具有單集值點的分段嚴格遞增集值映射的迭代根

趙思頤， 黃海陽

(1.西南交通大學 數(shù)學學院, 四川 成都 610064; 2.四川大學 數(shù)學學院, 四川 成都 610064)

0 引言

給定一個映射F:X→X, 其中X是一個非空集合.如果存在自映射f:X→X,滿足方程fn=f°f°…°f=F,則稱f是F的n次迭代根.

盡管有關迭代根問題的研究已有兩百多年的歷史，但它的發(fā)展十分緩慢.直到20世紀60年代Kuczma等[1-2]完整地回答了嚴格單調(diào)連續(xù)的區(qū)間自映射的迭代根問題后才得到了較大的推進.隨后人們開始研究逐段嚴格單調(diào)且連續(xù)的區(qū)間自映射和集值映射的迭代根問題.然而，即使是在一維的情況下尋找集值映射的迭代根也不是一件容易的事.2007年Jarczyk等[3]得到了一般集合上單集值點映射的兩次迭代根的不存在性.隨后2009年Li等[4]進一步研究單集值點映射兩次迭代根的不存在性，并得到緊區(qū)間上存在兩次全局單調(diào)集值迭代根的充分必要條件.2017年Zhang等[5]研究了上半連續(xù)的單集值映射的n次迭代根的存在性問題.隨后2018年，ydzinska[6]把文獻[3]和[4]中的主要結論進一步推廣到n次迭代根中.2021年Liu等[7]討論了全局單調(diào)且上半連續(xù)的具有有限多集值點的集值映射，并給出了n次迭代根的存在性和構造方式.另外，成佳玲等[8]討論了在一般集合下具有兩個集值點映射的迭代根的不存在性.

本文主要研究分段嚴格遞增的單集值映射的迭代根問題.在第一章節(jié)，對于研究的映射進行了介紹和分類，隨后在第二和第三章節(jié)別給出了迭代根的不存在性和存在性并給出了迭代根的構造方法.

1 準備工作

設I:=[a,b]?,若x0∈I滿足#F(x0)≥2,則稱x0是F的一個集值點，記S(F)={x∈I|#F(x)≥2}.本文研究只有一個集值點的情況，即S(F)={c}.為了方便敘述，給出一些記號，記I1:=[a,c),I2:=(c,b],F1:=F|I1,F2:=F|I2,且F(I):={F:I→2I|S(F)={c}且F1和F2連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增},F+(I):={F∈F(I)|F(c)=[α,β](或[β,α])?I,其中

本文研究集值映射F∈F+(I),如下

(1)

的n次迭代根的存在性問題.

引理1對任意F,G∈F+(I),有S(G°F)=S(F)∪{x|x∈I,F(x)∩S(G)≠?}.

證明假設x0∈S(G°F),即#G(F(x0))≥2.由G的單調(diào)性可知只有以下兩種情況：(i)x0∈S(F)和(ii)F(x0)∩S(G)≠?.以上可以得到S(G°F)?S(F)∪{x|x∈I,F(x)∩S(G)≠?}.

假設x0∈S(F),由單調(diào)性可知#G(F(x0))≥2,即x0∈S(G°F).另一方面，對于任意的x0∈I,有F(x0)∩S(G)≠?,說明存在y0∈I滿足y0∈S(G)且y0∈F(x0).因此有#G(F(x0))≥2和x0∈S(G°F).綜上所述，得S(G°F)=S(F)∪{x|x∈I,F(x)∩S(G)≠?},得證.

引理1的證明與文獻[7]的引理2.2結論類似，區(qū)別在于文獻[7]中的集值映射是全局單調(diào)而本文是非全局單調(diào).由引理1可知 ?F∈F+(I),滿足S(Fk)?S(Fk+1)?k∈+.把滿足S(Fk)=S(Fk+1)的最小的k記為H(F),即H(F)=min{k|k∈+,S(Fk)=S(Fk+1)}, 否則記H(F)=+∞.

引理2若F∈F+(I),則H(F)=1當且僅當對任意i∈{1,2},存在j∈{1,2}使得F(Ii)?F(Ij).

證明若對任意i∈{1,2},存在j∈{1,2}使得F(Ii)?F(Ij),則有{x|x∈I,F(x)∩S(F)≠?}={c}.由引理1可知，S(F2)=S(F)∪{x|x∈I,F(x)∩S(F)≠?}={c}=S(F),即H(F)=1.

利用反證法，假設存在i∈{1,2},對任意j∈{1,2}都有F(Ii)?F(Ij),即存在i∈{1,2}使得F(Ii)∩{c}≠?.因此存在x0∈I{c},使得x0∈{x|x∈I,F(x)∩S(F)≠?}.由引理1可知S(F)≠S(F2),這與H(F)=1矛盾，得證.

同時引理2也說明了若F∈F+(I),則H(F)=1當且僅當不存在x0∈I使得F(x0)={c}.

引理3若F∈F+(I)且H(F)>1,則對任意正整數(shù)n>1,不存在n次迭代根f∈F+(I).

證明假設f∈F+(I)是F的n次迭代根，即fn=F.由引理1可知S(f)=S(F)={c},即S(f)=S(f2)=…=S(fn),因此H(F)=1.上述可得S(F2)=S(f2n)=S(f)={c}=S(F),即H(F)=1,與H(F)>1矛盾.得證.

由引理3可知，映射F∈F+(I)且H(F)>1沒有任意次迭代根f∈F+(I),所以下面只討論F∈F+(I)且H(F)=1.

映射F∈F+(I)且H(F)=1,?x∈I{c}有F(x)≠{c},可分為以下4類:

A1:F(I1)?I1,F(I2)?I2；

A2:F(I1)?I2,F(I2)?I1；

A3:F(I)?I1,且α<β,或者α>β；

A4:F(I)?I2,且α<β,或者α>β.

2 迭代根的不存在性

定理1假設F∈A2,則對任意正整數(shù)n,不存在n次迭代根f∈F+(I).

證明由F∈A2可知F(I1)?I2,F(I2)?I1.設f∈F+(I)是F的n次迭代根，斷言f(I1)?I2且f(I2)?I1,即f∈A2.否則，若有f(I1)?I1,則對任意的正整數(shù)n,總是有F(I1)=fn(I1)?I1,這與F∈A2矛盾，因此有f(I1)?I2.同理可證f(I2)?I1.

若n為偶數(shù)，則有fn(I1)?I1且fn(I2)?I2,這與F∈A2矛盾，因此F不存在偶次的迭代根.若n為奇數(shù)，則有

(2)

另一方面, 由c∈f(c)知f(c)?f2(c)?…?fn(c)=F(c),這與(2)矛盾.故F不存在任意次迭代根f∈F+(I),得證.

定理2令F∈A3,假設β=a且F(a)≠a,則對任意正整數(shù)n,不存在n次迭代根f∈F+(I).

證明假設f∈F+(I)是F的n次迭代根，則有

定理3令F∈A4,假設α=b且F(b)

定理3的證明與定理2類似.

3 迭代根的存在性

若F∈A1,則F在區(qū)間I上嚴格單調(diào)遞增且滿足S(F)∩F(c)={c},由文獻[7]中定理3.3可知F存在n次迭代根f∈F+(I),并且可得迭代根f的形式.

若F∈A3∪A4且滿足α<β,則有F在區(qū)間I上嚴格單調(diào)遞增，由文獻[5]中定理1可知F存在n次迭代根f∈F+(I),并且可得迭代根f的形式.

對于F∈A3∪A4且滿足α>β的情況，文獻[5]中定理2給出了迭代根存在的充要條件：

定理4假如上半連續(xù)的集值映射(1)有F(c)=[β,α]并且除在集值點以外是一一對應的.若F1和F2是嚴格遞增的，那么F有n次迭代根當且僅當F滿足F(b)F(b)>β≥c或者F(b)

然而對于滿足以上假設條件的F,當F(a)

例考慮一個映射F:[0,2]→2[0,2]定義如下：

是F的2階迭代根且滿足f∈F+(I).

從以上例子可以得出，文獻[5]中定理2的結論是錯誤的,接下來將討論F∈A3∪A4時,α>β且F(a)β且F(a)

定理5令F∈A3,假設α>β且β≠a或F(a)=a,則對任意正整數(shù)n,存在F的n次迭代根f∈F+(I).

(3)

根據(jù)β和F(b)的位置關系，有以下分類來構造符合條件的f1：(i)β?J0且F(b)?Jn；(ii)β∈J0且F(b)?Jn；(iii)β?J0且F(b)∈Jn；(iv)β∈J0且F(b)∈Jn.

在情況(i)中，因為對于任意的遞增迭代根f1在區(qū)間Ji上都是自映射(i=0,1,…,n)，所以有f1(β)?J0和f1(F(b))?Jn,即f1(β)>F(a)且f1(F(b))<α,可得f1(F(I2))?F(I1).

在情況(ii)中，通過情況(i)的分析可知，僅需要構造f1滿足f1(β)≥F(a),即可得f1(F(I2))?F(I1).當F(a)=a時,自然有f1(β)≥a；當a

情況(iv)可以綜合(ii)和(iii)得到.分別在子區(qū)間J0和Jn中選取合適初值構造f1滿足f1(F(I2))?F(I1)即可.其中初值的選取方式和(ii)、(iii)相同.

以上四種情況討論完畢，可得滿足假設的F存在任意正整數(shù)次迭代根f∈F+(I),得證.

推論令F∈A4,假設α>β且α≠b或F(b)=b,則對任意正整數(shù)n,存在F的n次迭代根f∈F+(I).

推論中的映射與定理5中討論映射是共軛的關系，其迭代根的存在性與構造方法可以類似得到.