在測(cè)量活動(dòng)中理解面積公式的意義

龔莉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程目標(biāo)中對(duì)“面積”這一內(nèi)容的要求是“經(jīng)歷測(cè)量過程，探索計(jì)算方法”。長(zhǎng)方形面積作為平面圖形面積的認(rèn)知起點(diǎn)，在規(guī)則圖形的面積計(jì)算學(xué)習(xí)中具有承上啟下的作用。筆者以人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第五單元《長(zhǎng)方形面積的計(jì)算》教學(xué)為例，談一談如何聚焦測(cè)量展開教學(xué)。

一、巧用素材，在估測(cè)中深化理解

面對(duì)實(shí)際問題，部分學(xué)生容易將周長(zhǎng)與面積的概念混淆，導(dǎo)致不能正確使用面積公式解決問題。為此，筆者設(shè)計(jì)了面積估測(cè)活動(dòng)，幫助學(xué)生在探究中深化對(duì)面積概念的理解。

課始，筆者引導(dǎo)學(xué)生分組估測(cè)如下3個(gè)長(zhǎng)方形的大小，并進(jìn)行分析、比較。

第一小組邊操作邊講解：我們組將長(zhǎng)方形①和長(zhǎng)方形②的長(zhǎng)和寬分別重合，發(fā)現(xiàn)它們的長(zhǎng)相等，但長(zhǎng)方形①的寬比長(zhǎng)方形②的寬多了一部分，所以長(zhǎng)方形①比長(zhǎng)方形②大；長(zhǎng)方形③看起來比長(zhǎng)方形②大一些，所以我們直接將長(zhǎng)方形①和長(zhǎng)方形③比較，但無法通過重合的方法判斷大小。在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)知道手掌的面積大約是1平方分米、拇指指甲的面積大約是1平方厘米，于是筆者引導(dǎo)學(xué)生尋找間接比較的方法，并提問：“當(dāng)直接比對(duì)無法幫助我們解決問題時(shí)，我們還可以用什么方法去測(cè)量？哪個(gè)小組有辦法解決第一組遇到的問題？”

第二小組邊操作邊講解：我們組用手估測(cè)，開始想通過手掌的面積間接比較它們的大小，但是每個(gè)圖形都沒有手掌大（不足1平方分米），后來我們用拇指指甲測(cè)量3個(gè)長(zhǎng)方形的大小，以拇指指甲為單位面積，先統(tǒng)計(jì)鋪滿每個(gè)長(zhǎng)方形需要的指甲個(gè)數(shù)，再進(jìn)行比較，結(jié)論是長(zhǎng)方形③的面積大于長(zhǎng)方形①的面積，長(zhǎng)方形①的面積大于長(zhǎng)方形②的面積。

估測(cè)長(zhǎng)方形面積的活動(dòng)喚起了學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生提供了推導(dǎo)面積計(jì)算公式的有效思路。

二、巧設(shè)任務(wù)，在拼擺中明確本質(zhì)

用正方形進(jìn)行測(cè)量，既能密鋪所測(cè)圖形，又方便拼擺，可以讓學(xué)生直觀感受度量單位的累積就是面積的本質(zhì)。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了1平方厘米、1平方分米和1平方米三種面積單位。面積的大小就是單位面積個(gè)數(shù)的累積，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況，巧用1平方厘米、1平方分米或1平方米的正方形精確測(cè)量圖形的面積，能幫助學(xué)生在拼擺中理解面積公式的意義，明確面積的本質(zhì)。課堂上，筆者引導(dǎo)學(xué)生小組合作，選擇合適的正方形，通過拼一拼、擺一擺，從一行的個(gè)數(shù)、行數(shù)分別測(cè)量長(zhǎng)方形①②③的面積，并將結(jié)果記錄下來。

匯報(bào)時(shí)，學(xué)生代表甲說：“我們組匯報(bào)長(zhǎng)方形①的測(cè)量方法和相關(guān)數(shù)據(jù)。我們用1平方厘米的正方形在長(zhǎng)方形①上密鋪，鋪了16個(gè)，即一行有8個(gè)正方形，鋪了兩行，所以長(zhǎng)方形①的面積是16平方厘米?！庇袑W(xué)生質(zhì)疑：“為什么不用1平方分米和1平方米，而選用1平方厘米作為測(cè)量的單位面積？”學(xué)生代表甲回答：“為了選擇合適的單位面積，我們想象分別用三個(gè)單位面積的正方形與長(zhǎng)方形①進(jìn)行比對(duì)，發(fā)現(xiàn)1平方厘米的正方形最合適，另外兩個(gè)正方形太大了，無法測(cè)出長(zhǎng)方形①的面積?！睂W(xué)生代表乙說：“我們組匯報(bào)長(zhǎng)方形②的測(cè)量方法和相關(guān)數(shù)據(jù)。我們用1平方厘米的正方形在長(zhǎng)方形②上拼擺，橫著擺了6個(gè)，豎著擺了2個(gè)，一共有‘6×2=12個(gè)正方形，所以長(zhǎng)方形②的面積是12平方厘米?！庇袑W(xué)生提問：“你說的算式‘6×2中的‘2指什么？”學(xué)生代表乙回答：“表示豎著鋪2個(gè)，即可以鋪兩行。一行6個(gè)，兩行就是2個(gè)6，用‘6×2就能求出長(zhǎng)方形②所占的單位面積的個(gè)數(shù)，也就是長(zhǎng)方形②的面積。”該生繼續(xù)提問：“你們?yōu)槭裁床讳仢M呢？這樣能確定它的面積就是12平方厘米嗎？”學(xué)生代表乙回答：“擺小正方形測(cè)量規(guī)則圖形的面積和用方格紙測(cè)量規(guī)則圖形的面積的道理一樣，不需要鋪滿，只要知道一行擺的個(gè)數(shù)和擺的行數(shù)，就能算出單位面積的總個(gè)數(shù)，從而得出長(zhǎng)方形的面積?！?/p>

在匯報(bào)和思辯的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)大部分平均水平中等的小組采用第一種方法，即鋪滿、數(shù)方格；平均水平中等偏上的小組更多地采用第二種方法，即抽象出長(zhǎng)和寬與所占單位面積個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，直接用乘法算式計(jì)算。無論哪種方法，都能表明長(zhǎng)方形面積公式中“長(zhǎng)×寬”的意義：“長(zhǎng)×寬”不代表兩條線段長(zhǎng)度的乘積，而是一行中單位面積的個(gè)數(shù)與每列單位面積個(gè)數(shù)的乘積。隨后，筆者提問：“長(zhǎng)方形③的面積是否可以采用這兩種方法測(cè)量？”各小組通過操作，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形③無法被1平方厘米的小正方形占滿。筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索：“如果測(cè)量時(shí)小正方形沒有占滿整個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)或者寬有剩余怎么辦？”學(xué)生回答：“有剩余就說明長(zhǎng)方形③的面積比‘一行的個(gè)數(shù)×行數(shù)得出的數(shù)值要大一些，那樣就不準(zhǔn)確了，其實(shí)，我們不用小正方形測(cè)量也可以?！惫P者追問：“用什么方法測(cè)量呢？”通過討論，學(xué)生達(dá)成共識(shí)：用直尺測(cè)量長(zhǎng)和寬后，直接計(jì)算乘積得出面積更準(zhǔn)確。

在前面兩個(gè)測(cè)量活動(dòng)中，學(xué)生已經(jīng)直觀感受到面積就是度量單位的累積。筆者隨后設(shè)計(jì)了計(jì)算長(zhǎng)方形③面積的挑戰(zhàn)題，引導(dǎo)學(xué)生提出用直尺測(cè)量長(zhǎng)和寬直接進(jìn)行面積計(jì)算的辦法。以上教學(xué)，通過巧設(shè)漸進(jìn)式任務(wù)讓學(xué)生在操作探究中理解了面積公式的意義，體會(huì)到長(zhǎng)方形面積公式的普適性和一般性。

三、巧構(gòu)活動(dòng)，在生活原型中拓展應(yīng)用

實(shí)操活動(dòng)可以深化學(xué)生對(duì)面積公式意義的理解，使學(xué)生對(duì)面積公式意義的把握更準(zhǔn)確。筆者設(shè)計(jì)了如下三個(gè)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中拓展應(yīng)用面積公式。

任務(wù)一：魔法變變變。筆者出示長(zhǎng)方形③，利用課件動(dòng)態(tài)展示長(zhǎng)方形③轉(zhuǎn)變成正方形的過程，并引導(dǎo)學(xué)生思考如何計(jì)算現(xiàn)在這個(gè)圖形的面積，以此喚起學(xué)生的舊知（正方形是特殊的長(zhǎng)方形；正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)），引導(dǎo)學(xué)生理解面積的運(yùn)動(dòng)不變性。

任務(wù)二：長(zhǎng)方形掛鐘的玻璃罩不小心摔碎了，需要再購(gòu)買一塊玻璃罩安裝上去，需要多大的玻璃罩呢？解決問題時(shí)，學(xué)生提出：需要多大的玻璃，其實(shí)就是求長(zhǎng)方形玻璃罩的面積，我們可以用直尺測(cè)量掛鐘邊框內(nèi)側(cè)的長(zhǎng)和寬，再用“長(zhǎng)×寬”計(jì)算玻璃罩的面積。

任務(wù)三：學(xué)校有一塊長(zhǎng)12米、寬6米的長(zhǎng)方形荒地，我們要在其中開墾出兩塊菜園，為了后期澆水便利，要求在兩塊菜地中間修一條面積為24平方米的小路。你會(huì)如何設(shè)計(jì)這條小路呢？分一分、畫一畫，將思考過程記錄下來，并在小組內(nèi)討論、匯報(bào)。

學(xué)生討論出兩種設(shè)計(jì)方案。對(duì)第一種方案，組長(zhǎng)匯報(bào)：“我們將長(zhǎng)方形荒地的長(zhǎng)作為小路的長(zhǎng)即12米，再通過小路的面積計(jì)算公式‘長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，以及我們知道的‘24÷12=2，得出小路的長(zhǎng)為12米、寬為2米?！苯M員補(bǔ)充：“我們把長(zhǎng)12米、寬2米的小路在示意圖里平移到了不同的位置，發(fā)現(xiàn)由于面積固定，長(zhǎng)也確定了，所以寬不變。也就是說，橫著設(shè)計(jì)小路只有長(zhǎng)12米、寬2米一種情況。”對(duì)第二種設(shè)計(jì)方案，組長(zhǎng)匯報(bào)：“我們將長(zhǎng)方形荒地的寬作為小路的長(zhǎng)即6米，再通過小路的面積計(jì)算公式‘長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬算出小路的寬為‘24÷6=4米。我們的設(shè)計(jì)方案也只有一種情況，即小路的長(zhǎng)為6米、寬為4米。”

（作者單位：棗陽(yáng)經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)靳莊小學(xué)）

責(zé)任編輯 張敏