“一致性”視角下運算教學(xué)的思考與探索

林燕萍

【摘 要】本文以探索數(shù)與運算一致性教學(xué)理念的實施策略為目標(biāo)，豐富教學(xué)內(nèi)容，轉(zhuǎn)變教學(xué)策略，從而逐步構(gòu)建獨具特色的小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)與運算一致性教學(xué)體系。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 運算一致性 核心素養(yǎng)

一、類比融通，體會算法一致性

數(shù)學(xué)是有結(jié)構(gòu)的，不僅是教學(xué)內(nèi)容，還包括方法、思想、策略等，都是一脈相承的。我們要改變原來一個知識點、一個例題、一組練習(xí)勻速前進(jìn)的教學(xué)方式，立足每一節(jié)課，又高于每一節(jié)課，從“一致性”的視角審視課堂，通過類比推理，不斷地把小數(shù)與分?jǐn)?shù)的知識納入整數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生明白“數(shù)與運算”就那么點事，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)化，提高學(xué)生的運算能力和推理意識。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出在數(shù)與運算教學(xué)中教師應(yīng)注重建立運算之間的聯(lián)系，體會運算的一致性。在教學(xué)中，教師應(yīng)適時組織學(xué)生對不同數(shù)據(jù)類型的運算進(jìn)行交流，以及探尋不同運算方法之間的聯(lián)系。在學(xué)完人教版五下“分?jǐn)?shù)的加法和減法”后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考分?jǐn)?shù)加減運算方法與整數(shù)、小數(shù)加減運算方法之間的共性。在探索分?jǐn)?shù)加減法怎樣計算的時候，應(yīng)鼓勵學(xué)生思考已學(xué)過的加減運算的算理，從而遷移運算的一致性。

例如，在教學(xué)人教版五下“異分母分?jǐn)?shù)加、減法”時，課堂上學(xué)生通過自主探究、分享交流、梳理方法，理解了其中的意義，教師通過追問：“為什么整數(shù)加減法計算要求相同數(shù)位對齊？而小數(shù)加減法要求小數(shù)點對齊？異分母分?jǐn)?shù)為什么要通分？”打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的關(guān)聯(lián)，即本質(zhì)都是以計數(shù)單位這個核心要素進(jìn)行相同計數(shù)單位的累加或遞減。當(dāng)計數(shù)單位不同不能直接相加減時，可以把單位細(xì)化成小一點的單位繼續(xù)加減。在溝通關(guān)聯(lián)中發(fā)現(xiàn)它們本質(zhì)的一致性，建立了數(shù)的運算的整體結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生感悟整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法運算的一致性。

面對《課程標(biāo)準(zhǔn)》中“一致性”的新要求，教師必須對教材進(jìn)行統(tǒng)整，建構(gòu)不同單元、不同運算算理的一致性，將零散的、碎片的數(shù)學(xué)知識先在自己頭腦中形成整體化、系統(tǒng)化、邏輯化的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。有了這樣的認(rèn)知與儲備，才會產(chǎn)生相應(yīng)的意識，進(jìn)而制定與之配套的、具體到每一節(jié)運算課的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)行為。

二、數(shù)形結(jié)合，感悟算理與算法的聯(lián)結(jié)

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，而運算能力主要涉及三個問題：一是“如何算”，即對算法與運算過程的運用，指向?qū)嵤┻\算的學(xué)科能力；二是“為什么可以這樣算”，即對算理的理解，表現(xiàn)為運算的合理性，指向理解運算的學(xué)科能力；三是“怎樣算得更好”，即對算法的優(yōu)化，表現(xiàn)為運算的靈活性，指向選擇運算策略的學(xué)科能力。要培養(yǎng)和提高學(xué)生的運算能力，就必須讓“理”越變越明，讓“法”越變越清。理解算理、掌握算法是運算教學(xué)的靈魂所在，只有將算理和算法兩者相輔相成才能讓學(xué)生通透理解。

例如，在教學(xué)人教版六上“分?jǐn)?shù)除法”時，教學(xué)時先讓學(xué)生回憶整數(shù)除法、小數(shù)除法的算理，從而引發(fā)學(xué)生思考：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)該怎么計算？從知識體系來激發(fā)學(xué)生的探究欲望。接著，呈現(xiàn)進(jìn)階關(guān)系的三個核心問題：（1）把一張紙的[45]平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？（2）把一張紙的[45]平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？（3）請你總結(jié)出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計算方法。在問題探究中，以學(xué)生自主探究為主線，放手讓學(xué)生獨立思考，把更多的時間、空間留給學(xué)生。讓學(xué)生在畫一畫、涂一涂、算一算、說一說的活動中，探索分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的運算方法。通過面積模型讓算理與算法交融起來，使學(xué)生在算法剖析中理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上形成算法，做到以數(shù)形結(jié)合深化算理。

數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，借助直觀的“形”可以理解抽象的“數(shù)”，同理抽象的“數(shù)”可以表示直觀的“形”，利用它們之間的關(guān)系可以有效地幫助學(xué)生理解概念、建構(gòu)知識。因此，在數(shù)的運算教學(xué)中要巧妙借助圖形表征打通算法與算理的聯(lián)結(jié)，感悟數(shù)與運算的一致性，探索從知識技能本位走向素養(yǎng)能力本位的教學(xué)實踐。

三、聚焦核心，凸顯運算一致性

數(shù)的運算以計數(shù)單位為核心概念，將整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則混合運算統(tǒng)領(lǐng)在一起。在與“乘法運算”相關(guān)的課堂中圍繞著“計數(shù)單位的個數(shù)相乘得到新的計數(shù)單位個數(shù)；計數(shù)單位相乘，得到新的計數(shù)單位；得到新的計數(shù)單位及其個數(shù)，這樣就產(chǎn)生了一個新的數(shù)，這個數(shù)就是乘法算式的結(jié)果”。如果說所有的加法運算都是相同計數(shù)單位的累加，那么乘法運算依然是計數(shù)單位的累加和聚合。建立這樣的認(rèn)識，再用這一理念組織教學(xué)，并貫穿各個學(xué)段的乘法運算教學(xué)之中，然后通過知識間的關(guān)聯(lián)和學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累，讓學(xué)生感悟到數(shù)的運算的一致性。

以“整數(shù)乘法”和“小數(shù)乘法”為例，比如：5×3表示3個5、5個3或者5的3倍。從計數(shù)單位出發(fā)，它就表示5個1的3倍是多少？所以5×3=（5×1）×（3×1）=（5×3）×（1×1）=15×1=15，很明顯這里單位的總個數(shù)是15，而計數(shù)單位是1。

依此類推，50×30是5個10的30倍，即5個10乘3個10，（5×10）×（3×10）=（5×3）×（10×10）=1500，同樣的道理，這里新單位的個數(shù)依然是15，但是計數(shù)單位是10個10，即100。

若拓展到小數(shù)0.5×0.3，教師可以引導(dǎo)學(xué)生加上單位，創(chuàng)設(shè)情境：客廳鋪的地磚長是0.5米，寬是0.3米，求它的面積。學(xué)生自然會把0.5米轉(zhuǎn)化成5分米，把0.3米轉(zhuǎn)化成3分米，然后用5×3=15（平方分米），再將15平方分米化成0.15平方米。教師也可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生從計數(shù)單位出發(fā)，結(jié)合運算的意義和運算律，培養(yǎng)學(xué)生的遷移類推能力：0.5×0.3=（5×0.1）×（3×0.1）=（5×3）×（0.1×0.1）=15×0.01=0.15，在這里5×3依然統(tǒng)計的是計數(shù)單位的總個數(shù)，而0.01則是新的計數(shù)單位。所以，落實到算法就是小數(shù)乘法按照整數(shù)乘法的法則算出積，這個積統(tǒng)計的就是計數(shù)單位的總個數(shù)；再觀察兩個乘數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點，則是確定新的計數(shù)單位。

這樣看來整個小學(xué)階段的乘法運算是一脈相承的：其一尋找新的計數(shù)單位，其二統(tǒng)計有多少個這樣的單位。因此，乘法運算具有跨學(xué)段的內(nèi)在一致性。那么教師在實際教學(xué)的過程中，除了結(jié)合實際情境，關(guān)注直觀操作，讓學(xué)生感悟算理，明晰算法，更應(yīng)該將計數(shù)單位這個一致性的靈魂種子植入學(xué)生的心中，逐步滲透，從推理的角度溝通關(guān)聯(lián)、整體建構(gòu)，持續(xù)發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、運算能力和推理意識。

再以“分?jǐn)?shù)除法”為例，《課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)建議中進(jìn)一步提出：“在進(jìn)行除法計算的過程中，進(jìn)一步理解除法是乘法的逆運算。在這樣的過程中，感悟如何將未知轉(zhuǎn)為已知，形成初步的推理意識?！狈?jǐn)?shù)除法法則是利用“除以一個不為0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”來進(jìn)行計算，這與整數(shù)除法的算法和算理似乎有明顯差異，也容易引起學(xué)生的質(zhì)疑。因此，很有必要打通整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的關(guān)系，幫助學(xué)生學(xué)會整體思考、自覺遷移，并發(fā)展學(xué)生的運算能力和推理意識。從學(xué)生開始學(xué)習(xí)整數(shù)除法到小數(shù)除法的算理時，教師要以“計數(shù)單位”這一核心概念為抓手，真正理解除法就是求“計數(shù)單位個數(shù)之間的包含關(guān)系”，讓學(xué)生形成除法運算之間的一致性和整體性的意識。

總而言之，學(xué)生對數(shù)的運算的一致性的感悟是一個循序漸進(jìn)的過程，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生以聯(lián)系的視角看待數(shù)的認(rèn)識與數(shù)的運算，溝通不同階段數(shù)的意義的一致性以及不同類數(shù)的運算之間的聯(lián)系。教師應(yīng)在數(shù)的認(rèn)識、數(shù)與運算的每節(jié)課中滲透，在單元學(xué)習(xí)結(jié)束時進(jìn)行融會貫通的復(fù)習(xí)，實現(xiàn)算理貫通、算法統(tǒng)整，讓學(xué)生會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看數(shù)學(xué)、想問題，促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)階，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根。

（作者單位：福建省安溪縣第三實驗小學(xué) 責(zé)任編輯：宋曉穎）

［1］鞏子坤，史寧中，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022，42（06）：45-51，56.

［2］趙莉，吳正憲，史寧中.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)的認(rèn)識與運算一致性的研究與實踐——以“數(shù)與運算”總復(fù)習(xí)為例［J］.課程·教材·教法，2022，42（08）：122-129.