貫穿單元主題　體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想

胡尤　馬茂年

［摘? 要］ 與舊教材相比，新教材更突出單元主題教學(xué)，它有利于學(xué)生完整、系統(tǒng)地掌握知識(shí). “簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”是人教A版新教材第九章“統(tǒng)計(jì)”的起始課，為單元學(xué)習(xí)和模塊研究起著“引導(dǎo)”的作用. 文章以此課教學(xué)為例，從知識(shí)、思想、素養(yǎng)三方面闡述如何在單元起始課凸顯“單元主題”.

［關(guān)鍵詞］ 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；單元主題；統(tǒng)計(jì)思想；核心素養(yǎng)

前不久，筆者開設(shè)了新教材“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”（第1課時(shí)）公開課，體會(huì)了新舊教材在教材處理上的理念變化：新教材不再單純闡述兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，而是更加突出統(tǒng)計(jì)方法的“演繹”屬性與統(tǒng)計(jì)思想的“歸納”屬性，而數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)更能有效促進(jìn)核心素養(yǎng)的提升，充分發(fā)揮模塊起始課“貫穿單元主題”的作用.

教材認(rèn)知分析

1. 內(nèi)容意義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確了構(gòu)成高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)的四條主線，分別為函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng). “簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”是人教A版必修第二冊(cè)第九章“統(tǒng)計(jì)”的起始課，也是“概率與統(tǒng)計(jì)”模塊的第一課，其意義可歸納為以下三點(diǎn).

（1）“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”是在初中學(xué)習(xí)了“統(tǒng)計(jì)初步”后更系統(tǒng)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的第一課，是引導(dǎo)學(xué)生初步形成運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想方法來思考問題和解決問題能力和習(xí)慣的第一步.

（2）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是概率抽樣中的一種最基本的抽樣方法，從理論而言，也是最簡(jiǎn)單又最完善的抽樣方法，是抽樣理論和其他抽樣方法的基礎(chǔ).

（3）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣即概率抽樣，是概率學(xué)習(xí)的實(shí)踐驗(yàn)證，為加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)與概率的聯(lián)系打下了基礎(chǔ).

2. 新教材與舊教材的比較

（1）多了一個(gè)“探究”，辨析了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的合理性及“放回抽取”“不放回抽取”（一次性抽取和逐一抽?。┑牡葍r(jià)性.

（2）多了一個(gè)“思考”，體現(xiàn)了對(duì)統(tǒng)計(jì)思想滲透教學(xué)的重視.

（3）換了一種隨機(jī)數(shù)法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育與時(shí)俱進(jìn)的一面：新教材以“用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù)”代替了舊教材的“隨機(jī)數(shù)表法”.

以上變化，體現(xiàn)了新教材理念的改變：

教學(xué)策略解析

1. 教學(xué)目標(biāo)

按照“知識(shí)掌握→概念理解→應(yīng)用建模→思想方法→核心素養(yǎng)”的學(xué)習(xí)認(rèn)知順序，本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)可以分為以下五點(diǎn)：

（1）掌握簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及兩種實(shí)現(xiàn)方法.

（2）結(jié)合概率，感受簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的可行性與樣本估計(jì)總體的可靠性.

（3）利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣工具實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模.

（4）初步形成運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想方法來思考問題和解決問題的習(xí)慣.

（5）以數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為中心，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模與邏輯推理素養(yǎng)的協(xié)同發(fā)展.

2. 學(xué)情診斷

（1）具備統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)總體、樣本、個(gè)體等知識(shí)有初步了解，但對(duì)如何實(shí)施抽樣缺乏系統(tǒng)性歸納.

（2）在對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念認(rèn)知上，學(xué)生對(duì)抽簽法的合理性有感性認(rèn)知，但對(duì)隨機(jī)抽樣的可行性與樣本估計(jì)總體的可靠性缺乏進(jìn)一步的思考.

（3）具備求簡(jiǎn)單事件概率的基礎(chǔ)知識(shí)（古典概型的簡(jiǎn)單實(shí)例），但缺乏對(duì)古典概型的系統(tǒng)認(rèn)知.

（4）具備分析數(shù)學(xué)問題所需的確定性思維，但缺乏運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思維思考問題的習(xí)慣.

3. 教學(xué)策略

（1）教學(xué)方式：以問題鏈的形式貫穿教學(xué)過程，啟發(fā)學(xué)生思維.

（2）教學(xué)形式：借助教學(xué)實(shí)驗(yàn)、多媒體與信息技術(shù)的輔助，提升學(xué)生的感性認(rèn)知.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：角色模擬，體會(huì)統(tǒng)計(jì)意義

問題1 如果你是相關(guān)部門負(fù)責(zé)人，為解決以下問題，你會(huì)怎樣安排工作？

（1）描繪出一張全國(guó)人口動(dòng)態(tài)群像圖，引導(dǎo)養(yǎng)老、醫(yī)療、教育、住房、就業(yè)等精細(xì)化發(fā)展.

（2）了解疫情后我國(guó)工業(yè)恢復(fù)態(tài)勢(shì)，并為之后的工業(yè)發(fā)展做出發(fā)展指導(dǎo).

（3）某商家計(jì)劃選擇在某電視臺(tái)的某一時(shí)段投放廣告.

（4）交通部門將根據(jù)某路口的車流量來決定是否設(shè)置紅綠燈.

（5）藥監(jiān)部門檢查某制藥廠某批次藥品的合格率與有效率.

（6）教育部門將根據(jù)中小學(xué)生實(shí)際睡眠時(shí)間，做出相應(yīng)政策指導(dǎo).

讓學(xué)生嘗試用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題，其基本思路板書總結(jié)如下：實(shí)際問題→確定總體→收集數(shù)據(jù)→分析數(shù)據(jù)→解決問題.

視頻展示1 觀看央視新聞聯(lián)播關(guān)于第七次人口普查的一分鐘報(bào)道——“大國(guó)點(diǎn)名，沒你不行”.

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)突出了單元學(xué)習(xí)的必要性. 隨著社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，統(tǒng)計(jì)在現(xiàn)代化國(guó)家管理和企業(yè)管理中的地位越來越重要，人們的日常生活和一切社會(huì)生活都離不開統(tǒng)計(jì). 有統(tǒng)計(jì)學(xué)家說道：“統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用是這樣普遍，在我們的生活和習(xí)慣中，統(tǒng)計(jì)的影響是這樣巨大，以致統(tǒng)計(jì)的重要性無論怎樣強(qiáng)調(diào)也不過分.”

環(huán)節(jié)2：?jiǎn)栴}探究，理解抽樣的必要性

首先，展示七年級(jí)下（浙教版）第六章相關(guān)知識(shí)，回憶“全面調(diào)查、抽樣調(diào)查”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)；其次，提問如下.

問題2 以下數(shù)據(jù)收集，適合“普查”還是“抽樣調(diào)查”？為什么？

（1）某商家計(jì)劃選擇在某電視臺(tái)的某一時(shí)段投放廣告.

（2）交通部門將根據(jù)某路口的車流量來決定是否設(shè)置紅綠燈.

（3）藥監(jiān)部門檢查某制藥廠某批次藥品的合格率.

（4）教育部門將對(duì)中小學(xué)生實(shí)際睡眠時(shí)間進(jìn)行調(diào)查.

“補(bǔ)刀”展示人口普查的“質(zhì)量控制”階段的工作流程（如圖4所示），在“大事”中體會(huì)抽樣的必要性.

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)引出了本節(jié)課學(xué)習(xí)的意義. 通過與問題1前后呼應(yīng)的方式設(shè)計(jì)問題2，保證了課堂教學(xué)的流暢性與學(xué)生思維的連貫性.同時(shí)，充分利用貫穿本節(jié)課始終的“中小學(xué)生睡眠時(shí)間”與“人口普查”兩個(gè)例子，讓學(xué)生在對(duì)微觀與宏觀的實(shí)際問題的深入分析中感悟全面調(diào)查的局限性與抽樣調(diào)查的必要性，為最后統(tǒng)計(jì)思想的建立與升華埋下了伏筆.

環(huán)節(jié)3：實(shí)驗(yàn)探索，辨析方法的合理性

視頻展示2 央視對(duì)教育部關(guān)于保障中小學(xué)生睡眠時(shí)間的報(bào)道.

問題3 請(qǐng)為以下問題設(shè)計(jì)抽樣調(diào)查方案：為調(diào)查奉化高級(jí)中學(xué)高一（7）班同學(xué)每天的睡眠時(shí)間是否達(dá)到了8小時(shí)，本班班主任打算隨機(jī)抽取10位同學(xué)的睡眠情況進(jìn)行分析，以此估計(jì)全班同學(xué)的睡眠時(shí)間.

實(shí)驗(yàn)1 讓3位同學(xué)在事先準(zhǔn)備的“盲盒”中摸取標(biāo)有全班同學(xué)學(xué)號(hào)的乒乓球，并記錄抽到的10位同學(xué)每天的睡眠時(shí)間，以此估計(jì)全班同學(xué)的睡眠情況.

班主任發(fā)現(xiàn)這10位同學(xué)的睡眠情況基本能代表全班同學(xué)，于是追問如下.

追問1：抽取樣本時(shí)最重要的是保證什么？怎么去保證？

實(shí)驗(yàn)過程中有2位同學(xué)不放回逐一摸球10個(gè)，另一位同學(xué)一次性摸球10個(gè). 針對(duì)這一情況，追問如下.

追問2：一次性批量抽取10個(gè)個(gè)體和逐一不放回抽取10個(gè)個(gè)體，兩種方法等價(jià)嗎？

追問3：相比不放回抽取樣本，放回抽取樣本能滿足個(gè)體被抽取的等可能性嗎？

為使學(xué)生更直觀地感受“有無順序”對(duì)抽取可能性的影響，提出以下兩個(gè)實(shí)例予以佐證：

①從10個(gè)硬幣中隨機(jī)抽取5個(gè)，一次性拿5個(gè)和不放回逐一拿5個(gè)等價(jià)否？

②拋一枚硬幣10次和一次性拋10個(gè)硬幣，出現(xiàn)“正面向上”5次和“正面向上”的硬幣有5個(gè)的概率是否一樣？

設(shè)計(jì)課堂實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步“證實(shí)”以上判斷：

實(shí)驗(yàn)2 口袋中有黃色和白色小球若干個(gè)，除了顏色外，小球的大小、質(zhì)地完全一樣. 你能通過抽樣調(diào)查的方法估計(jì)袋中黃球所占的比例嗎？（事先準(zhǔn)備40個(gè)球，黃白各20個(gè)，學(xué)生分別用放回逐一抽取、不放回逐一抽取和一次性抽取10個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)）

至此，拋出簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念.

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)保證了單元主要核心素養(yǎng)落地. 新教材的“探究”以大篇幅闡述簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的合理性（個(gè)體被抽到的等可能性），但“探究”主要以文字的形式進(jìn)行闡述，這對(duì)僅僅掌握簡(jiǎn)單概率求法的學(xué)生來說并不容易. 本環(huán)節(jié)以兩個(gè)課堂實(shí)驗(yàn)為問題生長(zhǎng)點(diǎn)，以理性推理和實(shí)例感知為獲取知識(shí)的途徑，讓學(xué)生在“實(shí)驗(yàn)與運(yùn)算”中體會(huì)了統(tǒng)計(jì)與概率“歸納與演繹”的辯證關(guān)系，充分滲透了邏輯推理素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4：自主探索，提煉抽樣方法

問題4 現(xiàn)在要從編號(hào)為1—1548的1548位同學(xué)中抽取100位調(diào)查其睡眠時(shí)間，你還能用現(xiàn)有的小球進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣嗎？

方案：準(zhǔn)備10個(gè)大小、質(zhì)地一樣的小球，小球上分別寫上數(shù)字0，1，2，…，9，把它們放入一個(gè)不透明的口袋中.從口袋中有放回逐一摸取4次，每次摸取前充分?jǐn)嚢瑁训谝?、第二、第三、第四次摸到的?shù)分別作為千、百、十、個(gè)位上的數(shù)，這樣就生成了一個(gè)四位隨機(jī)數(shù).

追問1：以上方法與抽簽法有什么區(qū)別？

追問2：當(dāng)總體和樣本都較大時(shí)，隨機(jī)實(shí)驗(yàn)生成隨機(jī)數(shù)的方法方便嗎？（電腦演示）

追問3：類比抽簽法的過程，你能說說隨機(jī)數(shù)法的操作過程嗎？

追問4：請(qǐng)說說抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的異同及優(yōu)缺點(diǎn).

追問分層次逐一對(duì)應(yīng)以下教學(xué)任務(wù)：

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)是完成本節(jié)課“雙基”的主體環(huán)節(jié).因知識(shí)點(diǎn)多，情境統(tǒng)一性不強(qiáng)，所以采取了在問題引導(dǎo)下自主探究的方法歸納和辨析簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的兩種表現(xiàn)形式，有利于“多而雜”的知識(shí)點(diǎn)在學(xué)生腦中形成清晰的邏輯脈絡(luò).當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家保羅·哈爾莫斯（P.R.Halmos）認(rèn)為“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，“問題解決”已被當(dāng)作當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的主流及中心任務(wù).

環(huán)節(jié)5：歸納總結(jié)，升華統(tǒng)計(jì)思想

問題5 請(qǐng)大家嘗試回答以下問題.

（1）在抽樣調(diào)查中，請(qǐng)說說通過“隨機(jī)”選擇的樣本的優(yōu)缺點(diǎn).

①每個(gè)個(gè)體被抽入樣本的機(jī)會(huì)均等，且能計(jì)算出估計(jì)值的抽樣誤差和可靠程度. （等可能性）

②不能充分反映某些總體的信息.（隨機(jī)性）

（2）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，樣本量是不是越大越好？（樣本量的確定需要在樣本可靠度和抽樣成本之間找一個(gè)平衡）

舉例：2010年第六次人口普查結(jié)束后，全國(guó)統(tǒng)一隨機(jī)抽取402個(gè)普查小區(qū)進(jìn)行了事后質(zhì)量抽樣調(diào)查，抽查結(jié)果顯示，人口漏登率為0.21%.

（3）學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)與以往學(xué)習(xí)函數(shù)、向量等知識(shí)有什么區(qū)別？

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)是單元學(xué)習(xí)的思想靈魂. 如何總結(jié)本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想并蘊(yùn)含于單元主題教學(xué)中是本環(huán)節(jié)需要解決的任務(wù). 數(shù)學(xué)思想的貫穿是對(duì)單元主題教學(xué)的深度落實(shí).同時(shí)，通過問題教學(xué)的實(shí)施與思維框圖的應(yīng)用使得學(xué)生在思想方法上得以啟發(fā)與升華，切實(shí)理解了“沒有最好，只有更好”的統(tǒng)計(jì)思想.

教學(xué)反思

作為模塊起始課，如何承擔(dān)“凸顯單元主題”的重任？通過這節(jié)課的教學(xué)，筆者認(rèn)為關(guān)鍵在于“整體性”，具體可從以下三方面進(jìn)行思考.

1. 知識(shí)上承上啟下

知識(shí)內(nèi)容是教學(xué)的第一載體，是學(xué)生最先接受的教學(xué)信息. 知識(shí)上的連貫性是保證單元主題整體性的顯性要求. 在本節(jié)課中，利用回顧初中知識(shí)的方式學(xué)習(xí)就是對(duì)知識(shí)的“承上”，而對(duì)摸球概率的探討既有呈上之意又有對(duì)后學(xué)知識(shí)的“啟下”，潛移默化中關(guān)聯(lián)了“統(tǒng)計(jì)”與“概率”.

2. 思想上貫穿始終

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀》中指出，整體把握課程內(nèi)容需要從思想方法上梳理相關(guān)知識(shí).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)活動(dòng)的靈魂，史寧中教授在《談數(shù)學(xué)基本思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)》中指出，數(shù)學(xué)基本思想是學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具備的基本思想特征，它歸結(jié)為三個(gè)核心：抽象、推理、模型. 歸納推理與演繹推理是“統(tǒng)計(jì)與概率”模塊的主要思想，本節(jié)課通過實(shí)驗(yàn)與演繹并行的方式，讓學(xué)生充分體會(huì)兩種推理思想，為貫穿本模塊埋下了伏筆.

3. 素養(yǎng)上循序落地

單元主題教學(xué)是以學(xué)生從“大格局”建構(gòu)知識(shí)的教學(xué)理念，其目的在于借助對(duì)知識(shí)內(nèi)容與思想方法的整體把控來促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，以此達(dá)到核心素養(yǎng)的有效落實(shí). 一個(gè)單元主題一般有一至兩個(gè)主要核心素養(yǎng)的培育要求，如“統(tǒng)計(jì)與概率”主要承擔(dān)著邏輯推理與數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)的培育，而起始課作為單元教學(xué)的起點(diǎn)，對(duì)本單元的素養(yǎng)培育有著“探照燈”的引路作用. 最終，素養(yǎng)培育將會(huì)隨著知識(shí)學(xué)習(xí)的推進(jìn)循序落地，達(dá)到一個(gè)應(yīng)有的進(jìn)階.