動(dòng)量守恒定律中的類碰撞

馬仕彪

(安徽省濉溪中學(xué))

碰撞是動(dòng)量守恒定律的核心問(wèn)題,幾乎所有的動(dòng)量問(wèn)題都可以歸納為碰撞模型。每一年高考物理幾乎都將碰撞或類碰撞相關(guān)問(wèn)題作為壓軸題,比如2022年的全國(guó)乙卷的壓軸題,而很多情況下,類碰撞往往出得很隱蔽,考生在處理此類問(wèn)題時(shí)顯得很棘手,短時(shí)間內(nèi)不能利用已有的碰撞知識(shí)順利解決。鑒于此,本文從最簡(jiǎn)單的碰撞入手,然后再將復(fù)雜“類碰撞”模型化為“碰撞”,最終將問(wèn)題圍繞碰撞展開(kāi)。

一、首先討論彈性碰撞

所謂彈性碰撞就是碰撞后能完全恢復(fù)原狀的碰撞,即碰前、碰后滿足機(jī)械能守恒或確切地說(shuō)滿足動(dòng)能守恒。

1.“一動(dòng)碰一靜”情況

如圖1所示,質(zhì)量為m1的小球以速度v1與質(zhì)量為m2的靜止小球發(fā)生彈性碰撞。

圖1

2.“一動(dòng)碰一動(dòng)”情況

如圖2所示,質(zhì)量為m1的小球以水平向右的速度v1與質(zhì)量為m2、水平向右速度為v2的小球發(fā)生彈性碰撞(v1>v2≠0)。

圖2

方法一:降次

方法二:相對(duì)運(yùn)動(dòng)

方法三:直接利用“一動(dòng)碰一靜”結(jié)論。

因此可以看出,熟練理解彈性碰撞“一動(dòng)碰一靜”的規(guī)律及結(jié)論,對(duì)很多問(wèn)題的處理會(huì)變得非常簡(jiǎn)單,下面我們牛刀小試,看看效果如何。

【例1】如圖3所示,質(zhì)量為m的小球靜止在質(zhì)量為M裝有弧形槽的小車的最左端,現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0,小球到達(dá)一定高度后又返回小車左端,不計(jì)一切摩擦,試討論小球離開(kāi)小車的左端后的運(yùn)動(dòng)情況。

圖3

(1)當(dāng)m=M時(shí),v1′=0,v2′>0,小球脫離小車后做自由落體運(yùn)動(dòng);

(2)當(dāng)m>M時(shí),v1′>0,v2′>0,而v2′>v1′,小球脫離小車后向右做平拋運(yùn)動(dòng);

(3)當(dāng)m0,小球脫離小車后向左做平拋運(yùn)動(dòng);

【評(píng)析】有些問(wèn)題單憑感覺(jué)是靠不住的,必須還要進(jìn)行相應(yīng)的理論驗(yàn)證。這類問(wèn)題看似不是彈性碰撞,但從等式結(jié)果和運(yùn)動(dòng)過(guò)程看,都屬于“類彈性碰撞”的問(wèn)題,因此彈性碰撞的結(jié)論都成立,因此要深刻理解關(guān)于彈性碰撞的規(guī)律和結(jié)論。

【例2】如圖4所示為大球和小球疊放在一起,在同一豎直線上進(jìn)行的超級(jí)碰撞實(shí)驗(yàn),可以使小球彈起并上升到很大高度。將質(zhì)量為M的大球(在下),質(zhì)量為m的小球(在上)疊放在一起,從距水平地面高h(yuǎn)處由靜止釋放,h遠(yuǎn)大于球的半徑,不計(jì)空氣阻力,重力加速度為g。假設(shè)大球與地面、大球與小球之間的碰撞均為完全彈性碰撞,且碰撞時(shí)間極短。下列說(shuō)法正確的是

圖4

( )

A.若M=3m,大球與小球碰撞后,小球上升的高度為4h

B.若M?m,小球理論上可以上升到無(wú)限高度

C.若將小球和大球的位置互換,且M=3m,仍由原來(lái)位置釋放,小球可以上升的高度為h

D.若將小球和大球的位置互換,且M=3m,仍由原來(lái)位置釋放,大球可以上升的高度為2h

【答案】AC

二、其次討論非彈性碰撞

1.非彈性碰撞的特點(diǎn)

所謂非彈性碰撞就是碰撞后不能恢復(fù)原狀的碰撞,如圖5所示,即碰前、碰后不滿足機(jī)械能守恒或確切地說(shuō)不滿足動(dòng)能守恒。

圖5

圖6

方法一:數(shù)學(xué)方法

方法二:情景轉(zhuǎn)換法

如圖7所示,一輕彈簧的兩端與兩小球A、B相連接,靜止在光滑的水平面上.現(xiàn)使A以速度v1向右運(yùn)動(dòng)壓縮彈簧。初始階段A速度向右,受到的彈簧的彈力向左,因此A減速;B靜止,受到的彈簧彈力向右,因此B加速,但B的速度小于A的速度,因此彈簧一直被壓縮,兩者速度相等之后B的速度大于A的速度,A、B之間距離開(kāi)始增加,彈簧壓縮量減小,彈性勢(shì)能減小,因此A、B速度相等時(shí)彈簧壓縮量最大,彈簧的彈性勢(shì)能最大,A、B的總動(dòng)能最小,因此可以得到“完全非彈性碰撞的系統(tǒng)動(dòng)能損失量最大”的結(jié)論,即證。

圖7

2.常見(jiàn)的“類完全非彈性碰撞”模型(如果有地面或軌道,地面和軌道皆光滑)

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

【例3】如圖15所示,質(zhì)量為ma、電阻為Ra的光滑金屬桿a由距離地面高h(yuǎn)處?kù)o止沿弧形軌道下滑,足夠長(zhǎng)的水平軌道處在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,水平軌道上放一質(zhì)量為mb、電阻為Rb的光滑金屬桿b,求在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中a、b桿上各自產(chǎn)生的焦耳熱。

圖15

【評(píng)析】a、b桿速度相等之后,回路中磁通量不再變化,沒(méi)有感應(yīng)電流,安培力也就消失了,因此兩桿保持相對(duì)靜止,以共同的速度做勻速運(yùn)動(dòng),相當(dāng)于完全非彈性碰撞,可見(jiàn)應(yīng)用完全非彈性碰撞的結(jié)論進(jìn)行解題,效率明顯高了很多。

3.最后討論類彈性碰撞和非彈性碰撞的融合

圖16

(1)若v1′=0時(shí),說(shuō)明A一直減速,A的最小速度v1min′ =0,A、B的v-t圖像如圖17所示;

圖17

圖18

(3)若v1′<0,說(shuō)明小球A先向右減速,速度減為零之后再向左加速,因此A的最小速度v1min′ =0,A、B的v-t圖像如圖19所示;

【例4】如圖20甲所示,A、B兩物體用壓縮的輕彈簧連接并鎖定置于光滑水平地面上。t=0時(shí)刻先將B物體解除鎖定,t=t1時(shí)刻再將A物體也解除鎖定,此時(shí)B物體的速度為v0。A、B兩物體運(yùn)動(dòng)的a-t圖像如圖乙所示,已知0～t1和t1～t3時(shí)間內(nèi)B物體的a-t圖像與坐標(biāo)軸包圍的面積分別為S1、S2,下列說(shuō)法正確的是

( )

A.A、B兩物體質(zhì)量mA、mB滿足mA

B.S1、S2滿足S1

C.t=t4時(shí)刻彈簧的壓縮量最大

D.0～t5時(shí)間內(nèi),彈簧對(duì)A物體的沖量大小為mBv0

甲

乙

【答案】ACD

【評(píng)析】含有彈簧、物塊的系統(tǒng),相當(dāng)于碰撞的“慢鏡頭”,在彈簧原長(zhǎng)時(shí)相當(dāng)于彈性碰撞,形變量最大時(shí)相當(dāng)于完全非彈性碰撞。

【例5】(2022·全國(guó)乙卷·25)如圖21(a),一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接,靜止在光滑水平面上:物塊B向A運(yùn)動(dòng),t=0時(shí)與彈簧接觸,到t=2t0時(shí)與彈簧分離,第一次碰撞結(jié)束,A、B的v-t圖像如圖21(b)所示。已知從t=0到t=t0時(shí)間內(nèi),物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0。A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同。斜面傾角為θ(sinθ=0.6),與水平面光滑連接,碰撞過(guò)程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求:

圖(a)

圖(b)

(1)第一次碰撞過(guò)程中,彈簧彈性勢(shì)能的最大值;

(2)第一次碰撞過(guò)程中,彈簧壓縮量的最大值;

(3)物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

根據(jù)位移等于速度在時(shí)間上的累積可得sA=vAt,sB=vBt,又sA=0.36v0t0,解得sB=1.128v0t0

第一次碰撞過(guò)程中,彈簧壓縮量的最大值 Δs=sB-sA=0.768v0t0。

解法二:B接觸彈簧后,壓縮彈簧的過(guò)程中,A、B滿足動(dòng)量守恒,有mB·1.2v0=mBvB+mvA,對(duì)方程兩邊同時(shí)乘以時(shí)間Δt,有6mv0Δt=5mvBΔt+mvAΔt

0～t0之間,根據(jù)位移等于速度在時(shí)間上的累積,可得6mv0t0=5msB+msA

將sA=0.36v0t0代入可得sB=1.128v0t0,則第一次碰撞過(guò)程中,彈簧壓縮量的最大值Δs=sB-sA=0.768v0t0

(3)物塊A第二次到達(dá)斜面的最高點(diǎn)與第一次相同,說(shuō)明物塊A第二次與B分離后速度大小仍為2v0,方向水平向右,設(shè)物塊A第一次滑下斜面的速度大小為vA′,設(shè)向左為正方向,根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得

mvA′-5m·0.8v0=m(-2v0)+5mvB′。

根據(jù)能量守恒定律可得

設(shè)A在斜面上滑行的長(zhǎng)度為L(zhǎng),上滑過(guò)程,根據(jù)動(dòng)能定理可得

下滑過(guò)程,根據(jù)動(dòng)能定理可得

聯(lián)立解得μ=0.45

【評(píng)析】本題的難點(diǎn)為彈簧的力為變力,如果能深刻理解上述兩物塊在彈簧的作用下的v-t圖像的話,就能順利地解決了。