如何列方程解答應(yīng)用題

巫慧文

在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，我們從 一元一次方程，學(xué)習(xí)到二元一次方程，又學(xué)習(xí) 了一元二次方程……方程的內(nèi)容逐步擴(kuò)展， 但列方程解應(yīng)用題始終是整個(gè)學(xué)習(xí)過程中的 一個(gè)重點(diǎn)，其目的是考查同學(xué)們分析問題和 解決問題的能力.那么，如何正確列出方程解 應(yīng)用題呢？本文提出了列方程解應(yīng)用題應(yīng)注 意的三個(gè)要點(diǎn).

一、合理設(shè)置未知元

列方程解應(yīng)用題的類型千變?nèi)f化，但只 要設(shè)置一個(gè)合理的未知數(shù)，就能使解題過程 既簡(jiǎn)潔又易于計(jì)算.一般來說，設(shè)未知數(shù) x 有 兩種方法：一是直接法，就是題目中問什么就 設(shè)什么；二是間接法，對(duì)于一些復(fù)雜的問題， 要先將題目中變量之間隱含的關(guān)系找出來， 把與所求問題有關(guān)聯(lián)的中間量設(shè)為 x ，待求 出中間量之后，再根據(jù)題意算出最后的答案.

例1 商店對(duì)某種商品進(jìn)行調(diào)價(jià)，按原價(jià) 的8折出售，此時(shí)商品的利潤(rùn)率是10%，此商 品的進(jìn)價(jià)為1600元.商品的原價(jià)是多少？

分析：商品利潤(rùn)≠商品的利潤(rùn)率.本題中 商品進(jìn)價(jià)和商品的利潤(rùn)率都已知，而商品利 潤(rùn)=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)=商品原價(jià) ×800 0 -商 品進(jìn)價(jià)，由此設(shè)未知數(shù)列出方程.

解：

說明：本題較為簡(jiǎn)單，直接將要求的量設(shè) 為未知量，準(zhǔn)確找出其中的等量關(guān)系即可正 確解題.

例2 國(guó)家規(guī)定存款利息的納稅辦法是： 利息稅=利息 × 20%，儲(chǔ)戶取款時(shí)由銀行代扣代收.若銀行一年定期儲(chǔ)蓄的年利率為 2.25%，儲(chǔ)戶取出一年到期的本金及利息時(shí)，扣除了利息稅36元，則銀行向該儲(chǔ)戶支付的現(xiàn)金是多少元？

分析：要求銀行向該儲(chǔ)戶支付的現(xiàn)金，需由利息稅36元求出該儲(chǔ)戶的本金.

解：

說明：本題數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，直接設(shè)未知數(shù)不易表示相等關(guān)系，較難列出方程，此時(shí)可將不是直接求解的某個(gè)量設(shè)為未知數(shù)，從而使問題容易得解.

二、準(zhǔn)確構(gòu)建等量關(guān)系

列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是尋找并建立等量關(guān)系.建立等量關(guān)系的途徑有很多，首先可從我們學(xué)過的數(shù)學(xué)公式或熟悉的數(shù)量關(guān)系入手，比如面積公式、體積公式以及周長(zhǎng)公式等，以及路程=速度×?xí)r間、總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、利息=本金×利率等數(shù)量關(guān)系；其次，還可以根據(jù)題中的關(guān)鍵句和關(guān)鍵詞，確定等量關(guān)系并列方程，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超過、剩余、增加、減少”等；另外，還可通過不變量、總量等于分量之和等途徑建立等量關(guān)系.當(dāng)一些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜隱蔽時(shí)，還可采用數(shù)形結(jié)合的方法，畫出線段圖來分析數(shù)量關(guān)系.

例3如圖1，小明家在 A 處，門前有一口池塘，隔著池塘有一條公路 l，AB 是A 到 l 的小路.現(xiàn)新修一條路 AC 到公路 l.小明測(cè)量出∠ACD＝31° ， ∠ABD＝45° ， BC＝50m.請(qǐng)你幫小明計(jì)算他家到公路 l 的距離AD 的長(zhǎng)度？（精確到0.1m；參考數(shù)據(jù) tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）.

分析：

解：

答：AD 的長(zhǎng)度為75.0m.

說明：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用三角函數(shù)的數(shù)量關(guān)系來建立等量關(guān)系求解.

例4甲、乙兩列火車從 A、B 兩地相向而行，乙車比甲車早發(fā)車1h，甲車比乙車速度每小時(shí)快30 km，甲車發(fā)車兩小時(shí)恰好與乙車相遇，相遇后為了錯(cuò)車，甲車放慢了速度，以它原來的速度行駛；而乙車加快了速度，以它原來的倍飛速行駛，結(jié)果2 h后，兩車距離又等于 A、B 兩地之間的距離，求兩車相遇前的速度及A、B 兩地之間的距離.

分析：設(shè)乙的速度是 x 千米，那么甲的速度就是 x+30千米，依據(jù)相遇前和相遇后行駛的路程相等列出方程，求出兩車的速度，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可解答.

解：

答：兩車相遇前甲的速度為速度90km/h， 乙的速度為 60km/h；A、B 兩地之間的距離為 360km.

說明：有些應(yīng)用題中的等量關(guān)系比較復(fù) 雜抽象，要想列出等量關(guān)系較困難，我們就可 以用線段來表示相關(guān)的數(shù)量，再用線段的和 或差來直觀地表示等量關(guān)系，從線段的和差 關(guān)系中列出等式求解.

三、正確解方程并驗(yàn)算

雖然準(zhǔn)確列方程是解題中很重要的步 驟，但是也不能忽略方程的運(yùn)算環(huán)節(jié).同學(xué)們 要按照解方程的步驟正確求出方程的解，并 要養(yǎng)成代入驗(yàn)算的習(xí)慣.一是要將所求得的 未知數(shù)的值代入原方程，看等式兩端是否相 等，檢驗(yàn)方程的解是否正確；二是檢查所求得 的未知數(shù)的值是否符合題意，不符合題意的 要舍去，僅保留符合題意的解.只有完成驗(yàn)算 的步驟，整個(gè)解題過程才算完結(jié).

例 5 某種服裝，平均每天銷售 20 件，每 件盈利44元，在每件降價(jià)幅度不超過10元的 情況下，如果每一件降價(jià)1元，則每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，則每件應(yīng)降價(jià)多少元？

分析：每件服裝的盈利×（原來的銷售量+ 增加的銷售量）=1600，為了減少庫存，計(jì)算得 到降價(jià)多的數(shù)量即可.

解：

說明：列方程解應(yīng)用題時(shí)，在求解后，首 先檢驗(yàn)所得解是否正確，還要檢驗(yàn)所求解是 否符合題意，本題限定了 x ≤ 10 ，所以要舍去 不合題意的解.

例6 某市體育局要組織一次籃球賽，賽 制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），計(jì)劃 安排28場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng)多少支球隊(duì)參加比賽？

分析：

解：

說明：解一元二次方程時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)兩 個(gè)解，有的解不符合題意可能存在兩種情況： （1）不符合題目要求的取值范圍；（2）不符合 實(shí)際要求.比如有的解為負(fù)數(shù)，但時(shí)間、工期、 金錢等都不可能是負(fù)數(shù).

列方程解答應(yīng)用題是運(yùn)用正向思維解決 問題，它比列算式解應(yīng)用題這種逆向思維的 推理更簡(jiǎn)單直接.但在列方程求解的過程中 要注意合理設(shè)置未知數(shù)，準(zhǔn)確找到等量關(guān)系， 最后還要注意養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣.只要做好以 上三點(diǎn)，就能輕松靈活應(yīng)對(duì)各類實(shí)際問題.