初中生數(shù)字特征理解水平：現(xiàn)狀、問題、對策

甘肅蘭州 西北師范大學(xué) 教師教育學(xué)院 張定強(qiáng) 王金燕 申韓麗

1 問題提出

大數(shù)據(jù)時代要求每一位公民具備從大量的數(shù)據(jù)中提取信息進(jìn)行分析處理、推斷決策并解決問題的能力，義務(wù)教育階段正是培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的關(guān)鍵時期.初中教材中將中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、極差、方差等統(tǒng)稱為數(shù)字特征，數(shù)字特征是利用樣本算出的一系列反映樣本特征的數(shù)，用以刻畫同一事物不同方面的性質(zhì)，以達(dá)到認(rèn)識全局的目的，是數(shù)據(jù)素養(yǎng)發(fā)展的核心內(nèi)容.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》學(xué)業(yè)要求中指出，學(xué)生將通過樣本數(shù)據(jù)推斷總體特征的方法形成，發(fā)展數(shù)據(jù)觀念[1].由此可見，運(yùn)用數(shù)字特征分析數(shù)據(jù)就成為發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的關(guān)鍵.

目前研究者對數(shù)字特征的研究主要體現(xiàn)在兩個方面.一是對學(xué)生的某些數(shù)字特征理解水平進(jìn)行單獨(dú)研究[2]；二是將數(shù)字特征融入數(shù)據(jù)分析觀念系統(tǒng)之中進(jìn)行分析和研究[3].事實(shí)上，作為數(shù)據(jù)觀念以及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的形成，一個核心的問題就是要明晰學(xué)生數(shù)字特征理解的水平現(xiàn)狀，探析學(xué)生在情境中計(jì)算、理解和應(yīng)用數(shù)字特征中存在的問題及成因，尋找應(yīng)對的策略，為更進(jìn)一步發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對象

研究對象選自山西省太原市某中學(xué)的八年級學(xué)生，采取整群抽樣的方式，共選取4個班170名學(xué)生，按期中學(xué)業(yè)質(zhì)量等級情況將班級劃分成優(yōu)、良2個層次，其中優(yōu)班2個、良班2個.最終回收有效試卷155份，占總數(shù)的91.18%，其中男生67人，女生88人.

2.2 研究工具

編制“初中生數(shù)字特征理解水平測試卷”.通過研究與數(shù)字特征相關(guān)的習(xí)題和中考題，借助SOLO分類法，參考專家和一線教師的修改意見，不斷明晰測試題、測試卷維度和測試題水平分析框架(限于篇幅略).經(jīng)過反復(fù)研討，修訂后的測試卷中題目包含數(shù)字特征的計(jì)算(1,2題)、理解(3,4題)和應(yīng)用(5,6題)3個維度，每道試題包含四個水平，根據(jù)學(xué)生的具體作答評定，滿分24分.其中，前結(jié)構(gòu)水平為水平一并賦值為1，單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平依此類推.特別地，在測試卷中每道題目下方設(shè)置了草稿區(qū)和作答區(qū)，學(xué)生可以在草稿區(qū)寫出自己的思考過程或解題時停頓的原因，觀察學(xué)生在每一道試題上的反應(yīng)，由答題的外顯行為推測學(xué)生的內(nèi)在心智特質(zhì)并估計(jì)其水平，再通過統(tǒng)計(jì)分析和質(zhì)性分析發(fā)現(xiàn)隱藏在測試數(shù)量關(guān)系中的學(xué)習(xí)信息.

3 調(diào)研的結(jié)果及分析

總體來看，初中生對數(shù)字特征的理解水平處于中等水平(M=13.68)，在數(shù)字特征的計(jì)算維度題目得分較高，但在數(shù)字特征的應(yīng)用維度題目得分偏低.6道題中得分較低的3道題分別是第5題(M=1.54)、第6題(M=1.93)和第3題(M=1.93)，得分差距較大的兩道題分別是第6題(SD=1.201)和第3題(SD=1.088)，反映學(xué)生在正確認(rèn)識數(shù)字特征的知識儲備上存在一定的差異，在相對復(fù)雜的情境中選擇數(shù)字特征，以及正確決策和分析數(shù)據(jù)的能力也有待提高.

進(jìn)一步以總得分和每題得分進(jìn)行差異檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)業(yè)成績等級學(xué)生存在一些差異，但未構(gòu)成統(tǒng)計(jì)意義上的顯著水平.

4 存在的問題及分析

學(xué)生對數(shù)字特征的掌握主要存在如下4個方面的問題.

4.1 運(yùn)算過程出錯

對于數(shù)字特征的計(jì)算，學(xué)生存在如下問題.一是讀取數(shù)據(jù)有誤導(dǎo)致列式出錯，如，不能準(zhǔn)確讀取題1中打分雷達(dá)圖、題4中射擊成績條形圖中的數(shù)據(jù).二是單純計(jì)算出錯，如，在題1，4，5中求解各數(shù)字特征時出錯.三是定義不明晰導(dǎo)致基本公式列錯，如，題1算產(chǎn)品平均分僅將各項(xiàng)得分相加得到總分，未除項(xiàng)數(shù)；題1要求按1∶4∶1∶2∶2計(jì)算加權(quán)平均值，有學(xué)生未分清權(quán)和權(quán)重、項(xiàng)數(shù)和比例而混用公式，錯列式為

題4算方差時,將公式錯列為

4.2 概念理解不透

初中“統(tǒng)計(jì)”中最為核心的概念有中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、極差、方差等，其中理解偏差最多的是平均數(shù)和方差.

4.2.1 對平均數(shù)理解的偏差

對于平均數(shù)的理解，學(xué)生存在如下問題.一是對平均數(shù)中“平均”的理解有誤，在內(nèi)涵上和中位數(shù)混淆.如題3(題目中的主要信息是46株獨(dú)蒜蘭種苗的平均鮮重是21.11 g，編號21的獨(dú)蒜蘭種苗鮮重是21.23 g，在46株獨(dú)蒜蘭的鮮重里是中等偏下的，這一情況是否可能)中部分學(xué)生回答“不可能，由于21.23 g>21.11 g，因此 21號獨(dú)蒜蘭的鮮重應(yīng)在中等偏上”，或者畫出46條豎線，數(shù)到第21條并得到其位置應(yīng)為中等偏上，這本質(zhì)上是將分布在兩側(cè)的數(shù)據(jù)平均和分布在兩側(cè)的數(shù)量相同混為一談，即混淆了平均分布和均勻分布的意義，后者為中位數(shù)代表的含義，前者才是平均數(shù).這一誤區(qū)在題4中從條形圖估計(jì)平均數(shù)也有體現(xiàn)，部分學(xué)生給出估讀的理由不是割補(bǔ)法，而是諸如“8環(huán)是中間/不大不小的數(shù)”“從兩邊同時劃去相同的數(shù)得到8”等回答，忽略了此種方法下對稱分布的前提.二是對“平均數(shù)受極端值的影響”理解不到位，無法結(jié)合情境理解題意.如，題3中僅少部分學(xué)生回答較為具體，諸如“平均數(shù)并不是中間的數(shù)”.再如，“有可能后20株鮮重全部在18 g左右降低了平均數(shù)”“平均數(shù)受極值影響，所以不能單看某個值，要放在總體中判斷”等.

4.2.2 對方差理解的偏差

對于方差的理解，學(xué)生存在如下問題.一是錯誤地認(rèn)為方差越大數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.二是認(rèn)為方差不受個別數(shù)據(jù)的影響，如在題2(題目中的主要信息是給出全校隨機(jī)抽取了50名同學(xué)的測試成績的不完善統(tǒng)計(jì)表)中回答方差與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān).三是對“離散”一詞的理解不深刻，刻畫離散的前提是有相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)或參照，如題4中一組數(shù)據(jù)都要與該參照(即平均值)進(jìn)行比較，而非學(xué)生片面回答的“10次射擊成績中的低分較少，所以方差小”，題5(11名顧客在兩家銀行的等待時間)中學(xué)生分析有更多不滿意顧客的銀行時，僅通過觀察數(shù)據(jù)的波動程度或是否存在極端值來判斷，忽略了平均數(shù)對于方差離散的意義.在題4平均數(shù)相等的情況下，部分學(xué)生比較兩組數(shù)據(jù)的方差時只看數(shù)目(出現(xiàn)次數(shù))或縱向數(shù)值的落差/變化程度，回答諸如“兩人同時有兩個一次，一個兩次和兩個三次，所以方差相等”，忽略了不同高度的柱與平均數(shù)間橫向的距離關(guān)系，未能結(jié)合代數(shù)式理解離散的幾何意義.

4.3 樣本總體混淆

調(diào)查結(jié)果表明，學(xué)生學(xué)習(xí)過程中往往分不清樣本數(shù)字特征和總體數(shù)字特征.題2要求根據(jù)隨機(jī)抽查50名學(xué)生的成績估計(jì)全校學(xué)生的得分情況，幾乎所有學(xué)生都能給出正確答案，但從其闡述可以看出，一些學(xué)生并未分清樣本和總體的關(guān)系，無法理解用樣本估計(jì)總體的思想，只是歪打正著選擇了分析樣本后得到的數(shù)據(jù)，如“我認(rèn)為該校得分最多的成績是100分，得100分的有13人，其余的人數(shù)都小于13人”.題6(給出從下午14：00～17：00每隔相等的時間車在3分鐘內(nèi)車流量的8次統(tǒng)計(jì)表)要求根據(jù)時段抽查的數(shù)據(jù)估計(jì)該時段的總車流量，部分學(xué)生解題時沒有目標(biāo)和思路，不會用樣本估計(jì)總體的方法解決問題，如，僅僅把抽樣結(jié)果求和或求均值代替總體得到結(jié)論、取抽樣結(jié)果的均值乘8(抽樣次數(shù))或乘3(總時段)等，或者求出平均每分鐘通過的車流量，但無法確定總體等，題設(shè)要求估計(jì)總車流量而非抽查車輛，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在分析問題時邏輯不清，原因是未分清總體和樣本分別代表什么，將二者互為混淆.

4.4 應(yīng)用能力不足

運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思維觀察并思考問題是合理分析數(shù)據(jù)的前提.結(jié)果表明，學(xué)生解題時多憑借直觀經(jīng)驗(yàn)作答，欠缺在情境中運(yùn)用相關(guān)知識將問題數(shù)學(xué)化的能力，得到的結(jié)論雖有一定道理，但不夠嚴(yán)謹(jǐn).如題5中有學(xué)生認(rèn)為A銀行越往后等待時間越長，因此顧客更不滿意；A銀行數(shù)值不穩(wěn)定，有極端值，所以更多顧客不滿意；A銀行有3位顧客等待時間超過了8分鐘，所以更多顧客不滿意等.相反有人認(rèn)為B銀行只有一個隊(duì)伍，所以等待時間要更長，不滿意的顧客更多；B銀行數(shù)據(jù)波動小，等待時間都在6分鐘以上，有較多不滿意客戶等.可以看到，在求解此類問題時學(xué)生大多以經(jīng)驗(yàn)分析代替了量化分析，沒有從統(tǒng)計(jì)角度思考問題.

另外，部分學(xué)生缺乏在情境中靈活地選擇、運(yùn)用數(shù)字特征的能力.如題2中有學(xué)生錯用中位數(shù)而非眾數(shù)估計(jì)總體學(xué)生的成績情況；題5中用眾數(shù)或極差等來判斷顧客對銀行等待時間的滿意度；題6中用眾數(shù)或中位數(shù)作為8次抽樣的代表值.也有學(xué)生不能結(jié)合多種數(shù)字特征全方位地刻畫某一事物的本質(zhì)屬性，如題5中有學(xué)生求得兩家銀行等待時間的平均值相同，因此認(rèn)為不滿意的顧客一樣多，沒有運(yùn)用其他數(shù)字特征進(jìn)一步刻畫；有學(xué)生僅通過觀察發(fā)現(xiàn)A銀行等待時間波動大，沒有考量其他數(shù)字特征指標(biāo)，得到的結(jié)論不夠嚴(yán)謹(jǐn)；還有學(xué)生算得B銀行方差較小，更為穩(wěn)定，因此認(rèn)為若只有6分鐘等待時間應(yīng)選擇B銀行，刻板地套用知識，使作答結(jié)果失去價值.

5 應(yīng)對的基本策略

調(diào)研發(fā)現(xiàn),初中生在數(shù)字特征方面存在著運(yùn)算過程出錯、概念理解不透、樣本總體混淆和應(yīng)用能力不足等問題，教師需要針對問題產(chǎn)生的原因，采取有效的應(yīng)對策略以提升學(xué)生對數(shù)字特征的理解和應(yīng)用能力.

5.1 強(qiáng)化運(yùn)算對象解析，注重運(yùn)算過程分析

學(xué)生在基本運(yùn)算過程中出錯的根本原因是沒有理解運(yùn)算對象的含義，很多時候?qū)蕉际菣C(jī)械記憶，不理解其產(chǎn)生的意義，情境變化就不符合原公式，致使對知識的掌握不斷惰性化.這就要求教師在運(yùn)算對象的解析上下功夫，在進(jìn)行數(shù)字特征教學(xué)時，對數(shù)字特征知識體系中所涉及的諸如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等概念要設(shè)計(jì)明確的理解和掌握目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生不論是對集中型或離散型的數(shù)字特征，都要在豐富的問題解決環(huán)境和變式練習(xí)中去感悟，這就需要巧設(shè)運(yùn)算過程，著力易錯點(diǎn)的突破.如，權(quán)和權(quán)重是描述數(shù)據(jù)重要情況而派生的概念，相同點(diǎn)都與重要程度有關(guān)，不同點(diǎn)是所占份數(shù)即是權(quán)，所占比例即是權(quán)重.教師應(yīng)通過對細(xì)節(jié)的挖掘引導(dǎo)學(xué)生不斷地辯錯悟真，具象化地運(yùn)用公式.

5.2 增潤統(tǒng)計(jì)教學(xué)情境，加深核心概念理解

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極為重要的是關(guān)于核心概念的掌握和理解.統(tǒng)計(jì)中很多概念比較抽象，加之與學(xué)生的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)有點(diǎn)距離，也會影響他們對概念或方法的理解，形成一些直覺性錯誤[4].為此，教師需要精心選取教學(xué)資源，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，諸如設(shè)計(jì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)關(guān)系如何、方差的幾何意義如何理解等問題的探討，教師需要拋去講授的思維套路，提供更多的辯論的時間和空間，合理地引導(dǎo)學(xué)生思維轉(zhuǎn)向，促使學(xué)生在正面認(rèn)識概念或錯誤辨析的同時，再從反面剖析或案例化的解釋，以強(qiáng)化學(xué)生的理解.由于數(shù)字特征在日常生活中的應(yīng)用越來越廣泛，學(xué)生需要從多個角度理解，教師要避免單一情境帶來的固化思維，提供豐富的情境開闊學(xué)生視域，重視情境對概念辨析的促進(jìn)作用，以促進(jìn)學(xué)生全方位地掌握知識.

5.3 捋清樣本總體關(guān)系，增強(qiáng)統(tǒng)計(jì)推斷思維

運(yùn)用樣本數(shù)據(jù)推斷總體的思想方法已成為大數(shù)據(jù)時代的一種普遍使用且強(qiáng)有力的思維方式.由于描述樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征并不是總體真正的數(shù)字特征，而是對總體特征的一個合理估計(jì)，這就需要學(xué)生在學(xué)習(xí)中漸次上升到推斷性思維上.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在統(tǒng)計(jì)推斷中分不清樣本和總體數(shù)字特征的概念，將二者互相混淆，使統(tǒng)計(jì)推斷的方式方法在實(shí)際運(yùn)用中扁平化、單一化和刻板化.因此，教師要在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中全程滲透推斷性思維，捋清樣本、總體和數(shù)字特征等概念的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生在適宜的生活背景中整體地感悟這些概念，直觀、清晰地識別和選取信息，以確保在問題解決時能夠正確規(guī)劃步驟、完成樣本推斷總體數(shù)字特征的建構(gòu)與分析.

5.4 強(qiáng)化問題解決意識，發(fā)展統(tǒng)計(jì)應(yīng)用能力

數(shù)字特征是分析和推斷數(shù)據(jù)的重要工具和手段，可以直觀、清晰地刻畫數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出的一些特點(diǎn)，在實(shí)際問題中，統(tǒng)籌運(yùn)用數(shù)字特征的能力就十分關(guān)鍵和重要.調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生靈活選擇和運(yùn)用數(shù)字特征的能力不足，原因在于實(shí)踐訓(xùn)練不夠，數(shù)字特征運(yùn)用意識不強(qiáng)，教師在教學(xué)中過多地糾結(jié)于點(diǎn)位講解、局部代入和應(yīng)用，沒有與最接地氣的現(xiàn)實(shí)問題相扣，導(dǎo)致學(xué)生在問題解決中不會將知識帶入到情境，過分依靠直覺作答.因此，教學(xué)要回歸到現(xiàn)實(shí)，用更多的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思維去分析與解決迫切的現(xiàn)實(shí)問題，在真實(shí)和豐富的情境中讓知識發(fā)揮真正價值，目的是了解數(shù)字特征靈活的選用規(guī)律和透過表面所展現(xiàn)出的本質(zhì)屬性，以此鍛煉結(jié)合多種數(shù)字特征全方位地認(rèn)識事物、刻畫事物的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng).