一類流行病模型的奇異流形和分岔

韓海彥， 劉玲伶

(西南石油大學(xué) 理學(xué)院， 四川 成都 610500)

0 引言

SARS-CoV-2病毒的快速傳播和Covid-19大流行對全球公共衛(wèi)生構(gòu)成的威脅，幾乎是沒有先例的.目前，可以通過流行病學(xué)建模為疫情防控政策提供建議[1-5].通過對模型定性、定量分析，可以預(yù)測其拐點(diǎn)和峰值，為采取有效防控措施提供建議，因此在生物數(shù)學(xué)中模型已經(jīng)發(fā)揮著重要作用[6-7].在經(jīng)典的流行病學(xué)模型中，把每個人與其他人接觸的概率相同作為最基本的假設(shè)條件，這樣每個人都是有機(jī)會感染其他人的[2].家庭是落實(shí)防控政策的最小群體，所以以家庭為最小群體來研究流行病的傳播和預(yù)防是有意義的.事實(shí)上，流行病在家庭內(nèi)的傳播很早就被認(rèn)識到[3]，比如，1918年的‘西班牙’H1N1流感的傳播[4]，研究表明基于家庭的隔離能有效預(yù)防H1N1流感.2020年，Li等[5]調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)在出現(xiàn)癥狀后立即實(shí)施隔離的病例家庭中，繼發(fā)性發(fā)病率為零.這表明出現(xiàn)癥狀后實(shí)施家庭隔離可能對防止SARS-CoV-2在家庭中的傳播有作用.Huber等[8]改進(jìn)了這類模型，建立了關(guān)于流行病中家庭影響的最小模型:

其中F為一人感染的家庭數(shù)，G為家庭成員全部感染的家庭數(shù)，F(xiàn)+HG為感染者總數(shù)，SH/N為一個受感染者的任意接觸是易感的概率，β為傳播率，α為全家感染率，γ為恢復(fù)率.

上述模型的主要特點(diǎn)是將感染分為快速傳播的家庭內(nèi)模式和緩慢傳播的家庭間模式.研究發(fā)現(xiàn)，流行病的傳播取決于家庭的規(guī)模大小，在滿足居家隔離的條件下，加強(qiáng)健康監(jiān)測，了解這種不均勻人群中的流行病對預(yù)測感染傳播的范圍以及為抑制感染提供措施.由于采取了居家隔離，不同家庭人口之間的接觸減少，但是沒有任何辦法限制同一家庭成員之間的接觸，因此，在當(dāng)前Covid-19大流行中實(shí)施的這些政策為研究疫情傳播提供了人與人之間的分層接觸模式:人口被分為小群體(家庭)，家庭內(nèi)部接觸的比例較高，家庭之間的接觸比例相對較低.為了疫情防控需要，追蹤感染者數(shù)量和進(jìn)一步檢測感染能力是有必要的.眾所周知，檢測和追蹤是控制流行病的最佳工具之一.該最小追蹤策略包括對整個人群進(jìn)行隨機(jī)檢測，并對發(fā)現(xiàn)陽性的人的家庭進(jìn)行全面檢測[9].這個模型可以描述以下兩種情況：一種情況是我們可以隨機(jī)檢測不同家庭的代表，如果代表為陽性，則引起整個家庭的檢測.另一種情況，當(dāng)家庭中一位成員表現(xiàn)出該疾病癥狀，則引起整個家庭成員的檢測.Huber等[9]提出以下檢測和追蹤模型，

(1)

其中G表示所有人感染的非隔離家庭數(shù)量，F(xiàn)表示只有一人感染的非隔離家庭數(shù)量，S表示沒有人感染的家庭數(shù)量，SH/N表示感染者的任意接觸是易感的概率，F(xiàn)+HG表示感染者總數(shù)，N表示人員總數(shù)，β表示傳輸速率，γ表示恢復(fù)率，α表示全家感染率，κ表示發(fā)現(xiàn)和隔離的速率，H表示家庭大小.若全家無人感染，則全家感染率α為零，發(fā)現(xiàn)和隔離的速率κ也可為零.為方便計算，假設(shè)其余參數(shù)均為正常數(shù).在這種情況下，假設(shè)大多數(shù)感染者是無癥狀或輕度癥狀的.文獻(xiàn)[9]討論了初始狀態(tài)下最大特征值的存在性，并且當(dāng)其小于零時，表明了該疾病將持續(xù)存在.該模型的一個特點(diǎn)是所需的追蹤范圍較?。褐蛔粉櫚腥菊叩募彝コ蓡T，這樣可以提高新冠疫情防控工作的檢測效率.

在上述工作的基礎(chǔ)上，本文研究了一類家庭檢測和追蹤的最小模型的奇異流形的存在性和穩(wěn)定性，計算了系統(tǒng)的基本再生數(shù)，并且討論了奇異流形附近發(fā)生的非參數(shù)跨臨界分岔.最后，通過運(yùn)用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，驗證所得結(jié)論的準(zhǔn)確性，表明結(jié)論對研究疾病的流行規(guī)律、傳播機(jī)制和預(yù)防控制有重要的理論意義，人們可通過研究模型的分岔性質(zhì)達(dá)到預(yù)防和控制疫情傳播的目的.

1 奇異流形的存在性和穩(wěn)定性分析

首先對系統(tǒng)(1)進(jìn)行無量綱化，通過線性變換G=NγX/βZH2，F(xiàn)=NγY/βH，S=NγZ/βH，可將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為

(2)

其中，a=(Hα/γ)≥0,b=γ+Hκ/γ=1+(Hκ/γ)≥1.

下面我們給出系統(tǒng)(2)的奇異流形的存在性.

引理1系統(tǒng)(2)一直存在奇異流形l0={(X,Y,Z)|X=0,Y=0,Z≥0}，當(dāng)a=0，b=1時,還存在奇異流形l1={(X,Y,Z)|X=0,Y>0,Z=1)}.

證系統(tǒng)(2)的奇異流形由下面的方程組決定，

(3)

將方程組(3)中后兩個等式相加，得Y(a+b-1)=0.

當(dāng)Y=0時，帶入方程組(3)知，X=0，Z≥0，因此存在奇異流形

l0={(X,Y,Z)|X=0,Y=0,Z≥0}.

當(dāng)a+b-1=0時，已知a≥0,b≥1.要使a+b-1=0，只能a=0,b=1.將a=0,b=1代入方程組(3)易知，X=0，Y(1-Z)=0.由于此時Y>0，所以Z=1，這時存在奇異流形l1={(X,Y,Z)|X=0,Y>0,Z=1)}.

綜上所述，模型(2)總存在奇異流形l0={(X,Y,Z)|X=0,Y=0,Z≥0}，當(dāng)a=0,b=1時，還存在奇異流形l1={(X,Y,Z)|X=0,Y>0,Z=1)}.

接下來計算系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù).

我們討論的是初始狀態(tài)，即當(dāng)SH=N時，Z=β/γ，所以此時奇點(diǎn)為E=(0,0,β/γ).

令x=(X,Y,Z)T，模型(2)可以被寫成

這里

在奇點(diǎn)E=(0,0,β/γ)處，F(xiàn)i(x),Vi(x)的雅可比矩陣為

令

FV-1是模型(2)的再生矩陣，其譜半徑為

因此，我們得到系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù)為

事實(shí)上，奇點(diǎn)E=(0,0,β/γ)在奇異流形l0上.由引理1給出的奇異流形l0始終存在.我們考慮系統(tǒng)(2)在奇異流形l0的基本再生數(shù).通過計算易知系統(tǒng)(2)在奇異流形l0上的基本再生數(shù)為

下面分析系統(tǒng)(2)奇異流形的穩(wěn)定性.

證當(dāng)a=0,b=1時，易知系統(tǒng)(2)在奇異流形l1處的特征值λ1=0，λ2=-1,λ3=-Y<0.因此，系統(tǒng)(2)在奇異流形l1上有一維中心流形和二維穩(wěn)定流形.

系統(tǒng)(2)在奇異流形l0處的特征多項式為

λ(λ2+n1λ+n2)=0，

其中

特征值λ1=0，即系統(tǒng)(2)始終存在一維中心流形.

考慮一元二次方程λ2+n1λ+n2=0，判別式Δ≥0，所以一元二次方程有兩個實(shí)根，

利用一元二次方程的性質(zhì)判斷特征值的正負(fù)，分析情況如下:

2 非參數(shù)跨臨界分岔

(4)

由定理1可知，系統(tǒng)(4)在(0，0，0)處有二維中心流形.在(0，0，0)處的特征根為

令線性可逆變換

將系統(tǒng)(4)轉(zhuǎn)化為

令上式為(5)式，其中

c=Hab+Hb2+Ha-ab-b2+b，
q=Hab+Hb2+Ha+ab+a2-a，
p=H2a2b+2H2ab2+b3H2+H2a2+
H2ab+Ha2+abH+a3+2a2b+
ab2-Ha-2a2-2ab+a.

所以(5)式轉(zhuǎn)換為

其中m=Hab+Hb2+Ha-a2-3ab-2b2+a+2b.

下面驗證方程組

滿足非參數(shù)跨臨界分岔條件:

(1)?Vf(0,0)=0，

(3)?Vg(0,0)=1≠0.

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中定理4.1，系統(tǒng)(2)在奇異流形E0附近發(fā)生了非參數(shù)跨臨界分岔.

3 數(shù)值模擬

本節(jié)利用數(shù)學(xué)軟件Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬.

當(dāng)R0>1時，參考文獻(xiàn)[8-9]中的參數(shù)取值，以及滿足R0>1的要求，取定參數(shù)α=0.006,β=0.05,γ=0.00125,κ=0.045,H=4，利用Matlab中的“ode45”繪制圖1.在圖1中可以看到，當(dāng)基本再生數(shù)R0>1時，感染的人數(shù)一直存在，導(dǎo)致疫情一直未結(jié)束.這說明在疫情防控方面，采取的檢測和追蹤措施的有效性較低，疫情會繼續(xù)擴(kuò)散，此時應(yīng)該采取居家隔離措施，期間加強(qiáng)健康監(jiān)測，疫情得到控制后解除隔離.

圖1 基本再生數(shù)大于1

當(dāng)R0<1時，參考文獻(xiàn)[8-9]中的參數(shù)取值，以及滿足R0<1的要求，取定參數(shù)α=0.06,β=0.1,κ=0.4,γ=0.25,H=5，利用Matlab中的“ode45”，繪制圖2.在圖2中可以看到，當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時，全家感染而沒有隔離的家庭數(shù)量和只有一個人感染的家庭數(shù)量都在減少，這說明病毒逐漸消失，疫情會慢慢結(jié)束，但同時也應(yīng)把握好疫情較穩(wěn)定的這一階段進(jìn)行及時控制，防止疫情進(jìn)一步擴(kuò)散.

圖2 基本再生數(shù)小于1