轉(zhuǎn)化和換元方法在高中物理非線性類問題中的應用

魯移林 柯云霞

(湖北省黃石市第三中學)

學生在小學科學和中學物理中接觸到的物理問題多為線性問題,這類問題通過套用物理公式就能快速解決。高中物理更重視生活化應用,出現(xiàn)了大量非線性問題,學生采用處理線性問題的思路很難解決此類問題,使得高中物理非線性問題成為難點。教師可開展針對性的轉(zhuǎn)化、換元方法教學,培養(yǎng)解決非線性類問題的思維能力。

一、高中物理非線性類問題的特征及難點

從理論物理的角度來看,線性物理問題中物理變量構(gòu)成的方程滿足線性疊加規(guī)律,或者說線性物理問題是線性的、簡單的問題。從應用物理的角度來看,現(xiàn)實中的許多物理現(xiàn)象對應的系統(tǒng)方程中輸入量與輸出量不成正比(函數(shù)圖像可能為曲線,甚至是非連續(xù)的線段),基于這類現(xiàn)象提出的問題多為非線性問題。

高中物理非線性問題的特點是變量間存在曲線關系,而相關問題中的條件有限,難以利用直觀條件構(gòu)建簡單的直線方程求解,導致學生感覺解題難度大。教師可向?qū)W生傳授轉(zhuǎn)化、換元方法解題的思路,將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題,提高解題效率、成功率。

二、運用轉(zhuǎn)化和換元方法解決高中物理非線性類問題的優(yōu)勢及方法

(一)應用優(yōu)勢

轉(zhuǎn)化和換元方法都是簡化問題的方法,在解決物理非線性問題時有著獨特的優(yōu)勢。轉(zhuǎn)化法的核心是將不易測量的物理量轉(zhuǎn)換為易測量的物理量,用新的物理量構(gòu)建模型并求解,或直接對模型本身進行轉(zhuǎn)化,從而實現(xiàn)對復雜問題的簡化處理;換元法的核心是將抽象變量轉(zhuǎn)換為相對更為直觀的物理變量,從而簡化物理問題。這兩類解題思路可以直接或間接地將原本的曲線方程轉(zhuǎn)換為直線方程,由此幫助學生更準確地理解、解決物理非線性問題。

(二)應用轉(zhuǎn)化方法解題的方法

應用轉(zhuǎn)化方法解決物理非線性問題的方法主要有兩種,一種是直接轉(zhuǎn)化模型,另一種是轉(zhuǎn)化模型中的物理量。

【例1】如圖1甲所示,在內(nèi)壁光滑的圓柱形直桶內(nèi),側(cè)壁上有A、B兩個大小相同的小孔,小孔中心點連線(距離為h)垂直于圓柱底面,一小球從A孔水平射入圓桶并緊貼圓柱桶內(nèi)壁移動,經(jīng)過一段時間(t1)后恰好經(jīng)過B孔,經(jīng)過B孔時小球速度為vb。另用光滑的細鋼絲繞成螺距相同的螺線管,如圖1乙所示,螺線管橫截面半徑與圓柱桶半徑一致,豎直固定,鋼絲上端起點C與下端終點D的連線同樣垂直于螺線管橫截面,相距為h,一小環(huán)穿在鋼絲上從C點無初速下滑至D點耗時為t2,到達D點時速度為vd。求t1和t2、vb和vd的大小關系。

甲

乙

【例2】一條細線上端固定在臥室房頂O點,另一端系有一小球,某人用水平拉力F將小球以大小恒定的速度從稍低的A點拉至稍高的B點,在這一過程中拉力的瞬時功率如何變化?

本題題干條件較少,學生直接計算功率會面臨矢量非線性變化的難題。對此,教師可以引導學生聚焦到拉力和重力關系上。先假設小球處于某點上,重力G在運動軌跡切線上的分量GX與拉力F在該切線上的分量FX必然是相等的(只有這樣才能保持小球做勻速圓周運動)。如果繪制多個運動點上的力矢量分解圖,會發(fā)現(xiàn)除F的大小可能變化外,F的方向和球運動軌跡切線的夾角也在隨之變化,此時采用常規(guī)方法對重力G和拉力F進行正交分解,就可以發(fā)現(xiàn)拉力的功率會隨拉力和運動軌跡切線的夾角正向變化,即角度越大(B點的位置越高)拉力的瞬時功率越大。但這種方法還需要對比正交分解結(jié)果,教師應進一步引導學生思考拉力做功的基本原理,找到細線本身(的拉力)不做功的隱藏條件,再結(jié)合速率恒定、動能定理進行分析,得出重力G和拉力F在球運動軌跡切線上做功相等,重力G在該軌跡上的瞬時功率隨高度上升(夾角增大)而變大,相應的拉力做功的瞬時功率也會自然而然地增大。相比而言,這種轉(zhuǎn)化方法可省去正交分解過程,先以動能定理說明重力和拉力中做功部分的關系,然后直接判斷重力做功變化,就能找到拉力瞬時功率持續(xù)增大的規(guī)律。

(三)應用換元方法解題的方法

換元方法與轉(zhuǎn)化方法類似,但在具體處理時有細微差別,換元法更強調(diào)對局部問題的拆解,重點是找到恒定規(guī)律而不是替換變量或模型。

同樣以例題2為例,應用換元法時,可將小球運動中的某段極短的距離視為直線,球在該段距離內(nèi)的運動視為勻速直線運動,考慮其運動時功的構(gòu)成只有該方向上(分解后的)拉力做功和(分解后的)重力做功,由于小球速度不變,因此分解后拉力和重力對等,所以只需要分解重力就可以知道拉力做功的功率。經(jīng)過這種換元方法處理之后,把拉力功轉(zhuǎn)換成重力功。其本質(zhì)還是抓住恒定問題進行分析,避免對存在非線性關系的多個變量進行直接對比。

【例3】某人騎自行車在筆直的公路上從靜止開始做勻加速直線騎行,之后,其將剎車握下后均勻減速,車輛運動速度(v)和位移(x)的關系如何(如圖2)。

A

B

C

D

三、培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化和換元思維的輔助建議

從根本上看,通過轉(zhuǎn)化和換元方法解決物理非線性問題都要繞過復雜模型,前者是通過轉(zhuǎn)化變量或模型本身的方法構(gòu)建新的線性模型,后者則是直接圍繞已知的恒定關系或線性模型來挖掘題目中未直接給出的隱藏條件。教師除了要在習題課中講授以上方法外,還應定期開展學科思維和實踐訓練,有效培養(yǎng)學生思維能力,或總結(jié)類型題中轉(zhuǎn)化、換元應用規(guī)律,使學生能夠在考試、生活應用中迅速找到解題思路。

四、結(jié)語