山東省高青縣第三中學(xué) 李 鵬
新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出在初中數(shù)學(xué)幾何部分教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)重視對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng),使學(xué)生數(shù)學(xué)思維更加完善,以幫助學(xué)生更好地解決幾何問(wèn)題.而幾何直觀能力是分析圖形、總結(jié)問(wèn)題、認(rèn)識(shí)事物等方面能力的集合,是個(gè)體創(chuàng)造性思維以及敏銳洞察能力在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的表現(xiàn).利用幾何直觀解決幾何問(wèn)題,能夠快速獲取圖形中有用的信息進(jìn)而對(duì)圖形產(chǎn)生更為直觀的理解,提高學(xué)生解題效率與準(zhǔn)確率,也有助于激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).但目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,幾何直觀能力的培養(yǎng)存在明顯誤區(qū)與問(wèn)題,本文中則根據(jù)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)狀況,制定科學(xué)培養(yǎng)方案,以提高學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)質(zhì)量與效果.
初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)主要目的在于強(qiáng)化學(xué)生幾何思維及空間幾何能力,使學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀芜壿嫞M(jìn)而在解決問(wèn)題過(guò)程中能夠快速找到突破口,減少不重要信息的干擾,樹(shù)立學(xué)生自信.但在目前的教學(xué)實(shí)踐中,能力培養(yǎng)誤區(qū)以及缺陷十分明顯.具體如下:
教師常陷入到為直觀而直觀的誤區(qū)當(dāng)中,過(guò)分地強(qiáng)調(diào)直觀剖析幾何圖形,阻礙學(xué)生邏輯思維形成過(guò)程中對(duì)抽象真理的思考.直觀的圖形雖能夠幫助學(xué)生更輕松地理解與獲取解題信息,但濫用手段創(chuàng)造直觀觀察條件或不科學(xué)的直觀分析方法,將對(duì)學(xué)生正確、理性、嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)思維的形成產(chǎn)生重大干擾.同時(shí),由于初中生理論知識(shí)與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)有限,在直觀理解圖形的過(guò)程中,容易出現(xiàn)誤差.這種誤差的長(zhǎng)期存在是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題科學(xué)性以及嚴(yán)謹(jǐn)性的破壞,會(huì)導(dǎo)致學(xué)生難以獲得正確的結(jié)果.而教師在教學(xué)中未能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生理解誤差、克服誤差,忽視了直觀能力背后理性思維的形成,導(dǎo)致學(xué)生難以由直觀的猜想上升到科學(xué)的推理,從而能力發(fā)展始終停留在淺層階段.
此外,從總結(jié)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)看,目前影響培養(yǎng)初中生幾何直觀能力的問(wèn)題較多,如,教材因素.教材作為傳播知識(shí)的媒介,是學(xué)生能力發(fā)展的基礎(chǔ)工具之一,但初中數(shù)學(xué)教材中幾何部分的設(shè)置存在不合理之處.數(shù)學(xué)本身具有圖形直觀以及代數(shù)的雙重特征,但教材難以引導(dǎo)學(xué)生了解幾何背景,對(duì)于圖形的直觀演示過(guò)少,與學(xué)生的思維不符,從而很多學(xué)生根據(jù)意象理解教材中的知識(shí)點(diǎn),無(wú)法借助直觀的幾何信息對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析與思考.因此,這也是導(dǎo)致學(xué)生幾何直觀能力普遍偏低的因素之一.事實(shí)上,在圖形整體結(jié)構(gòu)以及空間形式上,我國(guó)初中學(xué)生的想象力以及理解力水平同樣較低,亟待提升.
學(xué)生掌握知識(shí)的基本歷程為:感性認(rèn)識(shí)—理性認(rèn)識(shí),特殊認(rèn)識(shí)—一般認(rèn)識(shí).因此,在教學(xué)過(guò)程中,利用直觀的圖形能夠使學(xué)生對(duì)知識(shí)形成具象化的認(rèn)識(shí),并幫助學(xué)生去感知和記憶理論與抽象知識(shí),從而促進(jìn)能力的發(fā)展.按照這一規(guī)律,得出如下關(guān)于初中數(shù)學(xué)幾何直觀能力培養(yǎng)方案.
解決幾何問(wèn)題過(guò)程中,若想合理地利用幾何直觀,需要將所要解決的問(wèn)題,即題目的作答對(duì)象轉(zhuǎn)化成圖形,再通過(guò)問(wèn)題與圖形信息之間的分析,從直觀到抽象進(jìn)行升華,形成對(duì)作答對(duì)象的準(zhǔn)確理解,最終結(jié)合直觀圖形以及抽象的數(shù)學(xué)解題思維解決問(wèn)題.
圖1
例1如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,5),B(1,2),C(4,3).(1)若將y軸作為對(duì)稱軸,請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出△ABC的對(duì)稱圖形,并記作△A′B′C′;(2)寫(xiě)出△A′B′C′三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);(3)分析兩個(gè)三角形頂點(diǎn)之間的關(guān)系.
題中給出了直觀的圖形,要求學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作在直角坐標(biāo)系中獲得新的三角形,這種問(wèn)題的設(shè)置主要目的是強(qiáng)化學(xué)生對(duì)對(duì)稱變化、軸對(duì)稱概念以及具體特征的理解,使學(xué)生能夠在實(shí)踐操作中逐步摸索出三角形在直角坐標(biāo)系中頂點(diǎn)的變化規(guī)律以及圖形變化規(guī)律,并且使這種變化關(guān)系更加直觀.這種思維的形成便于學(xué)生理解與分析圖形中隱藏的方向上的變化,直觀地獲取整個(gè)變化過(guò)程,使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單,提高解題效率與準(zhǔn)確性.
通過(guò)對(duì)幾何圖形的分析可以發(fā)現(xiàn),任何一個(gè)圖形的組成均具有基礎(chǔ)的圖形元素.當(dāng)看到復(fù)雜的幾何圖形時(shí),應(yīng)保持理性、客觀的態(tài)度,觀察圖形、分析圖形、拆解圖形,將圖形分解成若干個(gè)子圖形,總結(jié)其中蘊(yùn)含的基礎(chǔ)圖形元素,逐一分析每個(gè)基礎(chǔ)圖形的特征.這對(duì)高效解決問(wèn)題有著重要幫助,同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的方法之一.教師在教學(xué)過(guò)程中遇到幾何圖形,需要有目的地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察與總結(jié).
圖2
例2如圖2所示,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AD,CD邊上一點(diǎn),連接AF與BE相交于點(diǎn)G,并延長(zhǎng)BE與邊CD,使其相交于點(diǎn)H.試找出圖中的相似三角形.
分析:該題目是完成相似三角形知識(shí)學(xué)習(xí)后的常見(jiàn)題型,意在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)相似三角形判定等知識(shí)的掌握.此類題目基礎(chǔ)、簡(jiǎn)單,為快速解題,通常需要利用幾何直觀進(jìn)行準(zhǔn)確判斷.快速解題的關(guān)鍵則是將三角形基本圖形印刻在腦海中.在日常學(xué)習(xí)中,教師可與學(xué)生總結(jié)常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形,如圖3所示.
A型圖
X型圖
垂直型
在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,準(zhǔn)確理解幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征以及角、邊、線之間的關(guān)系是解題時(shí)做出準(zhǔn)確判斷的基礎(chǔ),對(duì)激發(fā)學(xué)生解題欲望也有著重要作用.而幾何直觀能力則是不斷通過(guò)對(duì)直觀圖形的分析,以及對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí),從而形成幾何思維.在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生不免會(huì)出現(xiàn)猜想或直接思維,教師應(yīng)予以保護(hù),并引導(dǎo)與幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的思維.
圖4
例3如圖4,在△ABC中,∠BAC的平分線與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE與△ABC外接圓相交于點(diǎn)D,依此連接CE,CD,BD,現(xiàn)已知∠BDC=120°,∠BDA=60°.試判斷四邊形BDCE的形狀.
學(xué)生在分析題目后憑借直覺(jué)判斷四邊形BDCE為菱形.沿著學(xué)生猜想的思路根據(jù)菱形定義進(jìn)行驗(yàn)證,則可作出準(zhǔn)確判斷.因此,學(xué)生僅需證明圖形有一組鄰邊相等或四邊相等即可.通過(guò)這種直觀的猜想能夠幫助學(xué)生快速找到解題思路,簡(jiǎn)化了分析與解題過(guò)程.
初中數(shù)學(xué)中幾何題目更加復(fù)雜,往往融合不等式等知識(shí)點(diǎn),該類型題目通常可直接代入解題,但實(shí)踐證明直接代入會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜計(jì)算,從而很多學(xué)生因計(jì)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.基于數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想,利用圖形輔助解題,通??色@得事半功倍的效果.
圖5
基于所學(xué)公式在坐標(biāo)系中畫(huà)出式子所對(duì)應(yīng)的函數(shù)示意圖后,可以快速找到解題突破口,這種方式則是將抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)通過(guò)圖象進(jìn)行直觀化表現(xiàn),是對(duì)學(xué)生幾何直觀能力實(shí)踐操作的重大考驗(yàn).
學(xué)生幾何學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)并非是一蹴而就的,且?guī)缀文芰哂芯C合性特征,需要做好每項(xiàng)能力的培養(yǎng)才能實(shí)現(xiàn)整體能力的進(jìn)步.幾何直觀能力則是數(shù)學(xué)幾何能力的重要組成部分,是學(xué)生理解圖形、分析圖形的基礎(chǔ).因此,針對(duì)當(dāng)前初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的誤區(qū)與問(wèn)題,結(jié)合筆者工作經(jīng)驗(yàn)制定了培養(yǎng)方案,以期為初中數(shù)學(xué)教師提供有益借鑒.