音速噴嘴一元流動模型詳解及其激波計算

沈昱明, 田 童

(上海理工大學,上海 200093)

1 引 言

文丘里音速噴嘴(以下簡稱噴嘴,或CFVN),作為傳遞基準或工作基準,常用于對氣體流量計的標定或計量、校準。音速噴嘴的臨界背壓比,或最大允許下游壓力一般通過實驗方法確定[1]。文獻[2]討論了最大背壓比(maximum back pressure ratio,MBPR)與噴嘴的幾何尺寸、雷諾數(shù)和氣體參數(shù)的影響,并用A14噴嘴進行了實驗；文獻[3]使用CFD數(shù)值模擬討論了音速噴嘴下游管路對臨界背壓比和流出系數(shù)的影響,發(fā)現(xiàn)在噴嘴的擴散段出現(xiàn)激波現(xiàn)象；文獻[4]采用實驗方法研究了提高臨界背壓比的方法；文獻[5]從一元等熵流動理論出發(fā),證明了音速噴嘴的臨界流流量公式,但其證明過程存在瑕疵；文獻[6]對一種二維長方形噴管進行了實驗研究,以確定噴管擴散段中產(chǎn)生的激波參數(shù)。

本文從一元等熵流動理論出發(fā),從數(shù)學上推導了:當噴嘴達到臨界背壓比時,噴嘴喉部(最小截面處)的流速為當?shù)匾羲?質(zhì)量流量達到最大值。推導過程彌補了文獻[5]的瑕疵。詳細闡述了臨界壓比、臨界背壓比,以及出口壓力和背壓的關(guān)系,并給出了相應的一元等熵流動理論計算模型。詳細推導了實際條件下音速噴嘴的質(zhì)量流量公式。本文還從氣體動力學基本方程出發(fā),討論了噴嘴擴散段產(chǎn)生激波的機理,并作了詳細計算,包括激波產(chǎn)生的位置、激波前、后的馬赫數(shù)和壓力;采用數(shù)值模擬方法和文獻[6]提供的實驗數(shù)據(jù),對計算結(jié)果進行了驗證。從計算和實驗結(jié)果知,在較大背壓比范圍內(nèi),音速噴嘴擴散段將產(chǎn)生激波,并伴隨產(chǎn)生壓力波動。當噴嘴工作在設(shè)計條件時,噴嘴內(nèi)部不產(chǎn)生激波,這時音速噴嘴達到穩(wěn)定的工作狀態(tài)。

2 音速噴嘴的一元等熵流動模型

2.1 臨界流證明

當背壓足夠小時,通過噴嘴的質(zhì)量流量達到最大值;噴嘴喉部達到臨界流速,即音速。文獻[5]的證明流量公式僅在噴嘴喉部,失去了一般意義。

設(shè)氣體為完全氣體,或稱為理想氣體,則理想氣體在噴嘴中作一元等熵定常流動時,經(jīng)過噴嘴的質(zhì)量流量qm和噴嘴任意截面上的流速c分別為:

(1)

(2)

(3)

式(3)說明:當達到臨界壓比γ*時,式(1)取得最大值,p*為臨界壓力。

將式(3)代入式(2),得到臨界流速為:

(4)

2.2 一元等熵流動方程

無論是否達到臨界流,對于理想氣體一元等熵定常流動而言有式(5)所示關(guān)系(產(chǎn)生激波除外)。

(5)

式中:ρ為噴嘴任意截面上的氣體密度;T為氣體絕對溫度;R為氣體常數(shù)。未知量為p、ρ、c、T,因此式(5)所示方程組封閉。

產(chǎn)生激波后,熵增加,滯止壓力減小,但總能量保持不變。激波后的滯止壓力p0d與激波前噴嘴上游滯止壓力p0u(即p0)的關(guān)系在第5.2節(jié)討論。激波前后的滯止溫度不變,即T0=T0d。激波后仍滿足等熵流動,故將p0d、T0d、ρ0d代入(5)式,即可計算激波后的流動參數(shù)。

3 實際條件下的質(zhì)量流量公式

3.1 ISO 9300中流量公式

ISO 9300標準中,理想氣體和實際條件(real conditions)下氣體的最大質(zhì)量流量分別為[1]:

(6)

(7)

3.2 公式推導

根據(jù)連續(xù)性方程,流過噴嘴的質(zhì)量流量為:

qm=Aρc

(8)

考慮實際條件,通過引入壓縮性系數(shù)Z對完全氣體狀態(tài)方程進行修正[1,7]:

p=ZρRT

(9)

將式(9)代入式(8),得到:

假設(shè)喉部達到音速,即Mant=1。引入Cd’(考慮粘性等非理想氣體因素影響)和C*(考慮實際氣體種類的影響,取代C*i),得到實際條件下氣體的最大質(zhì)量流量為:

(10)

4 臨界壓比與背壓比

4.1 定義

ISO 9300的2.48和2.49條分別定義了臨界壓比和背壓比(back-pressure ratio,BPR)。其中,臨界壓比γ*是指當經(jīng)過噴嘴的氣體質(zhì)量流量達到最大值時,噴嘴喉部靜壓力與噴嘴滯止壓力之比[1],由式(3)計算得到。對于空氣等雙原子氣體,γ*=0.528 3。背壓比是指噴嘴出口靜壓力與噴嘴上游滯止壓力之比[1]:

(11)

式中:pe為噴嘴出口斷面上的氣體壓力;Mae為出口斷面上的馬赫數(shù)。

當噴嘴出口氣流達到超音速時,稱為設(shè)計條件[8～12]。當背壓比高于設(shè)計條件時,pe=pb;而當背壓比低于設(shè)計條件時,pb

4.2 最大背壓比

第2節(jié)已證明,當噴嘴剛好達到臨界條件時,噴嘴喉部達到音速,流過噴嘴的氣體質(zhì)量流量達到最大值,此時的背壓比即稱為最大背壓比(maximum back pressure ratio,MBPR)[2];ISO 9300則稱為最大允許下游壓力(maximum permissible downstream pressure)[1],其含義與MBPR是一致的。而文獻[4]則稱其為臨界背壓比(critical back pressure ratio,CBPR)。無論是MBPR還是CBPR,均是指噴嘴背壓與噴嘴上游滯止壓力之比;臨界背壓比≠臨界壓比,不能使用式(3)計算。由于臨界背壓比容易與臨界壓比相混淆,故本文采用MBPR的表述。

ISO 9300給出了最大允許下游壓力MBPR的計算公式(Re>2×105)為[1]:

(12)

當噴嘴喉部達到音速時,出口界面上的馬赫數(shù)Ma2僅與噴嘴面積比有關(guān),由式(13)計算。

(13)

圖1 文丘里音速噴嘴的RmbpFig.1 MBPR for CFVN

5 激波產(chǎn)生機理與計算

5.1 空氣動力學工作機理

為了便于驗證,本文采用文獻[2]中A14噴嘴進行討論。噴嘴的結(jié)構(gòu)參數(shù)為[2]:喉部直徑d=0.8 mm,擴散段長度l=8.4d,擴散段半角θ=2.5°。

圖2 文丘里噴嘴的壓力、馬赫數(shù)曲線Fig.2 Pressure and Mach number curve for CFVN

當背壓比進一步降低,直至在喉部剛好產(chǎn)生臨界流,如圖2中③所示。這時,pe=pb,擴散段仍全部為亞音速。

繼續(xù)降低背壓,如圖2(a)中④、⑤所示,這時仍然滿足pe=pb。但是,這種情況下,在噴嘴的擴散段中的某處產(chǎn)生激波。這時,連接喉部的擴散段一部分為超音速,一部分為亞音速;壓力出現(xiàn)間斷性[8～10]的突變而迅速上升,這種現(xiàn)象稱為流體過渡膨脹[10]。之后,流動仍為亞音速。噴嘴擴散段產(chǎn)生激波后,由于熵的增加,式(1)、式(2)和式(5)不適用全部噴嘴。

進一步降低背壓,如圖2中⑥所示。此時,激波剛好出現(xiàn)在出口端面上。這種情況下,擴散段內(nèi)不出現(xiàn)激波,且全部為超音速,滿足pe=pb,及滿足式(1)、式(2)和式(5)。從式(13)的解知,當喉部達到音速時,出口馬赫數(shù)Mae有2個解,分別為圖2中③和⑥所示曲線。

(14)

5.2 激波計算

假設(shè)噴嘴擴散段中產(chǎn)生的激波為正激波,且不考慮激波厚度。激波控制體(control volume,CV)如圖3所示。

圖3 噴嘴擴散段激波分析控制體Fig.3 Control volume for shock wave analysis of nozzle diffusion section

控制體CV基本方程,即:連續(xù)性方程、動量方程和熱力學第一、第二定律方程,如以下式(15)所示[9,12]。

(15)

由式(15)可導出激波前、后的壓力、溫度和馬赫數(shù)等參數(shù):

(16)

式中下標u、d分別表示激波前、后參數(shù)。

y=1.087 3x-0.058 1

(17)

圖4 激波前、后熱工參數(shù)關(guān)系圖Fig.4 Thermal parameters before and after shock

利用式(17)可以大大簡化求解激波后壓力。根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程,可以導出激波前、后的氣體密度關(guān)系式:

(18)

從圖4知:1)激波后流動一定為亞音速;2)激波后溫度高于激波產(chǎn)生前;3)激波后,壓力間斷性地急劇上升(平方關(guān)系);4)激波后的滯止壓力小于噴嘴上游滯止壓力。

6 數(shù)值模擬與實驗驗證

6.1 數(shù)值模擬驗證

以A14噴嘴為模擬對象,對其進行建模和網(wǎng)格劃分,建立二維柱坐標下的可壓縮粘性氣體的連續(xù)性方程、N-S方程、能量方程和氣體狀態(tài)方程,并引入標準k-ε模型與標準壁面函數(shù)法。[3]

在噴嘴入口條件加入p0=0.101 3 MPa的滯止壓力;噴嘴出口條件加入pb=0.051 0 MPa的背壓(同pe), 即背壓比pb/p0=0.503。 模擬得到壓力云

表1 激波前后的壓力和馬赫數(shù)Tab.1 Pressure and Ma before and after shock

圖與速度云圖如圖5所示。從圖中可以觀察到,噴嘴喉部達到0.528臨界壓比;在離喉部下游約4.5 mm區(qū)域,云圖均有突變,說明這個區(qū)域產(chǎn)生了激波。

圖5 A14噴嘴背壓比為0.503的壓力、馬赫數(shù)云圖Fig.5 Pressure and Ma at BPR is 0.503

根據(jù)數(shù)值模擬數(shù)據(jù),得到噴嘴軸線上的壓力分布如圖6所示。從模擬結(jié)果可以看到,在激波后,壓力還經(jīng)歷1次波動。圖6同時給出了一元流動理論計算結(jié)果,可以看到壓力的變化趨勢基本吻合(擴散段壓力回升段最大誤差約18%)。

圖6 A4噴嘴壓力沿軸線分布曲線數(shù)值模擬與理論計算比較(背壓比0.503)Fig.6 Simulation and theoretical value of A4 mozzle pressure distribution curvealong the aixs

6.2 實驗驗證

文獻[6]對1種二維縮放噴嘴(two-dimensional convergent-divergent nozzle)進行了實驗研究。二維縮放噴嘴是1種由幾段行線與寬度為101.3 mm的二維長方形結(jié)構(gòu)的噴嘴,噴嘴的行線如圖7所示。

圖7 實驗噴嘴的幾何結(jié)構(gòu)[6]Fig.7 Nozzle flap geometry for experiment[6]

本文針對以上二維縮放噴嘴,運用一元流動理論進行了計算,計算結(jié)果如圖8和表2所示。

表2 本文與Craig A其它實驗數(shù)據(jù)[6]比較Tab.2 Comparison between the calculated results based on 1D theory and other Craig A experimental data[6]

圖8 一元流動理論計算結(jié)果與Craig A實驗數(shù)據(jù)[6]對比Fig.8 Comparison between the calculated results based on 1D theory and Craig A experimental data

擴散段壓力回升,一元流動理論計算結(jié)果均大于數(shù)值模擬和實驗值?？赡苁且辉鲃幽Ｐ臀匆肓鲃幼枇蜌怏w邊界層影響,因此壓力計算結(jié)果高于實際值。

7 總 結(jié)

本文闡述了背壓比、臨界壓比、臨界背壓比等一些容易混淆的概念;從氣體一元流動理論出發(fā),從數(shù)學上證明并推導了實際條件下音速噴嘴的流量公式;從氣體流動的基本方程出發(fā),討論了噴嘴擴散段中產(chǎn)生激波的機理,并對激波前后參數(shù)作了計算。一元流動理論計算和數(shù)值模擬均發(fā)現(xiàn),在較大背壓比范圍內(nèi),或只要未達到設(shè)計條件,擴散段必產(chǎn)生激波,并伴隨出現(xiàn)壓力波動現(xiàn)象。由于擴散段中氣體為亞音速流,因此,這種壓力波動會向噴嘴上游傳播,對于噴嘴的質(zhì)量流量穩(wěn)定是不利的。只有當背壓比足夠小,且達到設(shè)計條件:pb<(pe)min,這時,噴嘴擴散段中全部為超音速,噴嘴出口端面壓力達到最小,且不再變化,下游側(cè)的壓力任何波動都不會向噴嘴上游傳播。實驗證明:此時,噴嘴流動參數(shù)不再有任何變化。

感謝上海理工大學黃偉民教授在論文撰寫過程中給予的指導和幫助。