用混沌參數(shù)甄別車輛懸架振動(dòng)信號(hào)的周期性

彭富明，汪正杰，張 雨，王玉國，吳 凱

（1.南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京210094；2.南京工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，南京211167）

用混沌參數(shù)甄別車輛懸架振動(dòng)信號(hào)的周期性

彭富明1，汪正杰1，張 雨2，王玉國2，吳 凱1

（1.南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京210094；2.南京工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，南京211167）

懸架—車輪系統(tǒng)隔振參數(shù)選擇的正確與否取決于系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)周期性的好壞，而單純用肉眼無法有效判別振動(dòng)信號(hào)周期性的差別。用Grassberger-Procaccia（G-P）算法和小數(shù)據(jù)量法合理選擇嵌入維數(shù)、延遲時(shí)間和序列平均周期等重要參數(shù)，并且在對(duì)數(shù)曲線圖中準(zhǔn)確劃定無標(biāo)度區(qū)，以得到比較客觀的關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)。結(jié)果表明：采用關(guān)聯(lián)維和最大Lyapunov指數(shù)作為判據(jù)，可以對(duì)懸架—車輪系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)作周期性甄別，從而更準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)汽車懸架隔振性能。

振動(dòng)與波；懸架—車輪系統(tǒng)；周期性甄別；關(guān)聯(lián)維；Lyapunov指數(shù)；汽車隔振參數(shù)

運(yùn)用混沌特征參數(shù)描述車輛懸架系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，是基于非穩(wěn)態(tài)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌性質(zhì)。關(guān)聯(lián)維數(shù)D2能夠定量地描述事物內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，最大Lyapunov指數(shù)λmax是刻畫奇異吸引子性質(zhì)的一種測(cè)度和統(tǒng)計(jì)量，是針對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌道而言的。它們反映了混沌系統(tǒng)中奇異吸引子的整體變化情況，適合于描述屬于非穩(wěn)態(tài)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的車輛懸架系統(tǒng)的混沌性質(zhì)。本文對(duì)懸架—車輪系統(tǒng)的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行相空間重構(gòu)，計(jì)算其關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)來甄別振動(dòng)信號(hào)周期性好壞，從而引入了一類新的車輛懸架系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)周期性判據(jù)。

1 甄別懸架—車輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)周期性的原理

對(duì)懸架-車輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行計(jì)算處理，能夠得到懸架隔振參數(shù)族，包括阻尼比、懸架效率、左-右輪懸架效率差、固有頻率。

計(jì)算懸架隔振參數(shù)的正確性有賴于對(duì)懸架-車輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)計(jì)算某超調(diào)量下阻尼比ξ的準(zhǔn)確性，其前提是懸架—車輪系統(tǒng)屬于2階線性欠阻尼系統(tǒng)[3]，即懸架阻尼比ξ＜1。當(dāng)對(duì)該系統(tǒng)施以擬脈沖激勵(lì)后，其振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)的理想形態(tài)以有阻尼固定頻率做產(chǎn)生等周期衰減振動(dòng)，如圖1所示。但是對(duì)于實(shí)際的懸架—車輪系統(tǒng)，汽車懸架的剛度和阻尼往往設(shè)計(jì)成非線性，以適應(yīng)不同的路況和載重量，所以上述前提并不存在。因此，施以擬脈沖激勵(lì)后，振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)實(shí)際上具有變周期衰減振動(dòng)的形態(tài)，振動(dòng)過程中振幅越來越小，周期也越來越小。

為了計(jì)算某超調(diào)量下的阻尼比ξ，可采用關(guān)聯(lián)維D2和最大Lyapunov指數(shù)λmax作為判據(jù)，對(duì)懸架—車輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)作周期性甄別。根據(jù)混沌理論[4,5]，對(duì)周期性強(qiáng)的信號(hào)，D2近于1，而λmax較??；反之，對(duì)于周期性弱的信號(hào)，D2遠(yuǎn)離1，而λmax較大。

2 基于關(guān)聯(lián)維與最大Lyapunov指數(shù)進(jìn)行周期性判別

2.1 G-P算法

G-P算法[6,7]是Gtassberger和Procaccia提出的一種比較普遍的求取系統(tǒng)關(guān)聯(lián)維的方法，其中的關(guān)聯(lián)維指的是吸引子真正維數(shù)的估計(jì)值。相空間重構(gòu)之后，定義關(guān)聯(lián)積分函數(shù)為

式（1）中：ri，j=d(Xi-Xj)=‖Xi-Xj‖，即任選一個(gè)基準(zhǔn)向量Xi，計(jì)算Xi到其余各點(diǎn)之間的距離，對(duì)所有Xi(i=1，2，...，N）重復(fù)這一過程，得到所有點(diǎn)對(duì)的間距；r為無標(biāo)度觀測(cè)尺度；θ(u)為Heaviside函數(shù)，即

圖1 懸架—車輪系統(tǒng)振動(dòng)理想響應(yīng)信號(hào)

關(guān)聯(lián)積分函數(shù)表示當(dāng)變量r一定時(shí)，重構(gòu)相空間X中的所有點(diǎn)對(duì)之間距離小于r的點(diǎn)個(gè)數(shù)占所有點(diǎn)的多少。適當(dāng)?shù)剡x取r，在無標(biāo)度區(qū)內(nèi)存在D為關(guān)聯(lián)維數(shù)。

計(jì)算關(guān)聯(lián)積分后繪制l nCm(r)-l n(r)曲線，對(duì)其用直線擬合后的直線斜率即為相空間中奇異吸引子的關(guān)聯(lián)維。

混沌系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)維D2為一個(gè)正的分?jǐn)?shù)。不同的D2值對(duì)應(yīng)不同的系統(tǒng)狀態(tài)：D2=1系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期振蕩狀態(tài)，在相空間中是一條封閉曲線；D2=2系統(tǒng)是有兩個(gè)不可約頻率的周期振蕩；D2是分?jǐn)?shù)時(shí)，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2.2 小數(shù)據(jù)量方法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)

在重構(gòu)的相空間中，尋找每個(gè)參考點(diǎn)Xj的最近鄰點(diǎn)即

為了避免參考點(diǎn)Xj和最近鄰點(diǎn)位于同一軌線上，這里采用限制短暫分離，即要求

其中p為時(shí)間序列的平均周期，它可以通過功率譜的平均頻率的倒數(shù)估計(jì)出來。對(duì)相空間中的每個(gè)點(diǎn)，計(jì)算出該臨近點(diǎn)對(duì)的第i個(gè)離散時(shí)間步長后的

距離

假定第j個(gè)最近鄰點(diǎn)近似以λ1的速率指數(shù)發(fā)散，即

對(duì)其兩邊取對(duì)數(shù)，得

由(7)式可以看出，ln[dj(i)]—i曲線在一定范圍內(nèi)滿足線性關(guān)系，其曲線的斜率為λ1Δt。

因此固定i，對(duì)所有j對(duì)應(yīng)的ln[dj(i)]求平均再除以Δt，得到y(tǒng)(i)

2.3 驗(yàn)證程序的正確性

根據(jù)上述關(guān)聯(lián)維和最大Lyapunov指數(shù)的算法，在MATLAB軟件中編寫了計(jì)算混沌參數(shù)的程序，對(duì)于編寫的算法程序，又采用正弦信號(hào)作為考核案例，來驗(yàn)證它的準(zhǔn)確性。圖2為不同嵌入維數(shù)雙對(duì)數(shù)曲線，從圖中可以看出，最小嵌入相空間維數(shù)m從2開始，無標(biāo)度區(qū)曲線開始趨于一致，關(guān)聯(lián)維數(shù)處于穩(wěn)定狀態(tài)，故選擇m=2。圖3為最小嵌入維數(shù)為m=2時(shí)的y(i)—i曲線，無標(biāo)度區(qū)直線斜率即為最大Lyapunov指數(shù)。由程序計(jì)算得關(guān)聯(lián)維數(shù)D2=1.056 416，最大Lyapunov指數(shù)λmax=0.010 3?？梢钥闯?，D2接近于1，λmax接近于0，考核結(jié)果基本符合確定的周期系統(tǒng)的特性，從而驗(yàn)證了程序的正確性。

圖2 不同嵌入維數(shù)雙對(duì)數(shù)曲線圖

圖3 m=2時(shí)的y(i)—i曲線圖

3 懸架—車輪系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)的周期性判別

3.1 懸架—車輪系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)域信號(hào)

每次人工按壓后獲得的時(shí)域波形相似，單純用肉眼無法判別出信號(hào)周期性差異。如圖4所示為懸架—車輪系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)時(shí)域圖，圖（a）為信號(hào)周期性好的時(shí)域圖，圖（b）為信號(hào)周期性差的時(shí)域圖，兩圖形非常相似，差別不明顯，無法用肉眼判別周期性好壞。由此，可用已驗(yàn)證正確的MATLAB程序計(jì)算出關(guān)聯(lián)維和最大Lyapunov指數(shù)，來判別信號(hào)周期性好壞。

3.2 參數(shù)選擇

（1）一維數(shù)據(jù)序列長度n的確定

圖4 懸架—車輪系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)時(shí)域圖

Eckmann等人1992年曾指出計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)與所用數(shù)據(jù)的長度有關(guān)，近似為其中d為重構(gòu)吸引子的直徑，D為關(guān)聯(lián)維數(shù)D2的估計(jì)值，r為標(biāo)量。由以上所得的數(shù)據(jù)序列長度的值一般較大，在關(guān)聯(lián)維計(jì)算中，實(shí)際的數(shù)據(jù)序列長度往往受許多客觀條件的限制如數(shù)據(jù)來源的限制。所以，數(shù)據(jù)序列長度的選取須根據(jù)數(shù)據(jù)來源等具體情況和分形數(shù)值分析的需要來定。

考慮被測(cè)懸架系統(tǒng)的固有頻率上限小于25 Hz，設(shè)定采樣頻率為50 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為512點(diǎn)，所以采樣時(shí)間為1/50×512=10.24(s)，而施加擬脈沖激勵(lì)后汽車懸架振動(dòng)過程僅需兩三秒鐘，所以數(shù)據(jù)采集卡能完全采集到懸架振動(dòng)的信號(hào)全過程。而采集512個(gè)點(diǎn)，對(duì)于本實(shí)驗(yàn)已經(jīng)足夠。

（2）時(shí)間延遲的確定

延遲時(shí)間的選取原則是讓時(shí)間序列內(nèi)元素之間的相關(guān)性減弱，同時(shí)又要保證時(shí)間序列包含的原系統(tǒng)的信息不會(huì)丟失。研究表明，當(dāng)關(guān)聯(lián)函數(shù)的值第一次為0（或近似為0）對(duì)應(yīng)的延遲時(shí)間比較合適，設(shè)定為最佳時(shí)延。經(jīng)過驗(yàn)證，不同懸架—車輪振動(dòng)信號(hào)樣本的延遲時(shí)間相差不大。在τ=11情況下，懸架—車輪振動(dòng)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)圖如圖5所示。

圖5 自相關(guān)函數(shù)曲線

（3）嵌入維數(shù)m的確定

嵌入維數(shù)m是指能完全包容吸引子的最小子空間維數(shù)，它是重構(gòu)相空間的一個(gè)重要參數(shù)。當(dāng)關(guān)聯(lián)維達(dá)到飽和以前隨著相空間維數(shù)m的增加，所得到的關(guān)聯(lián)維數(shù)也在增加。取飽和時(shí)對(duì)應(yīng)的m為嵌入維。對(duì)于本實(shí)驗(yàn)測(cè)得的懸架—車輪振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得出關(guān)聯(lián)維飽和時(shí)對(duì)應(yīng)的嵌入維數(shù)為6。

3.3 無標(biāo)度區(qū)的確定

3.3.1 關(guān)聯(lián)維無標(biāo)度區(qū)判定

將雙對(duì)數(shù)曲線中直線度較好的區(qū)間定義為無標(biāo)度區(qū)。一般無標(biāo)度區(qū)的確定采用肉眼判別法，簡單快速。例如圖8中無標(biāo)度區(qū)可選取[0.4，0.7]。

對(duì)于懸架—車輪振動(dòng)響應(yīng)同一組信號(hào)，不同嵌入維數(shù)雙對(duì)數(shù)曲線變化圖及無標(biāo)度區(qū)，如圖6所示。圖中曲線從上到下對(duì)應(yīng)嵌入維m分別為2、4、6、…，20，依次相差2。從圖8可知：無標(biāo)度區(qū)曲線隨著m的增加趨于平行或者重合，也驗(yàn)證了隨著m的增大，關(guān)聯(lián)維數(shù)趨于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)m為6時(shí)，雙對(duì)數(shù)曲線趨于一致，故在懸架—車輪振動(dòng)數(shù)據(jù)處理時(shí)，選擇m=6。

圖6 不同嵌入維數(shù)雙對(duì)數(shù)曲線變化圖及無標(biāo)度區(qū)

3.3.2 最大Lyapunov指數(shù)無標(biāo)度區(qū)判定

前面指出，選擇曲線y(i)—i的一段線性區(qū)域，并用最小二乘法作出回歸直線，該直線的斜率就是最大Lyapunov指數(shù)λmax?？紤]f=y(i)的1階導(dǎo)數(shù)

理想情況下，如果y(i)—i滿足線性關(guān)系，那么f′應(yīng)該為一常值。因此，在曲線y(i)—i最終達(dá)到飽和之前，選取曲線y(i)-y(i-1)—i隨i的變化相對(duì)較小的區(qū)域即是理想的線性區(qū)域。圖7中，圖（a）為y(i)—i曲線圖，圖（b）為y(i)的1階導(dǎo)數(shù)曲線圖。

圖7 最大Lyapunov指數(shù)

在圖7（b）中，當(dāng)i=50—150時(shí)，曲線y(i)-y(i-1)—i幾乎為一常值，說明曲線y(i)—i的斜率相對(duì)穩(wěn)定。因此，懸架—車輪振動(dòng)信號(hào)的線性區(qū)域取[50，150]。

3.4 實(shí)例分析

通過加速度傳感器獲得按壓車體時(shí)懸架-車輪系統(tǒng)振動(dòng)的加速度，得到8個(gè)信號(hào)樣本。用已驗(yàn)證正確的matlab程序分別對(duì)8個(gè)樣本進(jìn)行計(jì)算處理，得到8組D2和λmax值。表1所示是8個(gè)樣本按計(jì)算出的D2值由大到小排序的結(jié)果。

根據(jù)混沌理論，對(duì)周期性強(qiáng)的信號(hào)，D2近于1，而λmax較??；反之，對(duì)于周期性弱的信號(hào)，D2遠(yuǎn)離1，而λmax較大。

表1 一汽大眾響應(yīng)信號(hào)樣本的D2和λmax

由表1可見：樣本1—8的λmax都接近于0，差別太小，且考慮計(jì)算結(jié)果誤差的原因，不具可比性，不能獨(dú)立反映周期性強(qiáng)弱，可用來輔助D2進(jìn)行判斷；而D2依次減小，差別明顯，說明周期性越來越差。我們?cè)O(shè)定D2＞0.7的樣本是合格的樣本，可依此挑選出周期性比較好的樣本，即樣本1、2、3，而剔除掉其余周期性較差的樣本。

4 結(jié)語

1）單純用肉眼無法判別懸架-車輪振動(dòng)信號(hào)時(shí)域圖的周期性差異，可采用關(guān)聯(lián)維D2和最大Lyapunov指數(shù)λmax作為判據(jù)，對(duì)懸架—車輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)作周期性甄別；

2）合理選擇嵌入維數(shù)、數(shù)據(jù)長度、延遲時(shí)間、序列平均周期等重要參數(shù)，并且在曲線圖中準(zhǔn)確劃定無標(biāo)度區(qū)才能得到比較客觀的關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)，從而正確評(píng)價(jià)信號(hào)的周期性；

3）在曲線最終達(dá)到飽和之前，曲線[y(i)-y(i-1)]—i隨i的變化相對(duì)較小的區(qū)域即是理想的線性區(qū)域；

4）未知matlab程序是否正確的情況下，先用正弦信號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)正弦信號(hào)的計(jì)算結(jié)果表明，編寫的matlab程序是正確可行的；

5）本文所用周期性判別方法不只用于懸架-車輪系統(tǒng)，對(duì)其它信號(hào)也適用，具有廣泛用途。

[1]Frision,T.,Abarbanel,H.D.I,Cembrola,J.Ang Katz,R.Nonlinear analysis of environment distortions of continuous wave signals in the ocean[J].Journal of the Acoustical Society of America，1996,99(1):139-146.

[2]Turcotte,D.L.Fractals in geology and geophysics[J].Pure and Applied Geophysics,1989,131(1/2):171-196.

[3]李杰敏.汽車拖拉機(jī)實(shí)驗(yàn)學(xué)(2版)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1998:26-27.

[3]Li Jiemin.Automotive tractor experimental subject[M].Version 2.Beijing:Mechanical Industry Press,1998:26-27.

[4]LIU W Y,ZHU W Q,HUANG Z L.Effect of bounded noise on chaotic motion of doffing oscillator under parametric excitation[J].Chaos,Solitons and Fractals, 2001,12（3）:527-537.

[5]Barrett M D.Continuous control of chaos[J].Physica D: Nonlinear Phenomena,1996,91（4）:340-348.

[6]Peter G，Itamar P.Characterization of strange attractors [J].Physical Review Letters,1983,50(5):346-349.

[7]王慶華，張興彪，張洪朋，等.分形理論在液壓泵故障診斷中的應(yīng)用[J].大連海事大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，30(2)：40-43.

[7]WANG Qin-hua,ZHANG Xin-biao,ZHANG Hong-peng, and so on.Application of fractal theory to fault diagnosis for hydraulic pump[J].J ournal Dalian Maritime University,2004,30(2):40-43.

[8]M.T.Rosenstein,J.J.Collins and C.J.De luca.A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets[J].Physica D,1993,65: 117-134.

Distinguishing the Vibration Signal’s Periodicity of Vehicle’s Suspension System Based on Chaotic Parameters

PENG Fu-m ing1,WANG Zheng-jie1,ZHANG Yu2, WANG Yu-guo2,WU Kai1

(1.School ofAutomation,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China; 2.School of Mechanical Engineering,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China)

The correctness for calculating the anti-vibration parameters of a suspension-wheel system depends on the quality of periodicity of the vibration signals of the system.But simply using the naked eyes can not effectively distinguish the periodicity differences of the vibration signals.In this article,the Grassberger-Procaccia(G-P)algorithm w ith small data sets is adopted to reasonably choose the embedding dimension,reconstruction delay,mean period of the time series and some other important parameters.And the scale-free zone is accurately delim ited in the logarithm ic-curve diagrams to get fairly objective correlation dimension and the maximum Lyapunov exponent.The results show that the correlation dimension and the maximum Lyapunov exponent can be used as criteria to distinguish the periodicity of the vibration signals for the suspension-wheel system,so that the vibration isolation performance of automobile’s suspensions can be evaluated more accurately.

vibration and wave;suspension-wheel system;periodicity distinction;correlation dimension;Lyapunov exponent;anti-vibration parameters of auto

1006-1355(2014)04-0104-05

TB53；U463.33；O415.5 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.04.023

自混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)以來，混沌已被證實(shí)是廣泛地存在于自然系統(tǒng)和人工系統(tǒng)當(dāng)中的一種非線性現(xiàn)象。汽車懸架是典型的非線性系統(tǒng)，由于結(jié)構(gòu)的復(fù)沌?；煦缣卣鲄?shù)關(guān)聯(lián)維因其良好的特征性，通過重構(gòu)相空間與非線性問題建立了聯(lián)系，近年在水聲信號(hào)處理[1]、地震信號(hào)處理[2]、機(jī)械故障診斷等領(lǐng)域得到應(yīng)用。最大Lyapunov指數(shù)在腐蝕深度預(yù)測(cè)、城市用水量預(yù)測(cè)、邊坡位移預(yù)測(cè)等領(lǐng)域獲得了很好的效果。因此，關(guān)聯(lián)維和最大Lyapunov指數(shù)作為解決復(fù)雜非線性問題的重要方法具有廣闊的應(yīng)用前景。

2013-10-10

2012年度江蘇省高校科研成果產(chǎn)業(yè)化推進(jìn)工程項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：JHZD2012-6）江蘇省自然科學(xué)基金B(yǎng)K20130746

彭富明（1965-），男，江蘇宜興人，高級(jí)工程師，碩士生導(dǎo)師?，F(xiàn)從事車輛測(cè)量與控制、汽車電子研究。

汪正杰，男，碩士研究生。

E-mail:842956715@qq.com