老題再現(xiàn),生成初中數(shù)學(xué)課堂新智慧

[摘? 要] 數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，在習(xí)題訓(xùn)練的過(guò)程中不僅要做新題還要關(guān)注老題，熟悉的試題重新再做會(huì)有意想不到的新收獲. 教學(xué)中關(guān)注老題重做，隨著學(xué)習(xí)階段的深入，知識(shí)融合程度的提高，老題重做會(huì)出現(xiàn)新的思路，解題方法也會(huì)多樣化，可以拓寬學(xué)生的視野，提升學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞] 老題新做;解題方法;拓展思路

作者簡(jiǎn)介：秦晨熹（1997—），本科學(xué)歷，中學(xué)二級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用體現(xiàn)在習(xí)題中，因此許多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)容易陷入“題?！睉?zhàn)術(shù)，教師也常常不斷地給學(xué)生新的習(xí)題進(jìn)行訓(xùn)練，但是效果卻與預(yù)想的相差甚遠(yuǎn). 事實(shí)上，題目千變?nèi)f化，新的習(xí)題層出不窮，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生從變化多端的習(xí)題中尋找考查點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)命題意圖，從原有的老題中探尋新的解題思路，真正提升學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì). 筆者將從教學(xué)實(shí)踐中談一談如何進(jìn)行老題新做，促使新的習(xí)題教學(xué)方式生成，供各位同行分析討論.

老題再現(xiàn)，拓寬視野

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中會(huì)接觸到許多習(xí)題，不同的階段會(huì)產(chǎn)生不同的思路，教師要嘗試結(jié)合學(xué)情適當(dāng)改編老題，使學(xué)生在老題重做的過(guò)程中生成新的智慧，拓寬視野. 初三中考復(fù)習(xí)時(shí)，筆者給學(xué)生提供了一道八年級(jí)習(xí)題的改編題——老題新做[1].

案例1? （1）在一次習(xí)題課上，王老師給同學(xué)們提出了以下問(wèn)題：如圖1所示，正方形ABCD的邊BC上有中點(diǎn)E，∠AEF為直角，∠DCP的平分線(xiàn)為CF，與EF相交于點(diǎn)F. 求證：AE與EF相等.

經(jīng)過(guò)思考，小華同學(xué)提出了一種正確的解答思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，那么AM與EC相等，可以得到△AME與△ECF全等，因此AE與EF相等.

（2）在這一基礎(chǔ)上，同學(xué)們進(jìn)一步探究，有同學(xué)提出了其他看法. 小明提出：如圖2所示，假設(shè)將“邊BC上的中點(diǎn)E”改為“點(diǎn)E為BC邊上除點(diǎn)B，C外的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么AE與EF仍然相等. 請(qǐng)大家思考一下，小明提出的想法正確嗎？你能不能說(shuō)出理由？

（3）小麗提出：如圖3所示，邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上有一點(diǎn)E是除C點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么AE與EF仍然相等. 你認(rèn)為小麗的想法正確嗎？你能不能說(shuō)出理由？

面對(duì)這樣一道老題，講解過(guò)程中筆者提出了一個(gè)常用的解法，即如圖4所示，作FG垂直于BC，并與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)G，由此證明△ABE與△EGF全等. 在學(xué)習(xí)正方形時(shí)也做過(guò)這道題，當(dāng)時(shí)這樣添加輔助線(xiàn)是無(wú)法解決的.

生1：老師，我覺(jué)得這個(gè)方法現(xiàn)在可以證明了.

師：是嗎？那你說(shuō)一說(shuō)你的想法.

生1：△ABE與△EGF相似，要進(jìn)一步證明它們是全等的，只要證明它們的一條邊相等就可以了.

（面對(duì)證明兩條邊相等，經(jīng)過(guò)一番推理，仍然無(wú)法解決）

師：這個(gè)問(wèn)題我們?cè)瓉?lái)也研究過(guò)，但是這條路似乎走不通，不能這樣構(gòu)造全等三角形，但是從題目已知的條件來(lái)看這兩個(gè)三角形應(yīng)該是全等的，關(guān)鍵是如何進(jìn)行證明.

這樣看來(lái)這道題要轉(zhuǎn)換成證明三角形全等，如圖5所示，取邊AB的中點(diǎn)H，連接HE，可以證明△AHE和△ECF全等.

問(wèn)題探討到這里似乎已經(jīng)可以結(jié)束了，這時(shí)突然有學(xué)生打斷了教學(xué).

生2：老師，前面的方法也可以證明三角形全等.

（生2剛才一直低頭在思考，原來(lái)一直沒(méi)有放棄前面的做法）

師：好的，那你說(shuō)說(shuō)怎么證明.

生2：如圖4所示，通過(guò)△ABE與△EGF相似，可以證明==，因此EG是FG的兩倍. 因?yàn)椤螪CG被CF平分，所以∠FCG等于45°，所以CG與FG相等，EG等于CG的兩倍，EG也等于EC的兩倍. 因?yàn)锽C的中點(diǎn)為E，所以BC是EC的兩部，所以EG=BC=AB，于是△ABE與△EGF全等，可以得到AE與EF相等.

（生2的闡述使得學(xué)生都投來(lái)了欣賞的眼光，紛紛表示贊同，筆者抓住時(shí)機(jī)表?yè)P(yáng)了生2敢于質(zhì)疑的創(chuàng)新精神以及積極思考的探究精神）

筆者繼續(xù)問(wèn)道：這個(gè)方法非常好，那么是不是后面的情況都適用呢？有興趣的同學(xué)可以嘗試一下.

學(xué)生在筆者的激勵(lì)下，被點(diǎn)燃了學(xué)習(xí)的熱情，教室里的學(xué)習(xí)氣氛更加濃烈了，直到下課，學(xué)生還意猶未盡，一下課生2馬上找到了筆者.

生2：老師，我用這種方法也能證明剛才題目中的第（2）問(wèn)，只是較麻煩一點(diǎn). 方法是這樣的：如圖6所示，過(guò)點(diǎn)F作FG與BC垂直，垂足為G，設(shè)FG與CG相等且都為x，BE等于y，EC等于z. 由第（1）問(wèn)知道△ABE與△EGF相似，可得=，即=，所以x與y相等，即BE與FG相等. 又△ABE與△EGF相似，所以?xún)蓚€(gè)三角形全等，由此可以得到AE與EF相等.

這名學(xué)生的精神和想法也深深地影響到了筆者，驅(qū)使筆者也嘗試用生2的方法去探究第（3）問(wèn)，順利地證明了點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上的情況. 就是課堂上一個(gè)不經(jīng)意的生成引發(fā)了一種新的解法，使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)了出來(lái)，產(chǎn)生了主動(dòng)學(xué)習(xí)的熱情，對(duì)數(shù)學(xué)充滿(mǎn)了濃厚的學(xué)習(xí)興趣，這將對(duì)其長(zhǎng)期發(fā)展產(chǎn)生巨大的推動(dòng)力.

學(xué)生的潛力是無(wú)限的，需要教師創(chuàng)設(shè)平等交流的氛圍，提供有效的問(wèn)題引導(dǎo)，在充分的思考空間和時(shí)間中激發(fā)學(xué)生巨大的潛力，實(shí)現(xiàn)新的發(fā)展. 學(xué)生多樣的思維角度也會(huì)促進(jìn)教師教學(xué)，為教學(xué)提供更加豐富的素材，使課堂教學(xué)更加精彩.

這一例題還可以通過(guò)圓的知識(shí)進(jìn)行解決，方法更加簡(jiǎn)捷和巧妙，是一種新的思路，下面以點(diǎn)E為BC邊上的任意一點(diǎn)為例進(jìn)行介紹.

如圖7所示，連接AC，AE，點(diǎn)E無(wú)論怎樣移動(dòng)，∠AEF都是90°，容易想到點(diǎn)E在直徑為AF的圓上，這樣作一個(gè)輔助圓. 因?yàn)椤螦EF與∠ACF相等且都是90°，所以點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，得到∠AFE和∠ACB相等且都是45°，所以△AEF是等腰直角三角形，所以AE=EF. 當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上也同樣可以這樣證明. 由此，大家可以得到一個(gè)結(jié)論：在一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程中，如果有一個(gè)角是不變的，就像這道題中的∠AEF，那么這個(gè)角的頂點(diǎn)（如本題中的點(diǎn)E）通常都會(huì)在一個(gè)圓上，這時(shí)將這個(gè)圓作出來(lái)，利用圓的知識(shí)就可以發(fā)現(xiàn)一種解題的途徑. 可見(jiàn)，如果師生善于發(fā)現(xiàn)，一些看似和圓無(wú)關(guān)的問(wèn)題，當(dāng)能作出輔助圓時(shí)，便可以獲得巧妙的解答方法.

變式練習(xí)以一題多變、一題多解的方式引導(dǎo)學(xué)生以更加豐富的角度看待問(wèn)題，尋求更多的集體方法，學(xué)生能夠充分調(diào)動(dòng)思維活動(dòng)，在體驗(yàn)、探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中注重老題新做可以通過(guò)一道習(xí)題涵蓋更多的知識(shí)點(diǎn). 通過(guò)一題多解的方式，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，當(dāng)然也要注意具體情況的分析，思維靈活性仍然建立在夯實(shí)基礎(chǔ)的情況下，要進(jìn)行合理分配，才能全面發(fā)展.

老題再現(xiàn)指導(dǎo)命題

命題是教師需要具備的一項(xiàng)重要技能，只有研究命題才能在教學(xué)中更有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，提高學(xué)生的解題能力. 筆者受到生2的啟發(fā)，將上述例題進(jìn)行了改編，并呈現(xiàn)以下幾道具有探究性的問(wèn)題.

改編1：

（1）如圖8所示，正方形ABCD的邊BC上的中點(diǎn)為E，∠AEF為直角，∠DCG的平分線(xiàn)CF與EF相交于點(diǎn)F. 求證：AE與EF相等.

學(xué)生小剛提出了一種解題方法：過(guò)點(diǎn)F作FG與BC垂直，垂足為G，因?yàn)椤螦EB與∠FEG的和是90°，∠AEB與∠BAE的和是90°，所以∠FEG與∠BAE相等. 又∠B與∠EGF都等于90°，所以△ABE與△EGF相似，因此==. 請(qǐng)你將后面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

類(lèi)比探究：

（2）在這個(gè)基礎(chǔ)上，同學(xué)們進(jìn)一步進(jìn)行探究，小麗又提出了一個(gè)新想法：如圖9所示，若將“邊BC上的中點(diǎn)E”改為“點(diǎn)E為BC邊上除點(diǎn)B，C外的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，AE與EF仍然相等，而且可以用第（1）問(wèn)中的方法進(jìn)行證明，你覺(jué)得小麗的說(shuō)法正確嗎？你能不能說(shuō)出理由？

拓展延伸：

（3）邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上有一點(diǎn)E是除C點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么AE與EF仍然相等嗎？請(qǐng)你在圖10中將圖形補(bǔ)充完整，并進(jìn)行證明，證明的方法不限.

中考題中幾何探究題是必考點(diǎn)，主要考查學(xué)生圖形的綜合推理能力，涉及圖形的移動(dòng)、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)、折疊等，經(jīng)常需要通過(guò)添加輔助線(xiàn)實(shí)現(xiàn)圖形轉(zhuǎn)換. 筆者進(jìn)行了上述試題的改編后，覺(jué)得還不夠完善，畢竟在中考題中考查學(xué)生一種不經(jīng)常使用的證明方法不是特別合適，大部分學(xué)生在考試中運(yùn)用新的證明方法來(lái)解答的可能性是很小的，因此這道題目就失去了區(qū)分度，體現(xiàn)不出選拔的功能，但是對(duì)提升學(xué)生的思維能力還是非常有益的，可以作為課后的拓展和提優(yōu). 命制試題的過(guò)程是一個(gè)不斷完善的過(guò)程，在教師的教研活動(dòng)中，幾位同行與筆者共同探討了這道試題，再次進(jìn)行了改編，更加貼近中考的要求. （改編后的試題如下）

改編2：

已知正方形ABCD的邊BC射線(xiàn)上有一點(diǎn)E，點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合，連接AE. 如圖11所示，當(dāng)點(diǎn)E是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)時(shí)，將線(xiàn)段AE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線(xiàn)段EF，連接CF，發(fā)現(xiàn)∠FCB等于135°.

（1）如圖12所示，當(dāng)點(diǎn)E是線(xiàn)段BC上的任意一點(diǎn)時(shí)，將線(xiàn)段AE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線(xiàn)段EF，連接CF，∠FCB的度數(shù)會(huì)發(fā)生變化嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）如圖13所示，當(dāng)點(diǎn)E是線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)時(shí)，將線(xiàn)段AE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線(xiàn)段EF，連接CF，請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)線(xiàn)段AE，CF和CE之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論和理由.

（3）假設(shè)BE等于AB，請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CFE的度數(shù).

這道題經(jīng)過(guò)這樣的改編后變得更容易入手，解題方法更加多樣化，可以通過(guò)不同的方法添加輔助線(xiàn)從而構(gòu)造全等三角形，多種解題方法也符合中考題的考查特點(diǎn)，能夠考查學(xué)生思維的靈活性和邏輯推理的能力. 第（2）問(wèn)求證三條邊間的數(shù)量關(guān)系，提高了難度，具有較強(qiáng)的區(qū)分度，也體現(xiàn)出了問(wèn)題間層層遞進(jìn)的梯度，在注重基礎(chǔ)知識(shí)考查的情況下，兼顧中考的選拔功能[2].

教學(xué)實(shí)踐與反思

復(fù)習(xí)教學(xué)中通過(guò)老題新做和老題新編能夠不斷發(fā)掘試題蘊(yùn)含的價(jià)值，能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)從多個(gè)角度思考問(wèn)題. 復(fù)習(xí)教學(xué)中的老題新做的價(jià)值不止于此，教學(xué)中還可以通過(guò)基礎(chǔ)圖形的不斷豐富，構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)，提升解題能力.

案例2? 一般三角形.

（1）從圖14的△ABC中，你發(fā)現(xiàn)了三角形的三條邊和三個(gè)角之間有什么關(guān)系嗎？請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)你判斷的理由.

（2）從圖14的△ABC中，猜想一下它的邊之間與角之間的大小關(guān)系，并證明你的猜想.

案例3? 特殊三角形.

等腰三角形：

（3）在圖14的基礎(chǔ)上，假設(shè)CA與CB相等，△ABC就成了等腰三角形，那么圖15中的等腰三角形ABC的邊、角以及邊和角之間有著什么關(guān)系呢？請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)你判斷的理由.

（4）在圖15的基礎(chǔ)上，若∠A等于60°，△ABC就成了等邊三角形，如圖16所示，請(qǐng)你仿照第（3）問(wèn)，研究等邊三角形的性質(zhì).

直角三角形：

（5）在圖14的基礎(chǔ)上，若∠C是直角，△ABC就成了直角三角形，如圖17所示，請(qǐng)問(wèn)直角三角形ABC的邊之間和角之間有著什么數(shù)量關(guān)系呢？

（6）如圖17所示的直角三角形ABC的邊和角之間有著什么樣的函數(shù)關(guān)系呢？

（7）在圖17的基礎(chǔ)上，若∠A等于30°，你又有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

以上這些都是學(xué)生非常熟悉的基本圖形和基礎(chǔ)題、老題，在復(fù)習(xí)過(guò)程中如何更好地利用它們進(jìn)而發(fā)揮試題的功能呢？在該例中教師可將一個(gè)基本圖形的邊和角根據(jù)考查的知識(shí)點(diǎn)不斷進(jìn)行推理和演化，形成一個(gè)新的“圖形鏈”，演繹思維由一般到特殊的進(jìn)程，再通過(guò)“圖形鏈”讓學(xué)生進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí)，以實(shí)現(xiàn)更加系統(tǒng)化的復(fù)習(xí)，在老題新做中生成新的課堂智慧.

在教學(xué)的過(guò)程中教師還可以通過(guò)在基礎(chǔ)圖形上添加新的元素使基礎(chǔ)圖形更加豐富，呈現(xiàn)出多樣的變化，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生新的結(jié)論，再通過(guò)證明結(jié)論獲得新的發(fā)現(xiàn). 從圖16來(lái)說(shuō)，如果添加條件“CD與AB垂直，垂足為D”，如圖19所示，你會(huì)有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

在這些基礎(chǔ)圖形上教師還可以通過(guò)添加輔助線(xiàn)的辦法使圖形更加豐富，生成更多新的試題，發(fā)展學(xué)生的思維. 在進(jìn)行老題改編前，教師要非常明確考查的知識(shí)點(diǎn)，用知識(shí)點(diǎn)來(lái)連接，以使知識(shí)更加系統(tǒng)化;同時(shí)要明確通過(guò)什么樣的方式將知識(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)得更加有效. 在老題新做和老題改編的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷深入交流和探討，培養(yǎng)他們追求真理的科學(xué)精神，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì).

隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)不斷積累，研究的方法更加豐富，在老題新做的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)新的思路和方法，使學(xué)生的解題能力不斷提升，對(duì)于知識(shí)的理解更加深刻. 教學(xué)中教師要不斷鉆研，理清知識(shí)之間的聯(lián)系，研究命題技術(shù)，不斷突破傳統(tǒng)思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的新跨越.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳向明. 質(zhì)的教育研究中研究問(wèn)題的界定[J]. 教育評(píng)論，1999（01）：28-31.

[2]喻平. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素析取的實(shí)證研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（06）：1-6.