妙用三種思路求解抽象函數(shù)問(wèn)題

孫建麗

抽象函數(shù)問(wèn)題具有較強(qiáng)的抽象性，題目中往往不會(huì)給出具體的函數(shù)解析式，對(duì)此，很多同學(xué)不知該如何下手.下面結(jié)合實(shí)例，談一談求解抽象函數(shù)問(wèn)題的三種思路.

一、取特殊值

在解答抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，為了找到更多的條件， 我們可以采用特殊值法，根據(jù)題意選取合適的特殊 值、特殊函數(shù)、特殊位置、特殊點(diǎn)，將其代入題設(shè)條件 中，進(jìn)行合理的代換、運(yùn)算，即可建立關(guān)系式，快速明 確函數(shù)的性質(zhì)，從而求得問(wèn)題的答案.

例1

解：

由于題目中沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式，很多同 學(xué)不知該如何下手，若根據(jù)題意設(shè)函數(shù)為 f （x）= -2x ， 即可快速確定函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，以及 f （0）、f （3） 的值，求得 f （3x 2 ）- 2f （x）< f （3x）+ 4 的解集.我們采用取 特殊值法，通過(guò)取特殊函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函 數(shù)問(wèn)題，從而達(dá)到化難為易的目的.

例2

解：

解答本題，首先要根據(jù)已知關(guān)系式，判斷出函數(shù)的奇偶性和周期性；然后取特殊值x =-1，得 f（-1）=f（1）=0，即可根據(jù)函數(shù)的周期性，快速求得 f（99）+f（100）的值.對(duì)于一些求值題，往往可以將0、1、-1、-x 作為特殊值，代入已知關(guān)系式中進(jìn)行求解.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的性質(zhì)有很多，如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性.在解答抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，往往需根據(jù)已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性、周期性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性的定義來(lái)明確函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性來(lái)建立關(guān)系式.

例3.已知函數(shù) f（x）的定義域?yàn)?R ，當(dāng) x1-1，且f（1）=1，則以下說(shuō)法中正確的是（）.

A. f（x）+x 是單調(diào)遞減的

B. f（x）是單調(diào)遞增的

C.不等式 f（log2|3x -1|）<2-log2|3x -1|的解集為（-∞，0）?（0， 1）

D.不等式 f（log2|3x -1|）<2-log2|3x -1|的解集為（-∞， 1）

解：

我們由已知條件，即可根據(jù)增函數(shù)的定義快速判 斷出 g（x）= f （x）+ x 的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)其單調(diào)性解不 等式 f （log2|3x - 1|）< 2 - log2|3x - 1| ，從而使問(wèn)題快速獲 解.

三、數(shù)形結(jié)合

若根據(jù)題目中的關(guān)系式很難求得問(wèn)題的答案，則 可以根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)的圖象，對(duì)其進(jìn)行翻折變換、 平移變換、對(duì)稱(chēng)變換，通過(guò)研究函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)、 最值、對(duì)稱(chēng)性等，來(lái)求得問(wèn)題的答案.

例4

解：

可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合法是解 答抽象函數(shù)問(wèn)題的有效工 具.只需畫(huà)出滿足題意的圖 象，通過(guò)研究圖象的位置關(guān)系，確定交點(diǎn)的位置、取 值，即可快速解題.

雖然抽象函數(shù)問(wèn)題的難度較大，但是我們只要學(xué) 會(huì)根據(jù)題意選擇合適的特殊值，靈活運(yùn)用函數(shù)的性 質(zhì)、圖象，便能高效解題.

（作者單位：江蘇省鹽城市射陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)）