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    二次函數(shù)中動點存在性問題解題策略
    ——以三角形存在性問題為例

    2023-03-23 00:00:21揚州大學數(shù)學科學學院圣慧晴
    中學數(shù)學 2023年2期
    關(guān)鍵詞:動點等腰三角解析

    揚州大學數(shù)學科學學院 圣慧晴 王 龍

    二次函數(shù)動點問題中三角形存在性問題是常見的圖象動點問題,它是指“通過某一動點把函數(shù)具有的基本特征與幾何圖形加以有效結(jié)合”[1],它常將幾何運算與函數(shù)、分類討論、方程等問題融合,考查三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容.對于該類動點問題,只要認真分析其本質(zhì)——“變”與“不變”的情況,把握分類依據(jù),對可能的情況進行分類討論,然后建立相關(guān)的函數(shù)解析式或方程即可求解.下面將以等腰三角形和相似三角形的存在性問題為例進行說明.

    1 例題解析

    (1)求A,B,C三點的坐標;

    (2)試探究在點P運動的過程中,是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,請求出此時點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

    圖1

    解析:(1)令y=0,可得x1=-3,x2=4 ,故A(-3,0),B(4,0).令x=0,可得y=-4,故C(0,-4).

    因此A(-3,0),B(4,0),C(0,-4).

    (2)因為B(4,0),C(0,-4),所以lBC:y=x-4.又Q在BC上,可設(shè)Q(m,m-4)(0

    以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形共有三種情況,下面分類討論.

    評析:本題考查了二次函數(shù)動點問題中等腰三角形的存在問題.第(1)問屬于常規(guī)問題,較為簡單.第(2)問主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及分類討論思想,難度屬于中等檔次.第(2)問究其本質(zhì),考查的是等腰三角形兩條腰相等的性質(zhì),找到這兩條腰就是突破本題的關(guān)鍵.題目并沒有明確給出哪條邊是腰,因此需要進行分類討論.

    圖2

    例2如圖2,在平面直角坐標系中,直線y=x-1與拋物線y=-x2+bx+c交于A,B兩點,其中A(m,0),B(4,n),該拋物線與y軸交于點C,與x軸交于另一點D.

    (1)求m,n的值及該拋物線的解析式;

    圖3

    (2)如圖3,連接BD,CD,在線段CD上是否存在點Q,使得以A,D,Q為頂點的三角形與ABD相似?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

    故A(1,0),B(4,3).

    又點A,B均在拋物線上,則

    所以y=-x2+6x-5.

    (2)存在.

    令x=0,得y=-5,故C(0,-5).

    因為A(1,0),B(4,3),C(0,-5),D(5,0),所以

    因為kAB=kCD,所以AB∥CD.

    故∠BAD=∠ADC.

    因此,當△ABD與△AQD相似時,只有以下兩種情況:①△ABD∽△DAQ,②△ABD∽△DQA.因為點Q在線段CD上,又kCD=1,故lCD:y=x-5,不妨設(shè)Q(q,q-5)(0≤q≤5).

    圖4

    圖5

    評析:本題考查了二次函數(shù)的解析式和相似三角形動點存在性問題.第(1)問屬于常規(guī)問題,比較簡單.第(2)問則是在二次函數(shù)的基礎(chǔ)上融合了三角形相似的內(nèi)容.求解第(2)問時要關(guān)注題目中三角形頂點的順序問題,再進行分類討論.對于該題的分類,因為已知有一組角已經(jīng)相等,即已經(jīng)確定了一組對應(yīng)點,那么只需對剩下的兩組角相等的情況進行分類,然后聯(lián)立解方程即可.

    2 策略總結(jié)

    從以上兩道例題可以看出,在求解二次函數(shù)中三角形存在性問題時,常與分類討論思想相結(jié)合.分類的依據(jù)是解題的核心與關(guān)鍵,在等腰三角形中,常常以邊的相等情況為分類依據(jù);在相似三角形中,角相等或邊成比例往往成為分類依據(jù).其次,方程思想也是不容忽視的重要思想,在進行分類后,往往會通過聯(lián)立方程求解.對于題目中所包含的邊、角關(guān)系都需要引起重視,這些都可以為聯(lián)立方程提供依據(jù).最后,三角形存在性問題是建立在二次函數(shù)的定義、性質(zhì)的基礎(chǔ)上對問題進行的變式與創(chuàng)新,其本質(zhì)不變,故能透徹理解和應(yīng)用二次函數(shù)的知識是最基本的要求.對于等腰三角形和相似三角形存在性問題,總結(jié)如下解題策略.

    證明等腰三角形存在時:(1)寫出等腰三角形存在的三種方程;(2)利用坐標之間的關(guān)系表示出三條邊;(3)將所表示邊代入方程求解.值得注意的是,審題需要注意自變量的取值范圍,這往往也是限制方程解的條件.

    證明相似三角形存在問題:(1)根據(jù)題目信息,找出已知可能相等的角或邊的比例關(guān)系;(2)將剩下的角或邊分別進行配對得到相似;(3)根據(jù)相似得到邊的比例關(guān)系,再將各邊表示出來代入等式方程求解即可.

    總之,掌握二次函數(shù)中動點存在性問題的相關(guān)解題策略對學生解題有著非常大的幫助作用,本文主要以兩種特殊的三角形為例進行展示,希望可以為學生熟練掌握解題技巧,以及靈活運用知識提供助力.

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