基于GDE混合算法的齒輪系統(tǒng)輕量化設(shè)計(jì)

國瑞坤，高穎，賀磊，楊先海，李元帥，李凱

(1.山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 山東 淄博 255049；2.山東理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 山東 淄博 255049)

齒輪傳動系統(tǒng)是各領(lǐng)域機(jī)械的重要組成部分，在國家裝備制造業(yè)中具有不可替代的作用，其輕量化設(shè)計(jì)是所屬機(jī)械減重的重要途徑，產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益十分可觀，是實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品競爭力的有效途徑[1]。針對齒輪輕量化，許多學(xué)者從結(jié)構(gòu)、材料、齒輪參數(shù)優(yōu)化及優(yōu)化方法等方面展開了討論研究。馮順利[2]通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對權(quán)重系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，利用遺傳算法進(jìn)行了斜齒輪參數(shù)優(yōu)化，解決了優(yōu)化過程中權(quán)重系數(shù)分析不合理問題。戴護(hù)民[3]運(yùn)用多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)實(shí)現(xiàn)了齒輪輕量化設(shè)計(jì)。車林仙等[4]通過改進(jìn)差分進(jìn)化算法得到了更加符合實(shí)際的齒輪參數(shù)優(yōu)質(zhì)解。以上研究涉及改進(jìn)適應(yīng)度函數(shù)權(quán)重、有限元結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、算法離散化改進(jìn)等齒輪輕量化設(shè)計(jì)方法，都取得了較好的設(shè)計(jì)結(jié)果。本文擬通過遺傳算法(genetic algorithm，GA)優(yōu)化差分進(jìn)化算法(differential evolution algorithm，DE)的初始種群，提出一種遺傳差分進(jìn)化混合算法(GDE)并進(jìn)行仿真分析，在驗(yàn)證算法可行性的同時(shí)，得到更符合實(shí)際工況的輕量化齒輪系統(tǒng)。

1 GDE混合算法的實(shí)現(xiàn)

針對GA全局尋優(yōu)能力強(qiáng)、DE局部尋優(yōu)能力較差的特點(diǎn)，提出一種GDE混合算法，通過GA進(jìn)行全局尋優(yōu)，擴(kuò)大搜索范圍，針對DE容易產(chǎn)生的局部最優(yōu)解，利用GA較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，給DE提供良好的初始值，充分發(fā)揮GA與DE的優(yōu)點(diǎn)，揚(yáng)長避短，實(shí)現(xiàn)算法求解性能的最優(yōu)化。GDE的具體運(yùn)行流程如圖1所示，運(yùn)行步驟說明如下：

圖1 GDE混合算法流程圖

步驟1 GA編碼并進(jìn)行約束條件檢驗(yàn)，隨機(jī)產(chǎn)生初始化種群Xn(0)。

步驟2 GA運(yùn)算適應(yīng)度函數(shù)采用后文介紹的目標(biāo)函數(shù)1，重點(diǎn)考慮中心距最小問題，以獲得全局較優(yōu)的種群。

步驟3 判斷是否滿足GA種群最大進(jìn)化代數(shù)的終止條件。

步驟4 對種群進(jìn)行選擇、交叉、變異操作，重新計(jì)算適應(yīng)值，保留最優(yōu)，更新產(chǎn)生新一代種群Xn(i)。

步驟5 得到GA算法尋優(yōu)的種群Xn(i)作為DE初始值Xm(0)。

步驟6 對齒輪系統(tǒng)的輕量化DE適應(yīng)度函數(shù)2進(jìn)行定義，重點(diǎn)考慮齒輪系統(tǒng)體積最小問題，獲取更符合實(shí)際的優(yōu)質(zhì)解。

步驟7 判斷是否滿足DE種群最大進(jìn)化代數(shù)的終止條件。

步驟8 對種群進(jìn)行變異、交叉、選擇操作，重新計(jì)算適應(yīng)值，保留最優(yōu)，更新產(chǎn)生新一代種群Xm(i)。

2 齒輪系統(tǒng)輕量化參數(shù)優(yōu)化

二級齒輪系統(tǒng)輕量化的主要方式有：新型輕質(zhì)材料替代、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化、結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化[5]。本文采用結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，運(yùn)用上節(jié)提出的GDE算法進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，最終得出優(yōu)化后的齒輪系統(tǒng)參數(shù)。二級齒輪結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示，企業(yè)二級齒輪參數(shù)見表1。

圖2 二級齒輪結(jié)構(gòu)簡圖

表1 企業(yè)二級齒輪系統(tǒng)參數(shù)

2.1 確定設(shè)計(jì)變量

由圖2可知，齒輪二級系統(tǒng)輕量化的設(shè)計(jì)受齒輪基本參數(shù)的影響，齒輪系統(tǒng)質(zhì)量與中心距和體積緊密關(guān)聯(lián)，其軸向中心距尺寸由傳動比和齒輪分度圓直徑?jīng)Q定，齒輪系統(tǒng)的體積與齒寬系數(shù)以及齒根圓、齒頂圓有關(guān)。鑒于此，對齒輪相關(guān)設(shè)計(jì)變量的設(shè)計(jì)見表2。

表2 二級齒輪系統(tǒng)輕量化設(shè)計(jì)變量

2.2 建立目標(biāo)函數(shù)

齒輪二級系統(tǒng)的輕量化問題可以轉(zhuǎn)化為如圖2所示的中心距最小問題，即a1與a2和的最小值問題，表達(dá)式為

(1)

將目標(biāo)函數(shù)1設(shè)置為

(2)

式中：i為齒輪系統(tǒng)總傳動比，按照企業(yè)齒輪系統(tǒng)參數(shù)，可知i=15.4，將目標(biāo)函數(shù)1用于GA中的適應(yīng)度函數(shù)。

對二級齒輪系統(tǒng)的體積進(jìn)行計(jì)算，采用分度圓法體積計(jì)算公式[6]為

(3)

式中B為輪齒寬度，且B=φa，φ為齒寬系數(shù)，a為中心距。將目標(biāo)函數(shù)2設(shè)置為

(4)

2.3 確定約束函數(shù)

結(jié)合摩擦激勵的相關(guān)影響因素，考慮齒寬、螺旋角等齒輪參數(shù)對齒面摩擦力的影響，在輕量化設(shè)計(jì)的同時(shí)對增大齒面摩擦力、增強(qiáng)摩擦激勵的齒輪參數(shù)加以限制；同時(shí)在輕量化設(shè)計(jì)過程中還要保持原有齒輪的齒面疲勞強(qiáng)度、齒根彎曲強(qiáng)度、幾何限制因素等特性。綜上，對輕量化齒輪系統(tǒng)的約束函數(shù)設(shè)置如下：

1)螺旋角約束

(5)

2)傳動比約束

(6)

3)齒寬系數(shù)約束

(7)

4)齒面接觸疲勞強(qiáng)度約束

(8)

5)齒根彎曲疲勞強(qiáng)度約束

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]可得：[σF1S]=[σF2S]=714 MPa;YFa1=2.76;YFa1′=YFa2′=2.22;YFa2=2.83;Yβ1=0.875;Yβ2=0.89;YSa1=1.56;YSa1′=YSa2′=1.77;YSa2=1.54。

6)不干涉相碰約束

(10)

7)不發(fā)生齒輪根切的約束

(11)

式中αn為斜齒輪法向壓力角。

8)其他齒輪參數(shù)的約束

(12)

3 優(yōu)化結(jié)果分析

對上述目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)進(jìn)行MATLAB編程，分別運(yùn)用DE、GA與編寫的GDE算法程序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和求解運(yùn)算，圓整后得到的優(yōu)化結(jié)果見表3。

表3 各算法優(yōu)化結(jié)果

3種優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)、累積分布函數(shù)變化曲線如圖3、圖4所示。由圖3可知，GA在約90代時(shí)找到了最優(yōu)解，DE在約40代時(shí)找到了最優(yōu)解，而GDE在約20代時(shí)找到了最優(yōu)解；3種方法相比較，GDE收斂速度最快且運(yùn)算效率高。由圖4可知，GDE適應(yīng)度函數(shù)有80%以上的解可以落到3.3×107mm3的值以內(nèi)，GA適應(yīng)度函數(shù)有60%以上的解可以落到3.4×107mm3的值以內(nèi)，DE適應(yīng)度函數(shù)有10%以上的解可以落到3.4×107mm3的值以內(nèi)，說明DE容易陷入局部最優(yōu)，而GA全局尋優(yōu)能力強(qiáng)，GDE結(jié)合了兩者優(yōu)勢，所得的解更優(yōu)。

圖3 3種優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)變化曲線

圖4 3種優(yōu)化算法累積分布函數(shù)變化曲線

將各優(yōu)化算法與原齒輪系統(tǒng)體積和重合度進(jìn)行對比可知，GA優(yōu)化后齒輪體積減少了6.3%，重合度增加了2.1%；DE優(yōu)化后齒輪體積減少了3.3%，重合度增加了1.5%；GDE優(yōu)化后齒輪體積減少了10.5%，重合度增加了5.8%。相比較其他兩種算法，GDE優(yōu)化的結(jié)果更合理，效果更好。

4 模態(tài)分析

對優(yōu)化后的齒輪系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，分析優(yōu)化后固有頻率和振型的變化以及輕量化齒輪系統(tǒng)的振動特點(diǎn)和優(yōu)化效果。將優(yōu)化后齒輪系統(tǒng)模型進(jìn)行簡化并導(dǎo)入Ansys Workbench軟件中，在Modal模塊中定義齒輪系統(tǒng)的幾何屬性、網(wǎng)格控制和圓柱約束[9]，考慮該系統(tǒng)的大小和實(shí)際硬件設(shè)備，設(shè)置求解階數(shù)為6階，完成求解。

模態(tài)分析中，一般前6階模態(tài)對系統(tǒng)的影響較大，因此本文主要針對系統(tǒng)前6階的固有頻率和振型進(jìn)行分析。系統(tǒng)前6階模態(tài)振型如圖5所示，模態(tài)計(jì)算結(jié)果見表4。

(a)第1階 (b)第2階 (c)第3階

表4 優(yōu)化齒輪系統(tǒng)前6階模態(tài)計(jì)算結(jié)果

由表4可知，齒輪系統(tǒng)最大頻率為1 621.90 Hz，最小頻率為547.15 Hz。由齒輪嚙合頻率的計(jì)算公式可得二級齒輪嚙合頻率為293.38 Hz,三級齒輪嚙合頻率為69.49 Hz。對比可知，與箱體振動頻率以及齒輪嚙合頻率均不重疊，不會產(chǎn)生共振，適用于實(shí)際工況。

5 結(jié)論

1)提出一種GDE混合算法，以兩級齒輪系統(tǒng)中心距與體積最小為目標(biāo)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，所得結(jié)果與兩種傳統(tǒng)方法結(jié)果進(jìn)行的比較顯示，GDE收斂速度快，在20代左右即可找到最優(yōu)解，GDE適應(yīng)度函數(shù)有80%以上的解可以落到3.3×107mm3的值以內(nèi)。

2)對GDE算法進(jìn)行的編程仿真結(jié)果表明，GDE優(yōu)化后齒輪體積減少了10.5%，重合度增加了5.8%。

3)對輕量化后齒輪系統(tǒng)進(jìn)行建模和模態(tài)分析，仿真結(jié)果顯示輕量化后齒輪不會產(chǎn)生共振，符合實(shí)際工況需求。