基于分?jǐn)?shù)階PID機(jī)器人自動(dòng)行駛誤差分析*

彭 琳，唐德文※，陳 鋼

（1.南華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖南衡陽(yáng) 421001；2.核設(shè)施應(yīng)急安全技術(shù)與裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南衡陽(yáng) 421001）

0 引言

近年來(lái)隨著電動(dòng)輪小機(jī)器人的發(fā)展，采用電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)車(chē)輪的方式也越來(lái)越普遍，這種方式具有較高的傳動(dòng)效率，便于獨(dú)立控制且響應(yīng)迅速等優(yōu)點(diǎn)，非常有利于動(dòng)力學(xué)控制。更適合未來(lái)的小機(jī)器人往智能及環(huán)?；l(fā)展[1]。與此同時(shí)，小型輪式機(jī)器人的直線行走PID控制技術(shù)在自動(dòng)控制領(lǐng)域已經(jīng)有了長(zhǎng)足的發(fā)展，取得了巨大的進(jìn)步[2]。

目前，針對(duì)自動(dòng)行走的控制問(wèn)題，科研工作者基于經(jīng)典及現(xiàn)代控制理論已經(jīng)提出多種控制方法，使用這些方法以減小自動(dòng)行走的誤差，Ossama Mokhiamar 與Masato Abel[3]研究了車(chē)輛運(yùn)動(dòng)時(shí)車(chē)輪縱向和側(cè)向合力的最優(yōu)分布，改善了側(cè)向加速度和橫擺角速度的響應(yīng)速度，得出了性能加權(quán)函數(shù)能對(duì)車(chē)輛運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。E Esmailzadeh 等[4]建立了二自由度的車(chē)輛模型，該模型以橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角作為狀態(tài)變量。以橫擺力矩為最優(yōu)控制系統(tǒng)求出了其與車(chē)輛狀態(tài)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，并研究了不同參數(shù)對(duì)控制效果的影響。北京理工大學(xué)的舒進(jìn)、陳思忠等[5]應(yīng)用物理學(xué)知識(shí)、理論力學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出了在進(jìn)行側(cè)向和橫擺兩種運(yùn)動(dòng)時(shí)的二自由度方程。并推導(dǎo)出了前輪偏角與橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角之間的傳遞函數(shù)。

以上研究對(duì)輪式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)誤差分析取得了良好效果，但在復(fù)雜工況下輪式機(jī)器人受橫向和側(cè)向的信號(hào)干擾，采用常規(guī)的PID 控制系統(tǒng)，輪式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)的橫擺角速度與質(zhì)心側(cè)偏角這兩個(gè)不同的變量雖可以同時(shí)得到控制，但其控制的精度仍然不夠精細(xì)[6-7]。為此，本文提出一種采用分?jǐn)?shù)階PID 的控制策略，建立基于分?jǐn)?shù)階PID 橫擺角控制系統(tǒng)的仿真模型，分析輪式機(jī)器人在不同工況下運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度、角加速度、位移等，使輪式機(jī)器人可在復(fù)雜環(huán)境下運(yùn)動(dòng)可控，極大地提高了機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性。

1 動(dòng)力學(xué)模型

基于不同的考慮因素，可有針對(duì)性地選擇不同的自由度來(lái)分析機(jī)器人行駛系統(tǒng)中的不同問(wèn)題[8]。然而自由度過(guò)高會(huì)導(dǎo)致建立的運(yùn)動(dòng)模型過(guò)于復(fù)雜，不利于運(yùn)動(dòng)微分方程的建立，故本文采用兩自由的機(jī)器小車(chē)模型，在兩自由度的模型下，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生不同的橫擺角速度，轉(zhuǎn)向控制器將實(shí)際橫擺角速度與理想橫擺角速度的差值作為輸入，在傳統(tǒng)PID 控制理論上加入分?jǐn)?shù)階控制理論，使其在整數(shù)階控制的基礎(chǔ)上增加了積分階次和微分階次兩個(gè)可變的參數(shù)，使得參數(shù)設(shè)置更加精確細(xì)致。如圖1所示。

圖1 兩自由度小車(chē)運(yùn)動(dòng)模型

機(jī)器人輪式行走機(jī)構(gòu)幾何中心點(diǎn)O的位置和姿態(tài)，對(duì)式（1）積分，則有：

式中：VL為左輪速度；VR為右輪速度；B為軸距；θ為運(yùn)動(dòng)方向與X軸夾角。

式中：（x0,y0,θ0）為機(jī)器人幾何中心點(diǎn)O在t=0 的時(shí)刻的位置姿態(tài)；（x,y,θ）為機(jī)器人幾何中心點(diǎn)O當(dāng)前的位置與方向。

故機(jī)器人行走機(jī)構(gòu)的線速度和角速度可以表示為：

式中：v為線速度；θ˙為角速度。

在確定輪式機(jī)器人的基本結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)控制機(jī)器人兩側(cè)的永磁同步電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速來(lái)控制機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)控制機(jī)器人線速度、轉(zhuǎn)向角速度、轉(zhuǎn)向角度等[9-11]。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力如圖2所示。

圖2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)受力

式中：αf為左輪側(cè)偏角；αf為右輪側(cè)偏角；Lf為左輪到質(zhì)心的距離；Lr為右輪到質(zhì)心的距離；ωr為橫擺角速度；δf為左輪轉(zhuǎn)角；δr為右輪轉(zhuǎn)角。

可以得到機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

2 分?jǐn)?shù)階PID控制參數(shù)的確定

分?jǐn)?shù)階PID 控制原理實(shí)際是用分?jǐn)?shù)階環(huán)節(jié)替代傳統(tǒng)的PID 控制器的比例環(huán)節(jié)，優(yōu)化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，使得整個(gè)控制模型在PID 控制的優(yōu)點(diǎn)上，有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能和擾動(dòng)抑制能力。在本文的研究中，首先預(yù)設(shè)一個(gè)理想橫擺角速度模型，再將分?jǐn)?shù)階PID 控制器控制下的機(jī)器人實(shí)際橫擺角速度與理想橫擺角速度的值做差，再將實(shí)際值與理想值相疊加，最后將疊加值作為輸入，反饋回分?jǐn)?shù)階PID 控制器，由控制器的輸出反饋給機(jī)器人，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人質(zhì)心側(cè)偏角、橫擺角速度和側(cè)向加速度及側(cè)向位移的控制[12-13]，如圖3所示。

圖3 機(jī)器人控制系統(tǒng)原理

因?yàn)镻IλDμ控制器是分?jǐn)?shù)階PID 控制的核心，所以首先建立PIλDμ控制器。PIλDμ控制器的控制時(shí)域表達(dá)式為：

式中：λ為控制器積分項(xiàng)的階次；μ為控制器微分項(xiàng)的階次；KP為比例系數(shù)；KI為積分系數(shù)；KD為微分系數(shù)。

對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得到分?jǐn)?shù)階PID 控制器的傳遞函數(shù)：

分?jǐn)?shù)階PID 控制器中的閉環(huán)控制系統(tǒng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)將決定其參數(shù)的整定，為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)過(guò)程，需要推導(dǎo)出實(shí)際和理想橫擺角速度的傳遞函數(shù)。而上文推導(dǎo)的機(jī)器人輪式行走機(jī)構(gòu)二自由度的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程恰恰可以得出橫擺角速度與兩輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系。由此，對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換可得橫擺角速度對(duì)后輪轉(zhuǎn)角的傳遞函數(shù)：

式中：σ為穩(wěn)定度；ζ為阻尼比。

考慮到ζ搜索范圍對(duì)系統(tǒng)性能的影響并不大，所以ζ的取值不需要特別精確，選取ζ=0.5。設(shè)定[0.4，5]為σ的范圍，設(shè)定0.1為系統(tǒng)的步長(zhǎng)。確定σ值的原則是系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的時(shí)間平方加權(quán)誤差平方積分最小。此時(shí)如果系統(tǒng)始終保持穩(wěn)定，則代表σ的值可行，系統(tǒng)穩(wěn)定后便可以由此來(lái)確定極點(diǎn)。若系統(tǒng)無(wú)法保持穩(wěn)定，則需要KP的值不斷調(diào)整優(yōu)化，直到系統(tǒng)穩(wěn)定。在確定完極點(diǎn)和比例系數(shù)后，再用相同的方法整定其他的控制參數(shù)。

（3）確定λ、μ第i次搜索范圍i∈[1,4]。當(dāng)i=1時(shí)，μ∈[0.1，1]、λ∈[0.1，1]，取 步 長(zhǎng)Δi= 0.01；i＞1，μ∈[max（Δi,μi-1-2μi-1），（μi-1+2μi-1）]，λ ∈[max（Δi，λi-1-2λi-1），（λi-1+2λi-1）]，Δi=Δi-1/10

（4）隨著5 個(gè)參數(shù)的值第i次確定完。使用得出的5個(gè)參數(shù)完成特征方程的構(gòu)建，若4 個(gè)指標(biāo)均能滿足控制系統(tǒng)的要求，則表示完成了參數(shù)整定的過(guò)程；若仍有指標(biāo)無(wú)法滿足系統(tǒng)的控制要求，則要重新選取最接近指標(biāo)的λi、μi值，并使其在原有基礎(chǔ)上累加，重復(fù)上述步驟；若i＞4后仍不滿足，則需重新確定5個(gè)參數(shù)，然后重復(fù)上述方法。

在確定完λ、μ值后，使用分?jǐn)?shù)階PID 控制系統(tǒng)的Outaloup[14]近似求解法，該近似求解的算法原理是對(duì)G（s）=(s/ωn)α傳遞函數(shù)取近似值，并通過(guò)構(gòu)建濾波器來(lái)最終實(shí)現(xiàn)微積分近似求解，由于分?jǐn)?shù)階微積分的計(jì)算不能在實(shí)際應(yīng)用中直接實(shí)現(xiàn)，而分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的核心就是微積分算子sα的有理化，解出控制系統(tǒng)控制器的積分項(xiàng)和微分項(xiàng)，即：sλ=G1（s）、sμ=G2（s）。在構(gòu)建濾波器求解時(shí)，只考慮頻率段（φb,ωh）[15]，其中，φbωh=1。該頻率段為中間頻率段，在該頻率段可以構(gòu)建出連續(xù)濾波器的傳遞函數(shù)為：

由MATLAB/Simulink 軟件實(shí)現(xiàn)濾波器的設(shè)計(jì)，濾波器的N值決定其精度，當(dāng)N值越大，控制精度就會(huì)越高，但往往計(jì)算也會(huì)更加復(fù)雜，控制信號(hào)經(jīng)由濾波器實(shí)現(xiàn)α階的微積分計(jì)算，就能實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階PID的控制效果。

3 基于MATLAB/Simulink 仿真

仿真采用的模型參數(shù)如表2所示。

表2 仿真模型參數(shù)

為了便于仿真，接下來(lái)的仿真實(shí)驗(yàn)選擇對(duì)車(chē)輪轉(zhuǎn)角階躍輸入進(jìn)行分析，進(jìn)而來(lái)分析輪式機(jī)器人的行駛穩(wěn)定性[16]。取機(jī)器人行駛速度為0.8 m/s，取行駛時(shí)的階躍信號(hào)幅值為0.1 rad。建立MATLAB/Simulink 仿真模型，如圖4～5所示。輸入相應(yīng)的仿真參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，隨后得到橫擺角速度、側(cè)向加速度、質(zhì)心側(cè)偏角、側(cè)向位移4 個(gè)物理量的響應(yīng)曲線。將在分?jǐn)?shù)階PID 控制下得到的仿真響應(yīng)曲線與PID控制下的行駛數(shù)據(jù)仿真曲線相對(duì)比。

圖4 PID控制系統(tǒng)仿真模型

圖5 分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)仿真模型

仿真相應(yīng)對(duì)比曲線如圖6～9所示。由圖6～7可以看出，分?jǐn)?shù)階PID 控制的自動(dòng)行駛系統(tǒng)的橫擺角速度達(dá)到穩(wěn)定值的響應(yīng)時(shí)間比PID 控制下所需要的時(shí)間更短，機(jī)器人的橫擺角速度降低了23.6%，側(cè)向加速度降低了22.1%，機(jī)器人的行駛穩(wěn)定性和循跡能力得到了明顯提高。

圖6 橫擺角速度的響應(yīng)曲線

圖7 側(cè)向加速度的響應(yīng)曲線

由圖8 可以看出，分?jǐn)?shù)階PID 控制的自動(dòng)行駛系統(tǒng)下機(jī)器人的質(zhì)心側(cè)偏角在經(jīng)歷2 s左右的波動(dòng)之后基本保持為0，不論是響應(yīng)時(shí)間還是側(cè)偏角超調(diào)量都要小于PID控制，側(cè)偏角超調(diào)量更是降低了71.4%明顯提高了機(jī)器人在行駛時(shí)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。

圖8 質(zhì)心側(cè)偏角的響應(yīng)曲線

由圖9可以看出，在同樣的行駛距離下，分?jǐn)?shù)階PID控制的自動(dòng)行駛系統(tǒng)下機(jī)器人的側(cè)向偏移量明顯比PID控制下的機(jī)器人降低了29.5%，提高了機(jī)器人保持直線行駛的能力，改善了控制的精確性。

圖9 側(cè)向位移的響應(yīng)曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)常規(guī)PID 控制精度不夠的情況，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PID 控制策略，構(gòu)建了基于分?jǐn)?shù)階PID 橫擺角控制系統(tǒng)的仿真模型并采用MATLAB/Simulink 聯(lián)合仿真對(duì)控制效果進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并將仿真結(jié)果與PID 控制仿真結(jié)果相比較，主要結(jié)論如下。

（1）與PID 控制相比，使用分?jǐn)?shù)階PID 控制的機(jī)器人自動(dòng)行走時(shí)的橫擺角速度降低了23.6%，側(cè)向加速度降低了22.1%，機(jī)器人行走時(shí)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性有很大改善。

（2）與PID 控制相比，采用分?jǐn)?shù)階PID 控制的自動(dòng)行駛機(jī)器人的質(zhì)心側(cè)偏角也比PID 控制時(shí)降低了71.4%，可以得到更加優(yōu)越的控制效果。

（3）分?jǐn)?shù)階PID 控制時(shí)機(jī)器人側(cè)向位移的位移量相比于PID 控制降低了29.5%。故在使用分?jǐn)?shù)階PID 控制方法作為控制策略時(shí)，機(jī)器人擁有更優(yōu)越的控制效果，提升了小型輪式機(jī)器人的行駛穩(wěn)定性。