渦軸發(fā)動機時延魯棒串級PI 控制器設計

陳義峰，郭迎清，毛皓天

(西北工業(yè)大學 動力與能源學院，西安 710072)

當前，渦軸發(fā)動機在軍用與民用領域廣泛的應用于直升機、發(fā)電機和地面車輛的輔助動力裝置等。直升機是一個高度集成的系統(tǒng)，其升力通過總矩桿角度進行控制，因此，當前渦軸發(fā)動機的控制方式為功率渦輪定轉速控制。渦軸發(fā)動機主要由燃氣發(fā)生器和功率渦輪兩部件組成，而功率渦輪與主旋翼連接并通過燃氣發(fā)生器產生的燃氣進行驅動。由于旋翼系統(tǒng)是一個大慣性系統(tǒng)，當前渦軸發(fā)動機多采用串級控制系統(tǒng)結構，以內環(huán)控制器保證燃氣發(fā)生器的快速響應而以外環(huán)控制器保證轉子系統(tǒng)的轉速恒定[1-3]。

分布式控制系統(tǒng)具有系統(tǒng)重量輕、可靠性高、模塊化、低生命周期成本及利于新控制技術（如主動控制技術等）的整合等優(yōu)點。隨著人們對發(fā)動機性能需求的不斷提高，這些優(yōu)點引起了人們的持續(xù)關注，分布式控制系統(tǒng)被認為是未來發(fā)動機控制系統(tǒng)的發(fā)展方向之一[4-6]。分布式控制系統(tǒng)中，傳統(tǒng)的傳感器/執(zhí)行機構將被相應的智能傳感器/執(zhí)行機構所取代，這些節(jié)點通過通信網絡進行相互連接?？刂葡到y(tǒng)中的所有信號都在數據總線上進行傳輸[5]。

對于渦軸發(fā)動機串級控制系統(tǒng)，當其所有節(jié)點通過總線實現通信時，該系統(tǒng)被稱為網絡串級控制系 統(tǒng)（networked cascade control system，NCCS）[2]。由于總線帶寬約束或節(jié)點瞬時失效等原因，數據傳輸過程中不可避免的會存在時延問題，而這些時延會導致系統(tǒng)的性能降低甚至導致系統(tǒng)失穩(wěn)[3,7]。因此，為了保證系統(tǒng)的控制性能，控制系統(tǒng)必須對時延具有魯棒性。

針對NCCS，Huang 等[7]開展的相關研究中，提出了4 種NCCS 結構并對其時延進行了分析，針對系統(tǒng)中的固定時延，文獻[8]設計了串級比例-積分-微分（proportional-integral-derivative，PID）控制器，文獻[9]針對一個控制周期內的短時延設計了串級H∞控制器，文獻[10-11]則針對固定時延提出了內模控制（internal model control，IMC）方法和二自由度方法等魯棒串級PID 控制器設計方法。對于渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)，Belapurkar 和Yedavalli[2]提出了2 種串級控制系統(tǒng)結構，并采用LQR方法設計了長時延下的串級狀態(tài)反饋控制器；Chen等[12]采用Lyapunov- Krasovskii 方法給出了靜態(tài)串級控制器設計方法，并利用區(qū)域極點配置方法來保證系統(tǒng)的動態(tài)性能；Liu 等[3,13]針對渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)中存在的時延與隨機丟包等問題，提出一種新的分析時延系統(tǒng)穩(wěn)定性及求解最大允許時延的方法，以及利用Lyapunov 定理給出了存在隨機丟包的系統(tǒng)控制器設計方法。文獻[2,12-13]針對渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)的研究都是直接從靜態(tài)控制器的角度進行控制器設計。

在當前的渦軸發(fā)動機控制中，PID 控制仍是一種非常重要的控制方法。本文針對渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)中存在的時延設計了魯棒串級PI 控制器。首先，分析了渦軸發(fā)動機分布式串級控制系統(tǒng)的結構及時延組成，利用IMC 方法處理串級控制系統(tǒng)內外環(huán)同時存在的時延，并確定了此串級控制系統(tǒng)的控制器為串級PI 控制器結構；然后，利用頻域回路成形的方法，確定了保證系統(tǒng)具有期望的動態(tài)性能約束，并將控制器設計問題轉化為具有線性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）約束的廣義特征值求解問題；接著，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，利用梯度近似的方法將勞斯-赫爾維茨判據轉化為LMI 形式的約束，將所有的約束進行綜合并求解優(yōu)化問題獲得期望的魯棒串級PI 控制器的內外環(huán)參數；最后，利用基于TrueTime 的渦軸發(fā)動機分布式仿真平臺對控制器進行了數字仿真驗證。

1 魯棒串級PI 控制器設計

對于渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)的時延魯棒串級PI 控制器設計方法包括三部分：IMC-PI 控制器的設計，LMI 形式的頻域回路成形約束條件及LMI 形式的穩(wěn)定性約束條件獲取。

1.1 串級IMC-PI 控制器的設計

當前的渦軸發(fā)動機控制系統(tǒng)，針對轉子系統(tǒng)的大慣性特性，為了保證轉子轉速恒定，同時，燃氣發(fā)生器具有較快的響應速度，采用的串級控制系統(tǒng)結構如圖1 所示[2]。其內環(huán)為燃氣發(fā)生器的轉速Ng控制系統(tǒng)，而外環(huán)為轉子系統(tǒng)的轉速Np控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入為參考轉速r，控制量為燃油流量Wf，燃氣發(fā)生器輸出軸力矩Qs用于驅動轉子系統(tǒng)，而旋翼系統(tǒng)的功率需求LDL 是渦軸發(fā)動機控制系統(tǒng)的擾動量。

圖1 渦軸發(fā)動機串級控制系統(tǒng)原理[2]Fig.1 Block of cascade control system of turboshaft engine[2]

根據內外環(huán)傳感器、內外環(huán)控制器、執(zhí)行機構和控制對象之間的通信方式，NCCS 被分為4 類[7]。對于渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)，當系統(tǒng)的所有控制算法仍在全權限數字電子控制器（full authority digital electronic controller，FADEC）中計算時，渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)屬于第三類NCCS[14]，即傳感器與控制器之間、控制器與執(zhí)行機構之間都通過網絡連接，而內外環(huán)控制器是同一個節(jié)點，其結構如圖2 所示。

圖2 渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)第ⅢNCCS 結構示意圖Fig.2 Type Ⅲ NCCS configuration of distributed control system of turboshaft engine

渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)內的時延包括3 個：內環(huán)傳感器與內環(huán)控制器之間的時延 τs1，外環(huán)傳感器與外環(huán)控制器之間的時延 τs2和控制器與執(zhí)行機構之間的時延 τa。

當采用傳統(tǒng)傳遞函數方法直接設計串級PI 控制器時，內環(huán)時延會對外環(huán)控制對象產生復雜的影響從而導致外環(huán)控制器設計復雜化。采用IMC 方法可以明確串級控制系統(tǒng)內外環(huán)時延的關系[10]：內環(huán)時延為所有內環(huán)節(jié)點之間時延之和，而外環(huán)時延為內環(huán)總時延與外環(huán)所有節(jié)點之間時延之和。因此，對于本節(jié)渦軸發(fā)動機NCCS，可以利用IMC方法從內環(huán)到外環(huán)依次設計PI 控制器，且此時系統(tǒng)的內環(huán)時延為 τ1=τs1+τa，而外環(huán)時延為τ2=τ1+τs2。

以單環(huán)控制系統(tǒng)為例說明采用IMC 方法設計控制器的步驟，對于串級控制系統(tǒng)則從內環(huán)到外環(huán)逐層進行設計[10]。對于一個單位負反饋的閉環(huán)IMC 控制系統(tǒng)，其結構如圖3 所示，G(s) 為控制對象的傳遞函數，根據IMC 控制器設計方法[15-16]，控制對象的模型 G ?(s) 為

圖3 IMC 控制系統(tǒng)結構示意圖Fig.3 IMC control system

式中：q(s)=G-M1(s)f(s)為 內模控制器，f(s)=1/(λs+1)n為IMC 濾波器，其階數 n在選擇時必須保證控制器具有適當的階數，而常數 λ為待設計參數。

針對某型民用渦軸發(fā)動機，本文利用GasTurb軟件和MATLAB 環(huán)境構建了該型渦軸發(fā)動機的部件級模型及仿真平臺[17]。通過系統(tǒng)辨識的方法可以得到該型渦軸發(fā)動機在地面靜止狀態(tài)下，燃氣發(fā)生器轉速Ng和轉子系統(tǒng)轉速Np均為100%狀態(tài)時燃氣發(fā)生器增量模型 G1(s) 為帶有正零點的一階傳遞函數，并且將內環(huán)時延作為時滯環(huán)節(jié)，其表達式為

式中：s為 傳遞函數自變量；K1、β11和 α11為模型的常數系數；e 為自然常數。模型的輸入為燃油流量增量ΔWf，kg/s；輸出為燃氣發(fā)生器的轉速增量ΔNg，r/min。

針對此控制對象利用IMC 方法設計控制器，用一階Pade 近似時滯環(huán)節(jié)，此時可得

式中：φ 為 2λ2+0.5τ2-β21的 縮寫形式；λ2為外環(huán)控制器待設計參數，所以外環(huán)控制器為帶有雙二階濾波器的PI 控制器。

1.2 魯棒PI 參數約束

在確定PI 控制器結構后就需要對控制器的參數進行求解。對于一個單位負反饋PI 控制系統(tǒng)，假設其控制器為C (s) ，而系統(tǒng)的控制對象仍為G (s)。PI 控制器設計目標是求解合適的控制器參數，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的性能及足夠的魯棒性。而系統(tǒng)的性能與開環(huán)系統(tǒng)頻域幅相曲線的形狀具有高度相關性。因此，利用頻域回路成形的方法可知期望的控制器需要同時滿足以下的約束條件[18-20]：

1）為了保證系統(tǒng)具有期望的穿越頻率及相位裕度，開環(huán)傳遞函數需滿足：

式中：ωc為期望的穿越頻率，rad/s；?m為期望的相位裕度，rad。

對于帶約束式（13）～式（16）的廣義特征值問題，約束式（13）～式（15）都是LMI 約束，但約束式（16）是非線性約束。約束式（16）的可行域為半徑為R 的圓以外的區(qū)域，但該區(qū)域為非凸區(qū)域，無法利用LMI 工具箱求解。為了對優(yōu)化問題進行求解，利用圓的切線將可行域分成4 個凸可行域進行求解，如圖4 所示，4 個凸可行域可表示為

圖4 由4 條切線構成的凸可行域Fig.4 Feasible convex region divided by four tangents

1.3 渦軸發(fā)動機串級PI 控制器的穩(wěn)定性約束

1.2 節(jié)給出的PI 控制器參數整定約束條件式（8）～式（11）主要是保證系統(tǒng)具有期望的性能，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性還需要額外的條件進行約束?？赏ㄟ^勞斯-赫爾維茨判據來對控制器參數進行約束，該方法在文獻[18]中已給出。

對于渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)串級PI 控制器，首先，確定內環(huán)PI 控制器參數的約束條件，然后，再確定外環(huán)PI 控制器參數的約束條件。

同時定義2 個梯度矩陣：

至此，關于時延魯棒串級PI 控制器設計的所有LMI 形式約束已經得到，然后利用LMI 工具箱YALMIP 對其進行求解[22]，便可以得到期望的渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)內外環(huán)PI 控制器的相關參數，最 后 通 過 式（5）和 式（7）分 別 得 到 內 外 環(huán) 的IMC 濾波器參數 λ1和 λ2，從而得到串級控制系統(tǒng)內環(huán)一階濾波器和外環(huán)雙二階濾波器的相關參數。

2 基于TrueTime 的非線性仿真

本節(jié)主要通過基于TrueTime 工具箱搭建的某型渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)非線性仿真平臺來驗證所設計的時延魯棒串級PI 控制器的有效性及性能。

對于某型渦軸發(fā)動機，通過系統(tǒng)辨識的方法可以得到燃氣發(fā)生器加時延的模型式（3）的表達式為

渦軸發(fā)動機整機的期望帶寬在0.1～3.5 rad/s，因此，約束式（8）～式（11）中的參數分別取 ωc=3 rad/s、?m=85°，ξ=10 dB、ωs=0.1 rad/s，ρ=-10 dB、ωt=50 rad/s，δ=-10 dB、ωr=50 rad/s。假設外環(huán)傳感器到控制器的時延 τs2=0.02 s，則外環(huán)控制系統(tǒng)的時延為 τ2=τ1+τs2=0.04 s，即模型的時滯環(huán)節(jié)為 e-0.04s。最后利用1.2 節(jié)與1.3 節(jié)聯合的控制器設計方法可以得到外環(huán)PI 控制器的參數X2=[0.3093 3.2935]T，外環(huán)IMC 濾波器參數λ2=0.333 3。在得到內外環(huán)的控制器后，內外環(huán)的開環(huán)幅相曲線如圖5 和圖6 所示。通過幅相曲線可以看出，帶有控制器的開環(huán)系統(tǒng)具有足夠大的低頻增益（大于30 dB）和足夠小的高頻增益（小于-14 dB），內環(huán)穿越頻率為期望頻率（9 rad/s），外環(huán)穿越頻率為1 rad/s。

圖5 內環(huán)開環(huán)系統(tǒng)的Bode 圖Fig.5 Bode plot of inner open loop

圖6 外環(huán)開環(huán)系統(tǒng)的Bode 圖Fig.6 Bode plot of outer open loop

在MATLAB 環(huán)境中利用Simulink/TrueTime 工具箱[24]搭建的渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)非線性仿真平臺采用部分分布式結構[14]，其原理如圖7所示。

在圖7 中，采用網絡模塊來仿真總線特性；智能傳感器、數據集中器、智能執(zhí)行機構及FADEC節(jié)點都采用計算模塊來仿真，最上部為串級PI 控制器結構。網絡模塊可以仿真9 種總線通信協議，此平臺選擇CAN 總線通信協議，并通過參考消息的方式實現TTCAN 總線通信，帶寬選擇最高1 Mbps，由于不考慮丟包問題，丟包率設置為0。仿真過程中，節(jié)點的固定時延通過在節(jié)點初始化程序中用ttSetNetworkParameter 函數進行設置，隨機時延通過Simulink 中的可變傳輸時延模塊加入智能執(zhí)行機構中。

圖7 基于TrueTime 的渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)仿真平臺Fig.7 Simulation platform of TrueTime based distributed control system of turboshaft engine

在仿真中，對比魯棒串級PI 控制器與利用PID Tuner 工具箱設計得到的傳統(tǒng)串級PI 控制器的性能。利用該工具箱設計串級PI 控制器時內外環(huán)的幅值與相位裕度保持一致，得到其內環(huán)參數為KP1=3.16×10-5，KI1=7.9×10-5，外環(huán)控制器參數為KP2=4.817,KI2=10.44，渦軸發(fā)動機的控制周期為0.02 s，控制器的離散化采用Tustin 方法。首先，仿真微小時延（仿真系統(tǒng)中信號傳輸時延為0.001 5 s，即時延在一個控制周期內）；然后，對控制器設計點的時延（總時延為0.04 s，即2 個控制周期內）進行仿真；最后，為了比較2 個控制器對于時延的魯棒性，將仿真總時延增加到3 個控制周期，即τs1=τs2=τa=0.02s，總矩桿角度由100%下降到95%，分別在2 個串級控制器作用下，系統(tǒng)的參數相對變化量如圖8 所示。

圖8 外環(huán)穿越頻率為3 rad/s，不同時延時2 個控制器作用下系統(tǒng)的性能比較Fig.8 Comparison of control performance of two controllers with different time delays when crossing freqency of outer loop is 3 rad/s

從圖8 可以看出，當時延分別在1 個控制周期內和2 個控制周期內時，2 個串級PI 控制器都能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定，且功率渦輪的轉速超調小于0.5%，調節(jié)時間小于5 s（渦軸發(fā)動機小擾動下的性能指標為[25]：Np超調不超過5%～7%，穩(wěn)態(tài)精度為0.2%左右，調節(jié)時間為8～10 s），當時延增加到3 個控制周期時，傳統(tǒng)的串級PI 控制器無法保證系統(tǒng)穩(wěn)定，而魯棒串級PI 控制器仍能保證系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，魯棒串級PI 控制器對時延具有更強的魯棒性，能夠容忍更大的時延，且通過仿真可知其保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時延邊界為0.097 s，傳統(tǒng)串級PI 控制器的時延邊界為0.057 s，即控制系統(tǒng)穩(wěn)定時延容忍邊界由原來不足3 個控制周期（0.06 s）擴大到了接近5 個控制周期（0.1 s）。從燃油流量可以看出時延條件下魯棒串級PI 控制器下最大燃油流量變化率為0.259 6 kg/s2，而傳統(tǒng)串級PI 控制器下最大燃油流量變化率為0.386 5 kg/s2，說明魯棒串級PI 控制器對執(zhí)行機構的快速性要求降低。

從圖9 可以看出，分別在0.001 5 s（1 個周期內）和0.04 s（2 個控制周期）時延下，2 個控制器都能滿足控制需求，而當時延增加到4 個控制周期時，傳統(tǒng)控制器便不能保證系統(tǒng)穩(wěn)定而在魯棒串級PI 控制器作用下系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定且系統(tǒng)性能滿足要求，且傳統(tǒng)控制器的時延邊界只有0.077 s（不足4 個周期），小于魯棒串級PI 控制器的時延邊界。

同時，從圖8 與圖9 對應的仿真結果可以得到，2 個傳統(tǒng)串級PI 控制器的時延邊界存在差異，主要是由其外環(huán)期望穿越頻率的差異導致的，外環(huán)期望穿越頻率越大，系統(tǒng)的響應速度越快而系統(tǒng)的魯棒性就越差。所以，魯棒串級PI 控制器相比于傳統(tǒng)串級PI 控制器，能夠保證渦軸發(fā)動機在時延條件下的性能與魯棒性有一個更好的協調性且實現該控制所需代價更小。

圖8 與圖9 對應的計算與仿真針對的都是固定時延，但該時延魯棒串級PI 控制器對于上限不超過計算設定時延（0.04 s）的隨機時延也是有效的。在固定時延與隨機時延下，系統(tǒng)的響應曲線及隨機時延的大小如圖10 所示。從圖10 可以看出，在隨機時延下，功率渦輪轉速Np的超調不超過0.5%，調節(jié)時間小于5 s。因此，隨機時延不超過上限時魯棒串級PI 控制器仍是有效的。

圖10 在固定時延與隨機時延下系統(tǒng)性能對比Fig.10 Performance comparison with constant and random time delays

3 結 論

對渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)中存在時延下的魯棒串級PI 控制器設計方法進行了研究。得到以下結論：

1）對于內外環(huán)同時存在時延的渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)，IMC 控制器設計方法是一種有效的設計PI 控制器的方法。

2）在魯棒串級PI 控制器作用下，系統(tǒng)能夠滿足控制需求且能夠容忍的時延邊界擴大為0.097 s（將近5 個控制周期）大于傳統(tǒng)串級PI 控制器。說明通過頻域回路成形方法與LMI 方法相結合，可以為存在時延的渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)設計出魯棒性更好的控制器以應對時延對渦軸發(fā)動機分布式控制系統(tǒng)性能的影響，并實現魯棒性與動態(tài)性能更好的協調。

但在控制器設計過程中，約束條件的轉換采用了一些保守性方法，如何解決求解方法的保守性是未來值得研究的問題。