秦仙蓉 徐德樺 吳 瓊 張 氫 孫遠(yuǎn)韜
同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院 上海 201804
龍門起重機(jī)是碼頭堆場中的重要設(shè)施,不僅可以改善工人的操作條件,減少勞動強(qiáng)度,還可以提高碼頭堆場的裝卸效率,保障生產(chǎn)質(zhì)量和安全性。因此,對龍門起重機(jī)的性能要求越來越嚴(yán)苛,不但需要其具備剛性好、質(zhì)量輕、作業(yè)領(lǐng)域廣等特點(diǎn),同時還要求其具有在大車、小車高速運(yùn)行下保持平穩(wěn)。工程機(jī)械中研究結(jié)構(gòu)的固有特性、靜力學(xué)和動力學(xué)響應(yīng)通常基于確定性的結(jié)構(gòu)參數(shù)、運(yùn)動參數(shù)和外載荷,但實(shí)際上由于加工和測量誤差等因素,使得材料屬性、外載荷、初始條件和結(jié)構(gòu)參數(shù)也會存在誤差和不確定性。盡管在絕大多數(shù)情況下,這種誤差和不確定性較小,但對于多種不確定性參數(shù)組成的系統(tǒng)來說,這種不確定性的集合可能會使結(jié)構(gòu)的固有屬性、靜力學(xué)和動力學(xué)響應(yīng)產(chǎn)生較大的誤差。因此,能夠較精確地估算出不確定性參數(shù)對結(jié)構(gòu)固有特性以及振動響應(yīng)的影響,對工程結(jié)構(gòu)設(shè)計具有非常重要的意義。
處理不確定性問題的方法主要有區(qū)間分析法、模糊模型法、概率法以及凸模型法等。馬梁等[1]利用區(qū)間集合模型來研究結(jié)構(gòu)不確定性的靜力學(xué)和動力學(xué)問題;在研究隨機(jī)桁架結(jié)構(gòu)的振動特性方面,Chen J J等[2]首先提出用隨機(jī)因子法求解隨機(jī)桁架問題;高偉等[3]重點(diǎn)研究了隨機(jī)剛架結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)響應(yīng)問題,基于材料參數(shù)以及結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的不確定性,理論推導(dǎo)出在平穩(wěn)隨機(jī)激勵作用下結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力響應(yīng)的不確定性,并通過具體算例討論了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、材料參數(shù)對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響;馬娟等[4,5]基于區(qū)間有限元分析理論,針對非概率以及不確定性的桁架結(jié)構(gòu)提出了一種區(qū)間因子法。
本文從建立勻速的移動載荷作用在簡支梁上的運(yùn)動微分方程出發(fā),利用振型疊加的原理求解出模態(tài)坐標(biāo)的解析表達(dá)式;再結(jié)合區(qū)間運(yùn)算法和區(qū)間因子法,導(dǎo)出在不確定性簡支梁中結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)區(qū)間變量的區(qū)間分散性與結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)(梁長、截面慣性矩)、運(yùn)動參數(shù)(速度)、物理參數(shù)(彈性模量、單位長度質(zhì)量)和外載荷區(qū)間分散性之間的關(guān)系;最后將理論結(jié)果應(yīng)用到龍門起重機(jī)主梁分析中,分析討論不確定性參數(shù)對龍門起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響。
假設(shè)幅值為pu的集中載荷p(x,t)以速度v在簡支梁上勻速移動,載荷的初始位置位于梁的左支座,如圖1所示[6],即有
圖1 移動載荷作用下的簡支梁
則梁的r階模態(tài)方程可表示為
式中:mr為簡支梁的r階模態(tài)質(zhì)量,E為彈性模量,I為截面慣性矩,t為時間,pu為移動載荷,v為移動載荷的速度,L為簡支梁的長度,r為模態(tài)階次,qr(t)為r階模態(tài)坐標(biāo)。
將式(2)做進(jìn)一步簡化,可表示為
取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),可以求得式(3)的穩(wěn)態(tài)解為
根據(jù)振型疊加法,簡支梁在移動載荷作用下的撓度可表示為
在求解出簡支梁的位移響應(yīng)之后,根據(jù)有限單元法可知任一單元e在移動載荷作用下的應(yīng)力響應(yīng)為
式中:σ(e)(t)、w(e)(x,t)分別為單元e的單元應(yīng)力列陣、節(jié)點(diǎn)位移列陣,Y(e)為單元e的應(yīng)變矩陣。
根據(jù)區(qū)間矩陣的表達(dá)方法和含義,不確定參數(shù)矩陣B可表示為
式中:B I為不確定參數(shù)區(qū)間矩陣。
不確定參數(shù)區(qū)間矩陣的均值矩陣BM以及半徑矩陣ΔB可表示為
本文中下標(biāo)M代表對應(yīng)區(qū)間變量的均值,則不確定參數(shù)區(qū)間矩陣可表示為
本文中下標(biāo)L、U分別代表對應(yīng)區(qū)間變量的下界和上界,進(jìn)而不確定參數(shù)矩陣B可寫成確定性矩陣和不確定性矩陣之和,即
將第r階模態(tài)坐標(biāo)qr(B,t),r=(1,2,…,n),在BM處展開成一階泰勒級數(shù)。
經(jīng)過區(qū)間運(yùn)算,便可得第r階模態(tài)(r=1,2,…,n)的模態(tài)坐標(biāo)區(qū)間的上界和下界分別為
對于單個區(qū)間變量來討論區(qū)間因子的表達(dá)式,設(shè)qIr=[qrL,qrU]為一區(qū)間變量,則根據(jù)式(9)可得
由此,區(qū)間因子可表示為
簡支梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的區(qū)間變量的不確定性與結(jié)構(gòu)幾何尺寸(截面慣性矩I、梁長L)、結(jié)構(gòu)物理參數(shù)(彈性模量E、單位長度的質(zhì)量ρ)、外載荷幅值(Pu)和外載荷移動速度v有關(guān)。
基于此,結(jié)合區(qū)間因子法,將上述不確定性簡支梁參數(shù)進(jìn)行參數(shù)組合。
1)參數(shù)組合1 考慮簡支梁的截面屬性的不確定性和外載荷幅值的不確定性影響,其中不確定性參數(shù)慣性矩I和外載荷幅值Pu的區(qū)間為
2)參數(shù)組合2 在慣性矩I、外載荷幅值Pu同時具有不確定性的基礎(chǔ)上,使梁長L和外載荷移動速度v為不確定性參數(shù),其區(qū)間為
3)參數(shù)組合3 慣性矩、外載荷幅值、梁長度、外載荷移動速度、彈性模量和單位長度質(zhì)量均為不確定性參數(shù),其區(qū)間分別為
在此,主要討論模態(tài)坐標(biāo)的區(qū)間因子和由模態(tài)坐標(biāo)的不確定性導(dǎo)致的位移響應(yīng)和應(yīng)力響應(yīng)的不確定性。首先利用區(qū)間因子法,求梁的第r階模態(tài)的模態(tài)坐標(biāo)的區(qū)間因子。同時,取區(qū)間分散性最大的(t)作為梁的各階模態(tài)坐標(biāo)區(qū)間變量q(rt)統(tǒng)一的區(qū)間因子,即
進(jìn)而由區(qū)間因子法可得簡支梁的位移響應(yīng)區(qū)間變量w(x,t)為
然后,根據(jù)區(qū)間因子法求得單元e的應(yīng)力響應(yīng)區(qū)間變量為
圖2所示為某型軌道式龍門起重機(jī)。對龍門起重機(jī)的主梁進(jìn)行分析,一般是將小車和吊重簡化為一個移動的重物,將主梁的分析問題簡化為移動載荷或移動質(zhì)量作用下梁的振動問題[7,8]。對于起重機(jī)主梁,移動載荷模型或移動質(zhì)量模型得到的撓度值非常接近,偏差值較小。移動載荷模型求解簡單,在工程中較常用。
圖2 軌道式龍門起重機(jī)示意圖
將求得的理論應(yīng)用到軌道式龍門起重機(jī)的主梁動力響應(yīng)分析中,所選取的參數(shù)如表1所示。
表1 龍門起重機(jī)主要參數(shù)
對于龍門起重機(jī)的主梁,根據(jù)經(jīng)驗可知,簡支梁最大位移在梁跨中,即求當(dāng)x=L/2時,位移響應(yīng)的最大值wmax(L/2,t)。計算得簡支梁的最大位移量wmax=9.9 mm。同時,在Ansys中建立該算例的有限元模型,得到該起重機(jī)主梁的最大Von Mises等效應(yīng)力為。
在此,考慮梁的截面慣性矩I和梁長L的變化幅度為±5%時,移動載荷Pu和速度v的變化幅度為±5%,彈性模量E和單位長度的質(zhì)量ρ的變化幅度為±5%,求這些參數(shù)不確定性導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)(位移、應(yīng)力)的不確定性如表2所示。其中,最大位移的變化幅度為,最大應(yīng)力的變化幅度為。
表2 龍門起重機(jī)主梁計算結(jié)果
經(jīng)計算可知,當(dāng)簡支梁的慣性矩和外載荷變化幅度為5%時,模態(tài)的區(qū)間因子的變化幅度為7.8%,相應(yīng)位移響應(yīng)最大值和單元e應(yīng)力響應(yīng)最值的區(qū)間因子的變化幅度(見圖3)都為7.8%。
圖3 龍門起重機(jī)在不確定不參數(shù)組合下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的變化范圍
當(dāng)簡支梁的慣性矩、梁長、速度和外載荷變化幅度為5%時,模態(tài)區(qū)間因子的變化幅度為18.6%,相應(yīng)位移響應(yīng)最大值和單元e應(yīng)力響應(yīng)最值的區(qū)間因子變化幅度均為18.6%。對比只改變慣性矩和外載荷的情況,模態(tài)的區(qū)間因子發(fā)生較大波動,說明梁長和外載荷速度對模態(tài)響應(yīng)的影響較大。
當(dāng)簡支梁的慣性矩、梁長、速度、外載荷、彈性模量、單位長度質(zhì)量變化幅度為5%時,模態(tài)區(qū)間因子的變化幅度為23.6%。相應(yīng)位移響應(yīng)最值的區(qū)間因子的變化幅度為23.6%,單元e應(yīng)力響應(yīng)最值的區(qū)間因子變化幅度為29.8%。對比只改變慣性矩和外載荷的情況,模態(tài)的區(qū)間因子發(fā)生較大波動,且波動值的增加速度放緩,說明材料屬性的變化對模態(tài)的影響較小。由圖3b可知,參數(shù)組合3對應(yīng)力不確定性的影響增大,說明彈性模量的不確定性引起了應(yīng)力的不確定性。
對于龍門起重機(jī)主梁上作用移動載荷的問題,應(yīng)用所建立的3種不確定參數(shù)組合模型,在保證結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和外載荷區(qū)間分散性情況相同時,結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的不確定性比載荷參數(shù)的不確定性對梁的動力響應(yīng)的影響更明顯。因此,在龍門起重機(jī)主梁動力學(xué)響應(yīng)的分析中,結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對最大位移變化范圍的不確定性影響較大。材料屬性對最大位移的不確定性影響較小,對最大應(yīng)力的不確定性影響較大。