平面幾何解題思路探析*

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 唐亞軍 唐永生 賀小雪 李亞文

1 問題提出

初中平面幾何內(nèi)容具有很強(qiáng)的實(shí)用性和基礎(chǔ)性，它不但在現(xiàn)代生活和生產(chǎn)中的應(yīng)用非常廣泛，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科必不可少的基礎(chǔ)[1].其中，平面幾何解題在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和科學(xué)的思維方法上起著非常重要的作用.但是學(xué)生在解答平面幾何問題時(shí)，常停留在記憶與模仿的階段，導(dǎo)致解題思維混亂，不知道從哪里入手以及需要遵循哪些規(guī)則等[2].因此，探析平面幾何解題的最優(yōu)化思路仍是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要問題.

2 平面幾何解題思路

波利亞指出，問題解決的模式是一個(gè)不斷發(fā)展的過程，數(shù)學(xué)解題要探求解題模式的一般性.就平面幾何而言，幾何解題要嚴(yán)格遵守解題的各項(xiàng)規(guī)則，注重問題的識(shí)別與理解，注重制定與執(zhí)行解決問題的條件和對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)[3].教會(huì)學(xué)生解題的思路，有利于形成學(xué)生的解題心理定式，這樣學(xué)生在不同的情境中都能快速地反應(yīng)并解決問題.平面幾何問題的解題思路如圖1所示.

圖1

2.1 問題情境

格式塔心理學(xué)派問題解決觀認(rèn)為，問題解決是對(duì)問題情境的整體理解.問題情境是個(gè)體所面臨的數(shù)學(xué)問題以及由問題所引起的舊的知識(shí)結(jié)構(gòu)的再現(xiàn).學(xué)生在面臨問題情境時(shí)，回想是否遇到過相似情境及其解決方法，或是以前的方法是否可以遷移.對(duì)問題的理解不同，學(xué)生思考問題的方向與思維習(xí)慣就會(huì)不同，進(jìn)而所采用的方法也會(huì)不同.

2.2 數(shù)學(xué)閱讀

閱讀的目的是理解閱讀材料，提取其中有意義的信息.平面幾何解題中，數(shù)學(xué)閱讀則是摒棄幾何問題中的無關(guān)要素，對(duì)題設(shè)和圖形進(jìn)行分析，提取出解決問題的關(guān)鍵性信息.數(shù)學(xué)閱讀是問題解決的起始環(huán)節(jié)和基礎(chǔ)步驟.題設(shè)閱讀是清楚所給的已知條件與結(jié)果，對(duì)題設(shè)所給的文字、符號(hào)等在腦海中進(jìn)行預(yù)設(shè)與理解；幾何圖形閱讀就是學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)對(duì)所給圖形進(jìn)行識(shí)別.學(xué)生要善于將復(fù)雜的幾何圖形分解為有必然聯(lián)系的簡(jiǎn)單基礎(chǔ)幾何圖形去把握?qǐng)D形的本質(zhì)[4]，進(jìn)而為后面的解題提供基礎(chǔ).(如圖2所示)

圖2

2.3 轉(zhuǎn)化、分析、激活

轉(zhuǎn)化，是指將題目中所給的數(shù)學(xué)語言(文字語言、符號(hào)語言、圖形語言)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到對(duì)問題的正確表征，把握問題的本質(zhì).分析，是指對(duì)已知條件與結(jié)果以及它們之間的關(guān)系進(jìn)行分析.對(duì)已知條件的分析，即采用綜合法，逼近結(jié)果，由條件可以順推若干個(gè)幾何關(guān)系T1，T2，……，Tn；結(jié)果分析，即采用分析法，逼近條件，由結(jié)果溯流而上可以逆推若干個(gè)幾何關(guān)系Q1，Q2，……，Qn.推出條件T和Q的過程就是激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中條件與結(jié)果相關(guān)知識(shí)的過程.激活是一個(gè)搜尋與提取信息的過程，這個(gè)過程需要學(xué)生擁有非常豐富的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2.4 構(gòu)造聯(lián)系

構(gòu)造聯(lián)系，是在分析條件與結(jié)果、激活相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，建立已知與未知之間的聯(lián)系.比較T1，T2，……，Tn和Q1，Q2，……，Qn，如果其中的Ti和Qi之間存在明顯的關(guān)系或者Ti=Qi的話，通過綜合與分析，便可以構(gòu)造未知與已知之間的聯(lián)系[5]，這樣問題便得到了解決；若比較T1，T2，……，Tn和Q1，Q2，……，Qn，通過已有的條件很難將兩者聯(lián)系起來，條件與結(jié)論之間存在著中間的未知條件M1，M2，……,Mn，其中有條件Mi存在于Ti和Qi之間，溝通了Ti和Qi或者Ti=Mi=Qi，從而順利地從條件到結(jié)果.未知條件M往往是通過巧妙地添加輔助線而得到，因此，一條好的輔助線往往能使復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，輔助線的建立是解題的關(guān)鍵一步.(如圖3所示)

圖3

2.5 回顧整理

回顧,即重新思考分析問題的認(rèn)知過程，是一種對(duì)自我認(rèn)知的檢查.分析問題的時(shí)候難免會(huì)出現(xiàn)思維與邏輯上的錯(cuò)誤，即使是正確的分析過程和解題思路，也要在回顧的過程中進(jìn)行調(diào)整、修改、補(bǔ)充等，尋求解答過程的最優(yōu)化.整理，即整理分析過程，在這過程中，要注意數(shù)學(xué)語言的正確使用，盡量多使用數(shù)學(xué)符號(hào)語言，力求過程的精簡(jiǎn)化；過程要符合語義和法則，注意正確把握各步驟間的邏輯推導(dǎo)關(guān)系.

3 平面幾何解題思路的應(yīng)用

安徽省合肥市2021年壓軸題第21題是一道幾何題，非常典型，尤其是第(3)小問非?？简?yàn)學(xué)生的解題思維.

例如圖4-1，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點(diǎn)F，連接BF.

(1)求證： △ABF≌△EAD；

(2)如圖4-2中，若AB=9，CD=5，∠BCF=∠AED，求BE的長；

圖4-1

圖4-2

圖4-3

問題情境：這種多個(gè)問答的問題往往前一問的方法或者結(jié)論可以為下一問做參考.

數(shù)學(xué)閱讀：題干中給了7個(gè)條件，即四邊形ABCD,∠ABC=∠BCD,點(diǎn)E在邊BC上,AE∥CD，DE∥AB，CF∥AD，CF與AE交于點(diǎn)F；所給圖形中，以三角形為主，這個(gè)復(fù)雜的圖形可以看成：△ABE和△DEC頂點(diǎn)相連，也可以看成△ABE與梯形AECD拼成.問題(1)是證明全等；(2)是給定值，然后求BE的長；(3)中給定BF的延長線過AD的中點(diǎn)M,求比值.

轉(zhuǎn)化:將上述需要轉(zhuǎn)化的條件進(jìn)行如下語言的轉(zhuǎn)化，

分析與激活：對(duì)已知條件進(jìn)行如下分析.

①AE∥CD?∠AEB=∠DCE，∠AED=∠CDE，∠DCF=∠CFE；②DE//AB?∠ABE=∠DEC，∠BAE=∠AED；③∠ABC=∠BCD?∠ABE=∠AEB= ∠DEC=∠DCE?△ABE與△DEC為等腰三角形?AB=AE，DE=DC；④由①和②條件?∠BAE=∠AED=∠CDE；⑤CF//AD?∠DAF=∠CFE?∠DAF=∠CFE=∠DCF；⑥由③⑤?AFCD是平行四邊形?AF=CD?AF=CD=DE.

對(duì)第(1)問進(jìn)行分析：(1)要求證△ABF≌△EAD?只需滿足SSS，SAS，ASA，AAS中的一個(gè)?邊角等量關(guān)系.

解析：(1)由上面分析可知，在△ABF和△EAD中AB=AE，∠BAE=∠AED，AF=DE，所以 △ABF≌△EAD(SAS).

由△ABF≌△EAD，可得AD=BF=CF，∠DAF=∠ABF=∠CFE=∠DCF.

解析：(2)由上述分析可知△ABE∽△BFE，則

因?yàn)锳E=9，EF=4，所以BE2=36，即BE=6.

4 平面幾何解題思路的思考

任何解題的教學(xué)都是在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)之上的再發(fā)現(xiàn)、再建構(gòu)的過程，在這個(gè)過程中學(xué)生對(duì)自己的思維進(jìn)行監(jiān)控與調(diào)整.

4.1 學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是解題思路的基礎(chǔ)

學(xué)生的已有知識(shí)總量和知識(shí)貯備方式等主觀因素是問題解決的根本因素.認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生由知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化而形成的，是學(xué)生將學(xué)得的知識(shí)按照自己的理解組織起來的心理系統(tǒng)，它既是知識(shí)的建構(gòu)方式，也是知識(shí)的貯備方式.學(xué)生頭腦中知識(shí)的良好結(jié)構(gòu)和聯(lián)系與問題解決之間存在著明顯的相關(guān)性[6]，可以快速進(jìn)行知識(shí)提取，全面激活關(guān)于條件與結(jié)論的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，更好地促進(jìn)問題解決.任何解題思路都離不開學(xué)生原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

4.2 解題思維過程的整體推進(jìn)

解題步驟不是前后相繼的關(guān)系，而是在某個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上同時(shí)進(jìn)行的.學(xué)生在閱讀的同時(shí)，也進(jìn)行著轉(zhuǎn)化的操作，邊閱讀,邊理解,邊轉(zhuǎn)化，這樣才能更加透徹地把握題目的全部內(nèi)容.當(dāng)轉(zhuǎn)化到一定的條件時(shí)，也就開始了分析與激活.因此，這幾個(gè)環(huán)節(jié)是環(huán)環(huán)相扣、不可分離的關(guān)系.后面步驟是在前面步驟的基礎(chǔ)上展開的，但此時(shí)并不意味著前面步驟的結(jié)束.

4.3 根據(jù)問題難易程度做出相應(yīng)調(diào)整

雖然研究幾何解題思路是為了學(xué)生更好地解決問題，但是一味按照思路來解題勢(shì)必限制學(xué)生的思維，形成思維定式.因此，在幾何解題的過程中，應(yīng)該根據(jù)問題的難易程度做出相應(yīng)的調(diào)整、刪減等.對(duì)于稍微簡(jiǎn)單一點(diǎn)的問題，在轉(zhuǎn)化的過程中就可以將問題解決；對(duì)于比較難的數(shù)學(xué)證明，則需要在分析的基礎(chǔ)上多次閱讀與轉(zhuǎn)化.

5 結(jié)論

平面幾何解題的過程中,學(xué)生的心理與思維起到關(guān)鍵的作用.學(xué)生提取自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)自己解題過程進(jìn)行監(jiān)控，從而使問題得以解決.因此在教學(xué)中教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生自我元認(rèn)知，以此培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維，提高學(xué)生的平面幾何的解題能力.