初中數(shù)學(xué)“二次函數(shù)”的教學(xué)策略研究

□ 甘肅省張掖市山丹縣南關(guān)學(xué)校 王小東

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，它是一種圖形結(jié)合的函數(shù)，具有極強(qiáng)的抽象性，包含函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等諸多數(shù)學(xué)思想。對(duì)于初中生而言，不僅需要掌握二次函數(shù)的概念、性質(zhì)與解題方法，還需要綜合運(yùn)用推理、逆向思考、對(duì)比分析等多項(xiàng)思維模式解決問(wèn)題，學(xué)習(xí)難度較大。鑒于此，本文先是闡述了初中生為何對(duì)二次函數(shù)的掌握不到位，又詳細(xì)研究了初中數(shù)學(xué)“二次函數(shù)”的具體教學(xué)策略。

一、學(xué)生“二次函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)掌握不到位的原因

（一）概念理解不透徹

很多學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的概念理解不透徹，將二次函數(shù)理解為y=ax2+bx+c（a ≠0）這一等式或坐標(biāo)系中的拋物線，這就導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于題目中出現(xiàn)y=ax2+bx+c（a ≠0）和拋物線的簡(jiǎn)單題目，能利用相應(yīng)的解題方法求解，但是針對(duì)題目中未出現(xiàn)y=ax2+bx+c（a ≠0）或拋物線圖像的題目，不能聯(lián)想到該題目也可以利用二次函數(shù)來(lái)做。學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的本質(zhì)不理解，也就無(wú)法在審題過(guò)程中識(shí)別出題目關(guān)于“使用二次函數(shù)解題”的暗示，在面對(duì)較復(fù)雜的二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)缺乏變通思維，不能活學(xué)活用。

（二）函數(shù)意識(shí)薄弱

二次函數(shù)是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中較難的一部分，也是初中階段學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)中最復(fù)雜的內(nèi)容，很多學(xué)生存在函數(shù)意識(shí)薄弱的問(wèn)題，一方面是因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)題目、圖像和性質(zhì)都較簡(jiǎn)單，且大多可以利用方程解題，所以很多同學(xué)便沒(méi)有培養(yǎng)函數(shù)意識(shí)；另一方面是因?yàn)楹芏鄬W(xué)生習(xí)慣性使用方程解題，而不選擇用函數(shù)解題，從而函數(shù)意識(shí)逐漸被削弱。

（三）數(shù)形結(jié)合能力欠缺

二次函數(shù)的圖像形狀和大小受二次函數(shù)解析式二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的影響，相較于一次函數(shù)和反比例函數(shù)來(lái)說(shuō)，圖像更復(fù)雜、圖像變換空間更大、可考查的知識(shí)點(diǎn)更多。學(xué)生要想學(xué)好二次函數(shù)，首先要具備較好的數(shù)形結(jié)合能力，一方面要求學(xué)生能通過(guò)畫(huà)出二次函數(shù)圖像的方式進(jìn)行解題，另一方面要求學(xué)生能夠根據(jù)題意描述畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像，學(xué)生只有兼具二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)對(duì)其性質(zhì)的影響理論知識(shí)和數(shù)形結(jié)合思想，才能成功解題。

（四）不擅長(zhǎng)總結(jié)反思

二次函數(shù)因?yàn)槠鋸?fù)雜性和多變性，涉及題目多具有開(kāi)放性，學(xué)生若是在學(xué)習(xí)過(guò)程中不具備總結(jié)反思的能力，則無(wú)法在做題過(guò)程中積累解題經(jīng)驗(yàn)，也無(wú)法提升對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的理解。不擅長(zhǎng)總結(jié)反思是很多學(xué)生對(duì)“二次函數(shù)”知識(shí)掌握不好的主要原因，針對(duì)具有較強(qiáng)難度和復(fù)雜度的內(nèi)容，學(xué)生只有在課下融會(huì)貫通、舉一反三，才能有效提升掌握程度。學(xué)生不擅長(zhǎng)總結(jié)反思一方面是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有定期總結(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容的習(xí)慣，從而逐漸喪失總結(jié)反思的能力，另一方面是學(xué)生學(xué)習(xí)壓力較大，課下時(shí)間被題海淹沒(méi)，缺少總結(jié)反思的時(shí)間。

二、初中數(shù)學(xué)“二次函數(shù)”的教學(xué)策略

（一）創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師，要想提升二次函數(shù)的教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是關(guān)鍵。初中數(shù)學(xué)教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。首先，初中數(shù)學(xué)教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)新穎有趣且符合青少年興趣愛(ài)好的教學(xué)情境。其次，初中數(shù)學(xué)教師還可以創(chuàng)設(shè)有用的教學(xué)情境，即讓學(xué)生意識(shí)到學(xué)好二次函數(shù)能夠解決生活中的很多問(wèn)題，為了讓課堂氣氛更活躍，讓學(xué)生們更深刻地體會(huì)二次函數(shù)的用處，初中數(shù)學(xué)教師可以邀請(qǐng)班內(nèi)學(xué)生與自己配合。

例如初中數(shù)學(xué)教師可以在上課前詢問(wèn)是否有同學(xué)愿意配合自己開(kāi)展一個(gè)活動(dòng)，并將舉手最積極的同學(xué)叫上講臺(tái)與自己合作，利用卷尺測(cè)量該同學(xué)的身高和向上探出手臂時(shí)的最高高度，并假設(shè)該同學(xué)在投鉛球的活動(dòng)中，推出的鉛球軌跡恰好與二次函數(shù)圖像重合，教師提供該二次函數(shù)的解析式和該男同學(xué)扔鉛球時(shí)的高度，要求同學(xué)們算出該同學(xué)所扔鉛球能達(dá)到的最高高度和扔出的鉛球距離。需要注意的是，初中數(shù)學(xué)教師在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時(shí)，不僅要考慮教學(xué)情境與課程內(nèi)容的契合度、教學(xué)情境的趣味性和有用性，還要注意合理安排教學(xué)情境的時(shí)間。如果初中數(shù)學(xué)教師將整節(jié)數(shù)學(xué)課設(shè)為教學(xué)情境，例如習(xí)題課安排學(xué)生開(kāi)展競(jìng)賽答題活動(dòng)，則無(wú)須控制教學(xué)情境的時(shí)間；如果初中數(shù)學(xué)教師利用教學(xué)情境開(kāi)展課程引入，則應(yīng)該合理控制教學(xué)情境的時(shí)間，一般控制在3 至5 分鐘，如果有特殊情況可以適當(dāng)拉長(zhǎng)時(shí)間，但不應(yīng)超過(guò)10 分鐘。

（二）適應(yīng)課程改革，轉(zhuǎn)變教學(xué)方法

新課改要求教師轉(zhuǎn)變角色觀，即要求教師不再是教學(xué)過(guò)程的主導(dǎo)者，而變成和學(xué)生地位一致的共同學(xué)習(xí)者；還要求教師重視學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，并為學(xué)生解決學(xué)習(xí)中的問(wèn)題；要求教師與學(xué)生在課堂上開(kāi)展平等的交流；要求教師立足學(xué)生能力發(fā)展水平開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，重視對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)。所以初中數(shù)學(xué)教師要適應(yīng)課程改革，及時(shí)轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方法，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，幫助學(xué)生克服二次函數(shù)學(xué)習(xí)難的問(wèn)題。

首先，初中數(shù)學(xué)教師要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，可以通過(guò)每節(jié)課或定期收集學(xué)生的意見(jiàn)改進(jìn)教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容。例如當(dāng)學(xué)生認(rèn)真反饋教師課上講解題目畫(huà)圖太過(guò)粗糙，不利于學(xué)生理解題目的時(shí)候，教師應(yīng)該及時(shí)改進(jìn)不足，為學(xué)生提供更好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

其次，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重視提升學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，而不是做題的能力。一方面，初中數(shù)學(xué)教師在備課時(shí)應(yīng)該盡可能選取與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系密切的內(nèi)容輔助教學(xué)；另一方面，為了幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到二次函數(shù)的有用性，初中數(shù)學(xué)教師可以通過(guò)改編題目的方式提升題干的趣味性和與生活的聯(lián)系密切度。

最后，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該放棄題海戰(zhàn)術(shù)，與其讓學(xué)生將課余時(shí)間全用在機(jī)械式做題上，不如留給學(xué)生總結(jié)反思的時(shí)間。鑒于很多學(xué)生總結(jié)反思能力不足，初中數(shù)學(xué)教師可以要求學(xué)生建立改錯(cuò)本，每周安排學(xué)生寫(xiě)反思總結(jié)周志，幫助學(xué)生開(kāi)展總結(jié)反思活動(dòng)。另外，初中數(shù)學(xué)教師還要在課堂上強(qiáng)調(diào)定期總結(jié)反思的意義，提高學(xué)生對(duì)總結(jié)反思工作的重視。

（三）利用信息技術(shù)，直觀展示圖像

二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的關(guān)系是二次函數(shù)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，主要是因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像變換較復(fù)雜，且學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不能直觀地觀察到二次函數(shù)圖像的變化情況。傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程中，初中數(shù)學(xué)教師利用直角板等工具在黑板上為同學(xué)們展示函數(shù)圖像，但存在畫(huà)圖不標(biāo)準(zhǔn)、作圖時(shí)間長(zhǎng)等問(wèn)題。手繪函數(shù)圖像不僅效率較低，且受教師個(gè)人作圖 水平的影響較大，而利用幾何畫(huà)板等繪圖軟件繪制函數(shù)圖像，圖像清晰，教師只需要輸入函數(shù)解析式即可得到圖像，教師還可以通過(guò)調(diào)解函數(shù)圖像線條顏色幫助學(xué)生更清楚地看到不同函數(shù)解析式所對(duì)應(yīng)的圖像的區(qū)別。利用信息技術(shù)直觀展示二次函數(shù)的圖像變化，一方面能豐富課程內(nèi)容，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面能讓學(xué)生更直觀地體會(huì)到二次函數(shù)的各種性質(zhì)與二次函數(shù)解析式中各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系，從而幫助學(xué)生在解題過(guò)程中靈活應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)。

首先，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該利用最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，即y=ax2（a ≠0）的函數(shù)圖像做示范，讓學(xué)生通過(guò)觀察圖像的變化明確二次函數(shù)解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)a 與二次函數(shù)圖像的拋物線開(kāi)口方向、大小等性質(zhì)的關(guān)系。二次函數(shù)y=ax2（a ≠0）的函數(shù)圖像較簡(jiǎn)單，涉及二次函數(shù)解析式系數(shù)較少，學(xué)生容易理解，不會(huì)因?yàn)閷W(xué)習(xí)內(nèi)容難而喪失學(xué)習(xí)信心。初中數(shù)學(xué)教師在此過(guò)程中可以與學(xué)生開(kāi)展互動(dòng)，活躍課堂氣氛，可以指定學(xué)生定義a 的值或提問(wèn)學(xué)生從二次函數(shù)圖像中看出來(lái)的二次函數(shù)的性質(zhì)。

其次，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該利用函數(shù)圖像在坐標(biāo)系中的上下移動(dòng)，其函數(shù)解析式常數(shù)項(xiàng)之后加向上移動(dòng)單位或減向下移動(dòng)單位的性質(zhì)，利用y=ax2+t（a ≠0）做示范，讓學(xué)生通過(guò)觀察圖像的變化明確二次函數(shù)解析式中二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)對(duì)二次函數(shù)圖像的影響。

最后，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該利用函數(shù)圖像在坐標(biāo)系中的左右移動(dòng)，其函數(shù)解析式常數(shù)項(xiàng)之后加向左移動(dòng)單位或減向右移動(dòng)單位的性質(zhì)，利用y=a（x-h)2（a≠0）做示范。

需要注意的是，初中數(shù)學(xué)教師還可以在講解練習(xí)題的過(guò)程中，利用幾何畫(huà)板等繪圖軟件模擬題干內(nèi)容，從而幫助學(xué)生更直觀地理解題干內(nèi)容，從而提升運(yùn)用二次函數(shù)知識(shí)解題的靈活性。例如初中數(shù)學(xué)教師在講解如圖1所示的題目時(shí)，初中數(shù)學(xué)教師可以通過(guò)在黑板或繪圖軟件中繪制出題干描述的圖形情況，幫助學(xué)生理解題目。

圖1 例題

首先，初中數(shù)學(xué)教師可以通過(guò)黑板或繪圖軟件繪制出題目所述的直角坐標(biāo)系和直角△ABC，如圖2 所示。其次，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意確定二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=1.5，并要求學(xué)生在圖上做出符合要求的二次函數(shù)圖像，分析符合題目要求的二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)，找出符合題目要求的二次函數(shù)圖像的臨界情況。最后，要求學(xué)生將符合題目要求的二次函數(shù)圖像臨界情況找出來(lái)，并通過(guò)將點(diǎn)坐標(biāo)代入的方式求出a 的取值范圍。

圖2 題目所述圖形

（四）總結(jié)數(shù)學(xué)模型，提高解題效率

以較復(fù)雜的函幾結(jié)合題目為例，該類題目一般是給出動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)求動(dòng)點(diǎn)的具體坐標(biāo)，初中數(shù)學(xué)教師可以通過(guò)課堂示范的方式幫助學(xué)生學(xué)會(huì)如何總結(jié)數(shù)學(xué)模型，然后給出專門設(shè)計(jì)的習(xí)題冊(cè)，幫助學(xué)生總結(jié)出解答該類型題目的解題模型。例如，該類題目的解題模型可分為三個(gè)步驟，首先，按照題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；其次，分類討論并按照題意列式計(jì)算；最后，根據(jù)題目篩選答案。其中分類討論并按照題意列式計(jì)算這一環(huán)節(jié)，題意不同，其列式方法也有所不同。例如若題目要求動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則應(yīng)該分三類討論，并根據(jù)“等腰三角形兩邊相等”的性質(zhì)，利用距離公式列式計(jì)算；若題目要求動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則應(yīng)該分三類討論，并根據(jù)直角三角形的勾股定理（a2+b2=c2），利用距離公式列式計(jì)算。下面以圖3所示題目（3）為例，示范如何使用數(shù)學(xué)解題模型提高解題效率。

圖3 函幾結(jié)合例題

圖3 所示題目（3），通過(guò)分析題干特征，可得出該題目是二次函數(shù)函幾結(jié)合題目，可以利用函幾結(jié)合解題模型提升解題效率。首先，根據(jù)題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)P 的坐標(biāo)，題干描述動(dòng)點(diǎn)P 在x軸上，即點(diǎn)P 橫坐標(biāo)不確定，但縱坐標(biāo)始終為0，所以點(diǎn)P 坐標(biāo)可設(shè)為（x0，0）；其次，分類討論且根據(jù)題意列式計(jì)算，因?yàn)轭}目并沒(méi)有具體說(shuō)明等腰△PBC 的頂角頂點(diǎn)的位置，所以P、B、C 三點(diǎn)都有同樣作為等腰三角形頂角頂點(diǎn)的概率。根據(jù)解題模型，當(dāng)題目出現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則應(yīng)該根據(jù)等腰三角形兩邊相等的性質(zhì)，利用距離公式列式計(jì)算。

第一種情況：當(dāng)點(diǎn)P 為等腰△PBC 的等角頂點(diǎn)，則PC=PB，列式為：

解得：x0=0，所以點(diǎn)P 坐標(biāo)為（0，0）

第二種情況：當(dāng)點(diǎn)B 為等腰△PBC 的等角頂點(diǎn)，則BC=BP，列式為：

第三種情況：當(dāng)點(diǎn)C 為等腰△PBC 的等角頂點(diǎn)，則CP=CB，列式為：

解得：x0=±1，，所以點(diǎn)P 坐標(biāo)為（1，0）或（-1，0）

利用數(shù)學(xué)模型解題，一方面可以幫助學(xué)生快速鎖定解題思路，從而提高解題效率，另一方面可以提升學(xué)生的歸納總結(jié)能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型解題的習(xí)慣，提高創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型的能力，提升數(shù)學(xué)認(rèn)知水平。需要注意的是，首先，初中數(shù)學(xué)教師在課上要通過(guò)示范、引導(dǎo)的方式讓學(xué)生自己總結(jié)數(shù)學(xué)模型，不能直接將數(shù)學(xué)模型告訴學(xué)生；其次，初中數(shù)學(xué)教師要及時(shí)歸納總結(jié)，幫助學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型，即數(shù)學(xué)模型的適用題目特征、數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用方式、數(shù)學(xué)模型應(yīng)用注意事項(xiàng)。

三、結(jié)語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的難點(diǎn)主要表現(xiàn)在函數(shù)概念、函數(shù)圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合這四個(gè)方面，初中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解不透徹、函數(shù)意識(shí)薄弱、數(shù)形結(jié)合能力欠缺和不擅長(zhǎng)總結(jié)反思是影響他們學(xué)好二次函數(shù)的主要原因。針對(duì)上述問(wèn)題，初中數(shù)學(xué)教師首先應(yīng)該適應(yīng)課程改革，轉(zhuǎn)變教學(xué)方法，其次可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境激發(fā)學(xué)生興趣，利用信息技術(shù)直觀展示圖像，總結(jié)數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生提高解題效率，不斷優(yōu)化二次函數(shù)的教學(xué)方法，有效提高學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的掌握程度。