融通數(shù)學(xué)史料 提升文化素養(yǎng)

梁富升

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展、反映數(shù)學(xué)文化的歷史，是數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和思想方法的重要載體，也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的基本抓手。教師要在教學(xué)中有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)史，幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)，提升文化素養(yǎng)。

一、敏銳挖掘史料素材

數(shù)學(xué)名題“雞兔同籠”流傳千古，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。設(shè)計(jì)《雞兔同籠》教學(xué)方案時(shí)，筆者從教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生特點(diǎn)入手，篩選學(xué)生感興趣的相關(guān)歷史文化知識(shí)和典型問(wèn)題情境，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，打造充滿文化韻味的數(shù)學(xué)課堂。

課堂上，筆者先播放介紹《孫子算經(jīng)》的視頻，引出雞兔同籠問(wèn)題；接著引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)列表法、畫圖法、假設(shè)法解決雞兔同籠問(wèn)題；然后，根據(jù)學(xué)情適當(dāng)“加料”，用“古人是怎樣解決雞兔同籠問(wèn)題的”引出抬腿法，打開(kāi)學(xué)生思路，豐富學(xué)生視野；再拓展呈現(xiàn)由雞兔同籠問(wèn)題演變而來(lái)的“龜鶴算”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將模型演繹到真實(shí)問(wèn)題解決中，使學(xué)生的思維走向深入，體驗(yàn)情境變化而模型不變；最后，通過(guò)文學(xué)素材中相關(guān)問(wèn)題的解決實(shí)現(xiàn)拓展應(yīng)用，促使學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化模型，感受經(jīng)典名題的魅力。

二、精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程

1.動(dòng)手操作，呈現(xiàn)基本模型

雞兔同籠問(wèn)題是集趣味性、思考性、人文性于一體的素材，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，先引導(dǎo)學(xué)生利用列表、畫圖的方法直觀理解問(wèn)題模型，再由圖示解題過(guò)渡到抽象的假設(shè)法解題。

課始，在學(xué)生理解題意的基礎(chǔ)上，筆者先給學(xué)生充分思考和交流的時(shí)間，讓學(xué)生自己想辦法解答。學(xué)生通過(guò)猜想、計(jì)算，發(fā)現(xiàn)同樣的頭數(shù)下，雞和兔的數(shù)量不同，腳數(shù)也不同。然后，筆者以學(xué)生的猜想為基礎(chǔ)，引出列表法。學(xué)生通過(guò)不斷調(diào)整雞和兔的數(shù)量，一步步推導(dǎo)、匯報(bào)結(jié)果，最終得出“8個(gè)頭的情況下，3只雞和5只兔共有26只腳”。在此過(guò)程中，學(xué)生理解了題目所蘊(yùn)含的“變與不變”的規(guī)律。

通過(guò)列表梳理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)列表法有一定的局限性。筆者順勢(shì)引出畫圖法，引導(dǎo)學(xué)生用簡(jiǎn)單的圖示把解決問(wèn)題的過(guò)程畫出來(lái)，使學(xué)生內(nèi)在的思維過(guò)程轉(zhuǎn)化為外顯的圖示，深化學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解。課堂上，筆者先設(shè)計(jì)了“畫腳”環(huán)節(jié)，并引導(dǎo)：“我們用‘〇表示頭，‘|表示腳。雞有2只腳，兔有4只腳，雞的腳數(shù)比兔的少，同學(xué)們能畫出雞和兔的只數(shù)嗎？”學(xué)生嘗試畫圖后發(fā)現(xiàn)：全部畫雞，腳數(shù)少了；全部畫兔，腳數(shù)多了。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)添加腳數(shù)，把雞變成兔；通過(guò)減少腳數(shù)，把兔變成雞。學(xué)生通過(guò)畫圖發(fā)現(xiàn)：每減少一只兔、增加一只雞，可以減少2只腳；每增加一只兔、減少一只雞，可以增加2只腳。最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生在畫圖理解的基礎(chǔ)上，運(yùn)用極端假設(shè)法列出算式。如假設(shè)全是雞，共有“8×2=16”只腳，比實(shí)際少了“26-16=10”只腳，因?yàn)橐恢煌帽纫恢浑u多兩只腳，所以兔有“10÷2=5”只，雞有“8-5=3”只。學(xué)生在“畫數(shù)學(xué)”的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的有趣，提升了思維能力，建構(gòu)了問(wèn)題模型。

2.結(jié)合史料，貫通問(wèn)題理解

在學(xué)生掌握了用列表法、畫圖法、假設(shè)法解決雞兔同籠問(wèn)題后，教師創(chuàng)設(shè)了如下趣味情境，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的興趣，幫助學(xué)生洞悉問(wèn)題本質(zhì)，了解古人解決雞兔同籠問(wèn)題的方法——抬腿法，提升這道數(shù)學(xué)名題的教學(xué)價(jià)值。

課堂上，筆者用“你知道古人是如何解決雞兔同籠問(wèn)題的嗎？”引出抬腿法，引導(dǎo)學(xué)生模擬演練古人的解題過(guò)程。抬腿法分為“兔子抬腳扮成雞”和“給雞裝腳扮成兔”兩種情境。

情境一：兔子抬腳扮成雞

課堂上，筆者提問(wèn)：假設(shè)這些兔可以與人交流并且訓(xùn)練有素，老師一吹口哨，所有的兔就抬起兩只腳，那么所有的兔就都扮成了什么？學(xué)生回答：扮成了雞。筆者追問(wèn)：此時(shí)35只雞一共有多少只腳？比原來(lái)少了多少只腳？學(xué)生回答：35只雞一共有70只腳，比原來(lái)少了24只腳。筆者質(zhì)疑：為什么會(huì)少了24只腳？根據(jù)少了的腳數(shù)，你能得出兔的只數(shù)嗎？學(xué)生思考后回答：每只兔都抬起2只腳，這些抬起的腳就是比原來(lái)少了的腳，所以用24除以2就可以求出兔的只數(shù)，兔有12只，那么雞就是23只。

情境二：給雞裝腳扮成兔

同理，筆者提問(wèn)：假設(shè)老師給每只雞另外裝上兩只腳，那么所有的雞就都扮成了什么？學(xué)生回答：扮成了兔。筆者追問(wèn)：這樣，35只兔一共有多少只腳？比原來(lái)多了多少只腳？學(xué)生回答：35只兔一共有140只腳，比原來(lái)多了46只腳。筆者質(zhì)疑：為什么會(huì)多出這么多只腳呢？學(xué)生很快得出：雞在假扮兔，每只雞多裝了2只腳，23只雞正好多裝了46只腳，所以雞有23只，兔有12只。

3.拓展情境，建構(gòu)問(wèn)題模型

“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程就是相關(guān)數(shù)學(xué)史的演繹和創(chuàng)生過(guò)程。筆者以練習(xí)為載體，在教學(xué)中引入植樹(shù)情境和“龜鶴算”問(wèn)題，幫助學(xué)生透過(guò)不同的情境把握問(wèn)題的本質(zhì)，建構(gòu)問(wèn)題模型；體驗(yàn)數(shù)學(xué)探索與創(chuàng)造的過(guò)程，形成質(zhì)疑精神。

首先，筆者出示植樹(shù)的問(wèn)題情境：“新星小學(xué)‘環(huán)保衛(wèi)士小分隊(duì)的12人參加植樹(shù)活動(dòng)。男生每人栽了3棵樹(shù)，女生每人栽了2棵樹(shù)，一共栽了32棵樹(shù)。男生、女生各有幾人？”獨(dú)立思考后，大部分學(xué)生認(rèn)為此題是“雞兔同籠”問(wèn)題，少部分學(xué)生存在疑惑。筆者進(jìn)一步引導(dǎo)：如果是“雞兔同籠”問(wèn)題，那問(wèn)題中一定存在“腳數(shù)”和“頭數(shù)”，題目中哪個(gè)數(shù)量相當(dāng)于“頭數(shù)”？哪個(gè)數(shù)量相當(dāng)于“腳數(shù)”？學(xué)生小組合作找“腳數(shù)”和“頭數(shù)”，然后匯報(bào)：人數(shù)即頭數(shù)，棵數(shù)即腳數(shù)。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生理解“雞兔同籠”問(wèn)題不僅僅是涉及雞和兔的具體問(wèn)題，而是一類問(wèn)題，從而讓學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，關(guān)注問(wèn)題的本質(zhì)，尋求這類問(wèn)題的統(tǒng)一解法，形成深度的數(shù)學(xué)理解。

其次，筆者出示“龜鶴算”問(wèn)題，“有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？”，并引導(dǎo)：日本所說(shuō)的龜、鶴和我們所說(shuō)的雞、兔有聯(lián)系嗎？學(xué)生通過(guò)雞兔同籠問(wèn)題的模型轉(zhuǎn)換明白了：龜是4只腳，相當(dāng)于兔；鶴是2只腳，相當(dāng)于雞；“雞兔同籠”只是這一類問(wèn)題的統(tǒng)稱。緊接著，筆者介紹日本的“龜鶴算”問(wèn)題就是從我國(guó)的“雞兔同籠”問(wèn)題演變而來(lái)的，激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感。

三、真實(shí)素材拓展應(yīng)用

為了引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“雞兔同籠”問(wèn)題模型解決更多這種類型的問(wèn)題，筆者引入文學(xué)作品中的真實(shí)素材，設(shè)計(jì)了如下課后拓展練習(xí)。

清代李汝珍的小說(shuō)《鏡花緣》中，眾女猜燈謎的情境蘊(yùn)含著兩個(gè)問(wèn)題：

樓閣上掛滿了五顏六色、形態(tài)不同的兩種燈，第一種是1盞大燈下掛2盞小燈；第二種是1盞大燈下掛4盞小燈。大燈一共有360盞，小燈一共有1200盞。問(wèn)兩種燈各有多少盞？

樓閣上掛滿了五顏六色、形態(tài)不同的兩種燈，第一種是3盞大燈下掛6盞小燈；第二種是3盞大燈下掛18盞小燈。大燈一共有396盞，小燈一共有1440盞。問(wèn)兩種燈各有多少盞？

文中的才女蘭芬是怎樣解決這兩個(gè)問(wèn)題的？她的解法與“雞兔同籠”的解法有何異同？

這兩個(gè)問(wèn)題本質(zhì)上是相同的。學(xué)生通過(guò)查閱資料，發(fā)現(xiàn)才女蘭芬是借鑒《孫子算經(jīng)》中的“半足法”解決以上問(wèn)題的。以第一題為例，蘭芬先將小燈數(shù)量減半，再用小燈數(shù)量的一半減去大燈的數(shù)量，最后得出第一種燈有120盞，第二種燈有240盞。學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的再加工，深化了“雞兔同籠”問(wèn)題模型的建構(gòu)，感受到數(shù)學(xué)名題的魅力。

（作者單位：咸寧市嘉魚縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）