多樣性,避免種群多樣性流失;兩階段反向?qū)W習(xí)從收斂速度角度,不僅加快算法的收斂速度,還可提高收斂精度,3個(gè)改進(jìn)策略有效的結(jié)合才使HEO-OBL具備更強(qiáng)的優(yōu)化能力.

4.4 時(shí)間復(fù)雜度分析

HEO-OBL算法的時(shí)間復(fù)雜度如下：假設(shè)種群規(guī)模為N,搜索空間維度為D,則EO的隨機(jī)初始化的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D),計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度為O(N),迭代過程中的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D),濃度更新的時(shí)間復(fù)雜度為O(N),EO總的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D).

同理,HEO-OBL加入的雙曲正切高斯因子時(shí)間復(fù)雜度為O(1),增加的交叉變異混合策略時(shí)間復(fù)雜度由交叉的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D)和變異的時(shí)間復(fù)雜度為O(N),增加的兩階段的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D),因此HEO-OBL總的時(shí)間復(fù)雜度O(N×D).因?yàn)镠EO-OBL和EO的時(shí)間復(fù)雜度一樣,所以HEO-OBL并未對(duì)算法產(chǎn)生負(fù)面影響.

4.5 與新改進(jìn)算法在CEC2014上的對(duì)比分析

為了進(jìn)一步研究HEO-OBL在復(fù)雜優(yōu)化函數(shù)上的尋優(yōu)性能.文中采用智能算法領(lǐng)域常用評(píng)估優(yōu)化能力的CEC2014函數(shù)集進(jìn)一步測(cè)試HEO-OBL整體優(yōu)化性能.該函數(shù)集遠(yuǎn)比表1中12個(gè)經(jīng)典基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)更為復(fù)雜.CEC2014的30個(gè)測(cè)試函數(shù)主要被劃分為4類,即單峰函數(shù)(F1-F3)、多峰函數(shù)(F4-F16)、混合函數(shù)(F17-F22)和復(fù)合函數(shù)(F23-F30).文獻(xiàn)[23]提供了30個(gè)函數(shù)的詳細(xì)信息.

將HEO-OBL算法與新改進(jìn)粒子群算法和改進(jìn)的灰狼算法進(jìn)行對(duì)比,其中帶時(shí)變加速系數(shù)的改進(jìn)粒子群算法(Improved PSO with time-varying accelerator coefficients,IPSO[24])、具有自適應(yīng)加速度系數(shù)的改進(jìn)粒子群算法(modified PSO with adaptive accelerationcoefficients,TACPSO[25])、動(dòng)態(tài)維度搜索灰狼算法(Dynamically Dimensioned Search Grey Wolf Optimizer,DGWO[26])和帶有加權(quán)距離的灰狼算法(Grey Wolf Optimizer with a novel weighted distance,GWO-WD[27])算法進(jìn)行比較.同時(shí),為了確保對(duì)比公平,算法的參數(shù)與GWO-WD原文獻(xiàn)設(shè)置一致,即種群大小為30,CEC2014

表6 CEC2014測(cè)試函數(shù)結(jié)果對(duì)比Table 6 Comparison of CEC2014 function results

FIPSOTACPSODGWOGWO-WDHEO-OBLF16Mean5.17E+061.61E+031.61E+031.61E+031.61E+03St. dev7.06E+055.48E-016.28E-013.37E-015.65E-01F17Mean6.91E+064.14E+062.13E+064.47E+062.45E+05St. dev2.61E+052.87E+063.93E+052.11E+062.00E+05F18Mean1.94E+039.93E+072.14E+072.56E+075.18E+03St. dev3.13E+012.70E+083.13E+066.96E+063.31E+03F19Mean5.26E+032.01E+031.94E+031.98E+031.91E+03St. dev2.62E+036.35E+013.00E+013.59E+012.16E+00F20Mean5.26E+031.74E+041.95E+041.63E+047.08E+03St. dev2.62E+031.73E+039.63E+036.59E+033.37E+03F21Mean1.68E+057.15E+051.42E+051.20E+061.16E+05St. dev1.21E+058.92E+052.92E+046.77E+051.01E+05F22Mean2.71E+032.86E+032.56E+032.83E+032.65E+03St. dev5.77E+001.96E+021.76E+022.20E+022.19E+02F23Mean2.63E+032.68E+032.63E+032.52E+032.50E+03St. dev1.21E+013.88E+011.18E+013.69E+010.00E+00F24Mean2.64E+032.68E+032.60E+032.60E+032.60E+03St. dev1.19E+011.64E+011.53E-031.53E-052.53E-07F25Mean2.71E+032.72E+032.71E+032.70E+032.70E+03St. dev5.77E+005.08E+005.24E+002.95E-130.00E+00F26Mean2.73E+032.72E+032.75E+032.70E+032.75E+03St. dev6.23E+016.35E+015.08E+019.05E-055.05E+01F27Mean3.53E+033.78E+033.35E+033.29E+032.90E+03St. dev2.48E+028.68E+011.19E+23.46E+020.00E+00F28Mean4.36E+034.50E+033.96E+033.42E+033.00E+03St. dev3.87E+026.12E+022.93E+024.57E+020.00E+00F29Mean2.18E+071.64E+071.01E+065.12E+058.78E+05St. dev1.68E+071.47E+072.13E+061.75E+051.86E+06F30Mean6.04E+041.14E+054.07E+045.79E+048.24E+03St. dev6.63E+047.79E+042.37E+043.54E+044.01E+03

函數(shù)維度設(shè)為30,各算法獨(dú)立運(yùn)行30次.另外,IPSO、TACPSO、DGWO的數(shù)據(jù)均來自GWO-WD.均值(Mean)和標(biāo)準(zhǔn)差(St.dev)被用來評(píng)估各算法的性能,對(duì)比結(jié)果記錄在表6中.

由表6可知,與IPSO相比HEO-OBL在27個(gè)函數(shù)獲得了更好的結(jié)果,在3個(gè)函數(shù)(F5,F12～F13)獲得相似的結(jié)果;與TACPSO相比,HEO-OBL在28個(gè)函數(shù)取得了更高的精度,在2個(gè)函數(shù)(F13和F16)和取得了類似的結(jié)果;與DGWO相比,HEO-OBL在23個(gè)函數(shù)提供了更好的結(jié)果,在6個(gè)函數(shù)(F5,F12～14,F16和F24)以及1個(gè)函數(shù)(F22)提供了相似和較差的結(jié)果;與GWO-WD相比,HEO-OBL能夠在21個(gè)函數(shù)得到更優(yōu)的結(jié)果,在7個(gè)函數(shù)(F5,F12～14,F16,F24,F26)個(gè)函數(shù)(F26和F29)得到相似和較差結(jié)果.HEO-OBL與4種改進(jìn)算法在復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比表明了HEO-OBL不僅在基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上擁有出色的競(jìng)爭(zhēng)力,在復(fù)雜函數(shù)仍具有更強(qiáng)的優(yōu)化能力.

表7 5種算法在0.05顯著性水平下CEC2014的Wilcoxon檢驗(yàn)結(jié)果Table 7 Wilcoxon test results of CEC2014 for 5 algorithms at the significance level of 0.05

此外,顯著性水平為0.05的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果記錄在表7中.從該表中,HEO-OBL在所有情況下都獲得更高的R+值和R-值并且p-value都小于0.05.這說明HEO-OBL與其他4種新改進(jìn)算法存在顯著差異.同時(shí),Friedman秩檢驗(yàn)也被用來評(píng)估各算法在CEC2014上的整體性能,5種算法所得的均秩值繪制在圖4中.

圖4 5種算法在CEC2014上Friedman檢驗(yàn)的秩均值Fig.4 Rank mean of the 5 algorithms in the Friedman test on CEC2014

從圖4可以看出,HEO-OBL取得最小的秩均值,排名第一,其次是DGWO、GWO-WD、IPSO和TACPSO.這也從統(tǒng)計(jì)角度說明了HEO-OBL的整體性能非常具有競(jìng)爭(zhēng)力.

5 結(jié) 論

為了緩解EO算法尋優(yōu)過程中種群多樣性減少導(dǎo)致EO算法容易陷入局部最優(yōu)和加快收斂速度,本文提出了雙曲正切高斯與兩階段反向?qū)W習(xí)平衡優(yōu)化算法,并應(yīng)用12個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和30個(gè)CEC2014復(fù)雜函數(shù)來驗(yàn)證改進(jìn)算法的綜合性能.雙曲正切高斯因子融合黃金分割數(shù)、雙曲正切函數(shù)以及高斯分布的優(yōu)勢(shì),有助于擴(kuò)大個(gè)體的全局搜索范圍,提高優(yōu)化精度;交叉變異混合策略雖然對(duì)精度提升效果不顯著,但對(duì)種群整體多樣性的貢獻(xiàn)很大;利用兩階段反向?qū)W習(xí),個(gè)體可以使用不同的反向?qū)W習(xí)平衡和增強(qiáng)算法的全局和局部搜索能力,從而提高尋優(yōu)精度和加快算法收斂.另外,本文不僅使用最優(yōu)值、最差值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、平均耗時(shí)等指標(biāo)對(duì)算法評(píng)估,還使用非參數(shù)檢驗(yàn)Wilcoxon秩和檢驗(yàn)對(duì)算法進(jìn)行顯著性分析以及Friedman秩檢驗(yàn)對(duì)算法整體性能分析,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明HEO-OBL算法具備更好的優(yōu)化性能且具有出色的競(jìng)爭(zhēng)力,同時(shí)算法的有效性和魯棒性也得到充分驗(yàn)證.

未來研究準(zhǔn)備改進(jìn)交叉與變異環(huán)節(jié)確保種群多樣性的同時(shí),顯著提高尋優(yōu)精度;同時(shí),考慮將改進(jìn)的平衡優(yōu)化算法應(yīng)用于解決柔性車間調(diào)度問題、機(jī)器人路徑規(guī)劃等領(lǐng)域,更進(jìn)一步驗(yàn)證算法的性能.