概念是怎樣開(kāi)花的
——以“一次函數(shù)”為例

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹(shù)人學(xué)校 劉密貴

概念是數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)的起點(diǎn).在初中數(shù)學(xué)的課型中，概念教學(xué)往往難度較大.如何突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)呢？

卜以樓老師指出，數(shù)學(xué)概念教學(xué)，要重視概念的生長(zhǎng)過(guò)程，生長(zhǎng)過(guò)程源于概念產(chǎn)生的事實(shí)背景.所以，教師要選擇適切的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生親歷建立數(shù)學(xué)概念的思維之路，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念形成、生長(zhǎng)之魅力[1].

受此啟迪，筆者以蘇科版八年級(jí)上冊(cè)“ 一次函數(shù)(第1課時(shí))”為例，進(jìn)行了實(shí)踐和思考.

1定位與設(shè)計(jì)

1.1 教學(xué)內(nèi)容

在初中階段，學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，這三種函數(shù)都是基于代數(shù)式的結(jié)構(gòu)來(lái)定義的.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出“教師應(yīng)把握數(shù)與式的整體性”[2]，這個(gè)整體性完全可以延伸到函數(shù)的教學(xué)中.

筆者將本節(jié)內(nèi)容設(shè)置為“舉出不同的函數(shù)實(shí)例，根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)初步認(rèn)識(shí)不同種類(lèi)的函數(shù)；初步認(rèn)識(shí)一次函數(shù)(正比例函數(shù))”，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀的角度鳥(niǎo)瞰初中階段的函數(shù)全貌.

1.2 主問(wèn)題串設(shè)計(jì)

(1)你能發(fā)現(xiàn)身邊的函數(shù)嗎？

(2)你能找到結(jié)構(gòu)不同的函數(shù)嗎？

(3)根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，將以上函數(shù)分類(lèi).

(4)哪些函數(shù)是一次函數(shù)(正比例函數(shù))？

2 實(shí)踐與說(shuō)明

2.1 身邊的函數(shù)

問(wèn)題1我們班共29人，有1位同學(xué)缺勤，實(shí)到28人.這里其實(shí)就蘊(yùn)涵著函數(shù)關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

師生活動(dòng)：

生1：如果缺勤的同學(xué)有x人，實(shí)到y(tǒng)人，那么①y=29-x.

師：y是x的函數(shù)嗎？為什么？

生2：是的，因?yàn)閷?duì)x的每個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng).

師：很好！另外，該函數(shù)源于實(shí)際，還應(yīng)確定自變量的取值范圍，這里的x可以取哪些值呢？

生3：x是一個(gè)正整數(shù)，并且1≤x≤29.

說(shuō)明：該實(shí)例是貼近學(xué)生實(shí)際的一次函數(shù)，學(xué)生容易理解和接受.一次函數(shù)是函數(shù)的外延，從實(shí)例出發(fā)，感受實(shí)例中函數(shù)的特征是形成概念的必經(jīng)之路.

問(wèn)題2我們的身邊有形形色色的函數(shù)，你能再舉出一個(gè)函數(shù)的實(shí)例嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生舉出函數(shù)的實(shí)例，并說(shuō)出表達(dá)式，老師板書(shū)并引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考.

生4：一個(gè)水池原來(lái)有水50 m3，如果放水速度是5 m3/h，且放水xh后還有ym3.那么②y=50-5x.

生5：汽車(chē)油箱里有40 L汽油，行駛過(guò)程中每小時(shí)耗油2 L，如果行駛xh后油箱里剩余yL油，那么③y=40-2x.

師：請(qǐng)看①～③式，怎么感覺(jué)它們非常像？

生6：它們都是一個(gè)總量減去x的倍數(shù).

師：難怪這么像，結(jié)構(gòu)都一樣！那么大家能舉出和它們結(jié)構(gòu)不同的函數(shù)嗎？

說(shuō)明：教師沒(méi)有給出材料而是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，這樣做是為了真實(shí)呈現(xiàn)學(xué)生的理解水平.看到學(xué)生舉例的辦法是換情境，教師指出以上函數(shù)的“同”，引發(fā)學(xué)生對(duì)“不同”的追索.

2.2 不同的函數(shù)表達(dá)式

問(wèn)題3繼續(xù)舉出函數(shù)的實(shí)例，要求函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)與以上不同.

師生活動(dòng)：學(xué)生舉例，老師板書(shū)并引導(dǎo)生思考.

生7：一顆小樹(shù)高60 cm，假設(shè)它每年長(zhǎng)高10 cm，如果x年后小樹(shù)高為ycm，那么④y=60+10x.

師：哦，有變化了！從“減”到“加”了！不過(guò)它們的結(jié)構(gòu)仍可以看作是相同的，大家試著從代數(shù)式的類(lèi)型來(lái)看一看.

生8：29-x，50-25x，40-2x，60+10x都是多項(xiàng)式，并且都是一次二項(xiàng)式.

師：有沒(méi)有函數(shù)的表達(dá)式不是一次二項(xiàng)式呢？

(課堂陷入了沉默中.)

師：想不出來(lái)不著急，我們一起來(lái)看個(gè)例子.(教師畫(huà)出兩個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形.)

師：第1個(gè)正方形，若y是它的周長(zhǎng)，那么……

生：⑤y=4x.

師：在第2個(gè)正方形中，若y是它的……

生：若y是它的面積，那么⑥y=x2.

看到不同的代數(shù)式了嗎？再想一想，試一試.

說(shuō)明：什么是表達(dá)式的結(jié)構(gòu)？學(xué)生剛開(kāi)始的認(rèn)識(shí)比較模糊，通過(guò)教師指明“代數(shù)式的類(lèi)型”，學(xué)生對(duì)“結(jié)構(gòu)”的認(rèn)識(shí)開(kāi)始明晰.由于生活經(jīng)驗(yàn)不足，學(xué)生很難想到不同的實(shí)例.教師的舉例讓學(xué)生轉(zhuǎn)變視角，從單薄的生活現(xiàn)實(shí)回歸到熟悉的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中.

生9：一個(gè)棱長(zhǎng)為x的正方體，它的體積是y，那么⑦y=x3.

師：大家很棒！以上例子幾乎已經(jīng)涵蓋了初中階段所有可能出現(xiàn)的函數(shù).

2.3 不同種類(lèi)的函數(shù)

問(wèn)題4觀察我們剛才寫(xiě)出的10個(gè)函數(shù)，根據(jù)代數(shù)式的類(lèi)型，你能給它們分類(lèi)并命名嗎？

①y=29-x； ②y=50-25x；

③y=40-2x； ④y=60+10x；

⑤y=4x； ⑥y=x2；

師生活動(dòng)：教師請(qǐng)學(xué)生在黑板上寫(xiě)出代數(shù)式的分類(lèi)圖(圖1)，學(xué)生自行嘗試.教師巡視發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生能依據(jù)代數(shù)式類(lèi)型對(duì)10個(gè)函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單分類(lèi)，少數(shù)學(xué)生能類(lèi)比圖1畫(huà)出圖2.

圖1

圖2

學(xué)生普遍認(rèn)為⑩是分式函數(shù)，⑧⑨是無(wú)理函數(shù)，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為⑤～⑦是單項(xiàng)式函數(shù)，①～④都是多項(xiàng)式函數(shù).在此基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)行了如下討論.

討論1：

生13：剛才我們說(shuō)①～④都中代數(shù)式都是一次二項(xiàng)式，整式既有項(xiàng)數(shù)(單項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)是1)又有次數(shù)，所以只根據(jù)項(xiàng)數(shù)分類(lèi)是不全面的，還可以按式子的次數(shù)分類(lèi)，比如①～⑤都是一次函數(shù)，⑥是二次函數(shù)，⑦是三次函數(shù).

生14：還可以根據(jù)次數(shù)、項(xiàng)數(shù)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)交叉分類(lèi)，比如⑤是一次一項(xiàng)函數(shù)，①～④都是一次二項(xiàng)函數(shù)，⑥是二次一項(xiàng)函數(shù).

討論2：

師：發(fā)現(xiàn)得好！這告訴我們，將表達(dá)式化簡(jiǎn)到底，才能看到它的真面目.

綜上，可將函數(shù)①～⑧的歸類(lèi)整理成下表1.

表1

說(shuō)明：這個(gè)環(huán)節(jié)中還隱藏著一個(gè)問(wèn)題，那就是對(duì)整式函數(shù)的劃分，項(xiàng)數(shù)和次數(shù)哪個(gè)更重要.

2.4 一次函數(shù)

師生活動(dòng)：通過(guò)閱讀補(bǔ)充材料，學(xué)生知道正比例函數(shù)的命名來(lái)自小學(xué)階段“正比例關(guān)系”.在定義的基礎(chǔ)上，學(xué)生體會(huì)兩種函數(shù)的關(guān)系，并舉出一些不同的一次函數(shù)例子.

問(wèn)題5正比例函數(shù)和一次函數(shù)二者之間有什么關(guān)系？我們學(xué)習(xí)過(guò)類(lèi)似的關(guān)系嗎？

生16：正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

生17：像這樣的特殊與一般的關(guān)系還有很多，比如，正方形是特殊的長(zhǎng)方形，整數(shù)是特殊的有理數(shù)，有理數(shù)是特殊的實(shí)數(shù)……

問(wèn)題6我們已經(jīng)舉了很多一次函數(shù)的例子，你覺(jué)得一次函數(shù)能舉得完嗎？

生18：舉不完.因?yàn)橄禂?shù)、常數(shù)是無(wú)窮無(wú)盡的.

師：可以用什么代表無(wú)窮無(wú)盡、千變?nèi)f化呢？

生：字母！

師：對(duì)，字母表示數(shù)！誰(shuí)來(lái)試試看？

生19：y=ax+b(a，b為常數(shù)，a≠0).(括號(hào)是在其他學(xué)生提示下加的.)

師：由于正比例函數(shù)中的自變量系數(shù)又叫做比例系數(shù)，常用k表示.于是約定：

定義2一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y=kx(k為常數(shù)，k≠0))，y叫做x的正比例函數(shù).

例1表2中，y是x的一次函數(shù)嗎？是正比例函數(shù)嗎？如果是，指出k和b的值；如果不是，指出函數(shù)的類(lèi)型.

表2

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)要先把一次函數(shù)寫(xiě)成一般形式后再確定k和b的值.

例2已知一次函數(shù)y=-2x+3.

(1)當(dāng)x為何值時(shí)，y=0？

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，y>2？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)y的值確定時(shí)，實(shí)際上得到了關(guān)于x的一元一次方程、一元一次不等式，學(xué)生初步體會(huì)方程、不等式、函數(shù)之間是可以互相轉(zhuǎn)化的.

2.5 結(jié)語(yǔ)

師：今天這節(jié)課拉開(kāi)了豐富多彩的函數(shù)世界的帷幕，我們會(huì)從一次函數(shù)開(kāi)始踏上認(rèn)識(shí)函數(shù)、理解函數(shù)、應(yīng)用函數(shù)的征程.

3 反思與提煉

數(shù)學(xué)概念不但是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)，還是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的載體，為培養(yǎng)學(xué)生“三會(huì)”提供了得天獨(dú)厚的思維平臺(tái).概念教學(xué)不僅是教學(xué)任務(wù)，還是教學(xué)機(jī)遇.

3.1 概念形成需要多元化的實(shí)例——真

概念的形成常始于從實(shí)例抽象，而限于篇幅，教材中往往給出的都是符合概念的完美例子.在概念教學(xué)中，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生舉出多元化的例子，學(xué)生在對(duì)比和沖突中自發(fā)摒棄不完美的例子，從而聚焦于完美例子，是概念形成的最好的模樣.事實(shí)上，這指向了學(xué)生概念學(xué)習(xí)的一個(gè)重要要素——“真”.

3.2 概念形成要回歸到概念體系中去——貫與破

數(shù)學(xué)概念之間有嚴(yán)密、精確的關(guān)聯(lián)，任何一個(gè)概念總是概念體系中的一點(diǎn)，它們不是孤立、憑空而生的，新概念的形成往往既有“一以貫之”(合理性)，又有“破而后立”(必要性).

“貫”是內(nèi)部和諧，“破”是外部需求，回到概念體系中認(rèn)識(shí)貫與破，恰是概念教學(xué)的核心任務(wù).

“貫”是繼承，“破”是創(chuàng)造，其實(shí)哪個(gè)概念的形成不是貫與破的共舞呢！

3.3 概念形成不妨兼顧周邊概念——窮

函數(shù)的外延不止有一次函數(shù)，還有反比例函數(shù)、二次函數(shù)等.在學(xué)習(xí)一次函數(shù)概念時(shí)，由于出現(xiàn)了不同類(lèi)型的實(shí)例，因此完全可以順勢(shì)而為，窮盡不同的同級(jí)概念.本節(jié)課中，同級(jí)概念的提出，不但無(wú)損于一次函數(shù)概念的形成，反而通過(guò)對(duì)比強(qiáng)化了彼此的理解.

在概念形成的過(guò)程中，“真”是土壤，“窮”是花園，“貫、破”是陽(yáng)光雨露，萌發(fā)的是學(xué)生思維之芽，綻放的是學(xué)生思維之花，結(jié)出的是學(xué)生思維之果，而教師在這個(gè)生長(zhǎng)過(guò)程中，只需培土、澆水、維護(hù)，是一個(gè)護(hù)花使者.

進(jìn)一步看，“真”指向以生為本的人文教育觀念，“貫、破”指向數(shù)學(xué)教學(xué)特有的結(jié)構(gòu)意識(shí)，為教學(xué)提供了生長(zhǎng)視角，“窮”指向無(wú)限可能的生長(zhǎng)課堂.

概念是這樣開(kāi)花的，開(kāi)花的不止是概念，還有學(xué)生思考的心靈.