考慮參數(shù)不確定性的滾珠絲杠副耐磨損確信可靠性建模與分析*

朱云開

(江蘇城市職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,江蘇 南通 226006)

0 引 言

磨損作為機(jī)械零件的主要的失效形式之一,不僅會(huì)顯著縮短機(jī)械產(chǎn)品的使用壽命,也會(huì)導(dǎo)致機(jī)械產(chǎn)品其他失效形式的產(chǎn)生。因此,對(duì)滾珠絲杠副的耐磨性進(jìn)行可靠性分析和優(yōu)化,有利于提高滾珠絲杠副的可靠性。這對(duì)整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性的提高有著重要的意義。

目前,針對(duì)滾珠絲杠副磨損的機(jī)理研究和理論建模研究已經(jīng)有很多。

姜洪奎等人[1]總結(jié)了磨損失效的主要形式及失效原因,為磨損的計(jì)算機(jī)建模提供了理論依據(jù)。鐘金豹等人[2]采用有限元仿真軟件,分析了滾珠絲杠副的磨損特性,并基于表面織構(gòu)化機(jī)理對(duì)其進(jìn)行了仿真,結(jié)果發(fā)現(xiàn),表面織構(gòu)化能提高滾珠絲杠副的耐磨性?；贏rchard理論,賴建林等人[3,4]建立了高承載下的滾珠絲杠副黏著磨損模型。基于蠕滑理論,陳勇等人[5]建立了摩擦力矩模型,為能夠快速、準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)滾珠絲杠副的磨損量提供了理論基礎(chǔ)?；贏rchard理論,徐向紅等人[6]在充分考慮了軸向載荷、接觸面的相對(duì)速度、離心力和陀螺力矩等影響的基礎(chǔ)上,建立了滾珠絲杠副磨損量模型。陳斌斌等人[7]在傳統(tǒng)的Archard理論基礎(chǔ)上,引入修正系數(shù),建立了反映滾珠絲杠副滾道與滾珠真實(shí)接觸情況的磨損量模型。ZHOU C G等人[8,9]在考慮了載荷分布影響的基礎(chǔ)上,建立了滾珠絲杠副的磨損模型,并通過試驗(yàn)獲得了滾珠絲杠副的磨損系數(shù)。

上述有關(guān)于滾珠絲杠副磨損的研究,僅局限于滾珠絲杠副的磨損特性,并未對(duì)其耐磨損性能及耐磨損可靠性進(jìn)行研究。

耐磨損可靠性是滾珠絲杠副整體可靠性的一部分,因此,針對(duì)其開展研究也是必不可少的。

ZHOU C G[10]在其建立的磨損模型基礎(chǔ)上,基于一次二階矩法,對(duì)滾珠絲杠副進(jìn)行了可靠性分析,并計(jì)算了各參數(shù)對(duì)滾珠絲杠副磨損影響的靈敏度,根據(jù)計(jì)算結(jié)果對(duì)滾珠絲杠副進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì),顯著提高了滾珠絲杠副的耐磨損可靠度,但該方法僅考慮了參數(shù)的隨機(jī)不確定性,而未考慮認(rèn)知不確定性的影響。

由于滾珠絲杠副耐磨損可靠度受多個(gè)參數(shù)的影響,且其分布參數(shù)存在不確定分布,確信可靠性指標(biāo)不再為確定的值,而變成了不確定變量,存在不確定分布。當(dāng)確信可靠度指標(biāo)是關(guān)于分布參數(shù)的單調(diào)函數(shù)時(shí),可以通過逆不確定分布很方便的求出其不確定分布[11]。但是,對(duì)于滾珠絲杠副耐磨性的確信可靠度指標(biāo),其并非分布參數(shù)的單調(diào)函數(shù),因此,不能采用上述方法求得其精確的不確定分布。

朱元國(guó)[12]基于最大不確定性原理,提出了不確定仿真的方法,用于求解不確定分布的上、下界;但是該方法只是針對(duì)單層不確定參數(shù)進(jìn)行求解。ZHANG Q Y[13]基于上述不確定仿真方法,提出了兩層參數(shù)不確定分析方法,該方法同時(shí)考慮了參數(shù)本身的不確定性及參數(shù)分布的不確定性;但該方法只是局限于理論部分,并未在實(shí)際中予以應(yīng)用。

筆者基于上述提出的不確定仿真方法,考慮滾珠絲杠副參數(shù)本身的不確定性,及其分布的參數(shù)的不確定性這兩層參數(shù)不確定性的影響,對(duì)滾珠絲杠副耐磨損的確信可靠性進(jìn)行建模與分析;同時(shí),分析各參數(shù)的不確定性對(duì)滾珠絲杠副的耐磨損可靠度的影響程度,為滾珠絲杠副的優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性提升提供參考價(jià)值。

1 不確定理論

不確定理論是劉寶碇提出來的一種新的公理化理論[14],被認(rèn)為是更為合理地描述認(rèn)知不確定性的數(shù)學(xué)理論。無論是在概念和邏輯上,不確定理論與概率論相比,都有著較大差距。

在概率論中,通常用概率來量化事件發(fā)生的可能性大小;而在不確定性理論中,則采用不確定測(cè)度來表征人們對(duì)事件的主觀確信程度,即某件事件確定后其概率一般是確定的。而不確定測(cè)度與人的知識(shí)有關(guān),會(huì)隨著人們對(duì)事件的了解程度的變化而發(fā)生改變。

在某個(gè)事件中,當(dāng)其不確定測(cè)度為1時(shí),其不確定性最小,表示該事件必然發(fā)生;當(dāng)其不確定度測(cè)度為0時(shí),其不確定性也是最小的,表示該事件必然不發(fā)生;當(dāng)不確定測(cè)度為0.5時(shí),不確定測(cè)度才最大。

根據(jù)最大不確定性原理,當(dāng)某個(gè)事件的不確定測(cè)度存在多個(gè)可能的值時(shí),取最接近0.5的那個(gè)值作為其不確定測(cè)度[15],即:

(1)

在不確定理論中,通過不確定分布來描述不確定變量的確信程度。若ξ為線性不確定變量,即ξ～L(a,b),其不確定分布為:

(2)

若ξ為正態(tài)不確定變量,即ξ～N(e,σ),其不確定分布為:

(3)

2 滾珠絲杠副耐磨性建模分析

在傳統(tǒng)的Archard理論中,假設(shè)兩滑動(dòng)接觸面是始終接觸的。然而對(duì)于滾珠絲杠副而言,只有螺母內(nèi)部的絲杠與滾珠接觸,且螺母和絲杠的滾道只有部分參與接觸,因此,必須對(duì)傳統(tǒng)的Archard理論進(jìn)行修正。

筆者首先基于傳統(tǒng)的Archard理論計(jì)算出滾道與滾珠的磨損體積,然后基于赫茲接觸理論求出滾道與滾珠的接觸面積,最后引入修正系數(shù),求出其磨損的深度。

2.1 滾珠與滾道之間的磨損體積計(jì)算

由傳統(tǒng)Archard磨損理論[16]可知,在法向力Q作用下,滾珠絲杠副的滾道與滾珠磨損原理圖如圖1所示。

圖1 滾道與滾珠磨損原理圖

滾珠絲杠副的滾珠與螺母或絲杠滾道的磨損體積為:

(4)

式中:Ws—滾珠與絲杠滾道接觸面之間的磨損體積,m3;Wn—滾珠與螺母滾道接觸面之間的磨損體積,m3;Qs—滾珠與絲杠滾道接觸面之間的法向力,N;Qn—滾珠與螺母滾道接觸面之間的法向力,N;H—滾珠和滾道中硬度較小即軟材料表面的硬度,一般為螺母滾道或者絲杠滾道的硬度;Ls—滾珠相對(duì)于絲杠滾道的滑動(dòng)距離,m;Ln—滾珠相對(duì)于螺母滾道的滑動(dòng)距離,m;K—磨損系數(shù)。

對(duì)于雙螺母滾珠絲杠副而言,在無外載荷時(shí),螺母1和2只受初始預(yù)緊力Fp,當(dāng)滾珠絲杠承受軸向載荷Fa時(shí),滾珠絲杠副受力示意圖如圖2所示。

圖2 滾珠絲杠副受力示意圖

圖2中,此時(shí)螺母2為工作螺母,實(shí)際受力由Fp增加為F2;螺母1為預(yù)緊螺母,實(shí)際受力由Fp減少為F1。

故存在等式:

F2-F1=Fa

(5)

由變形協(xié)調(diào)關(guān)系可知:

(6)

可求得F2,則F1為:

F1=F2-Fa

(7)

對(duì)于螺母1,由靜力平衡方程可知,滾珠承受法向力為:

(8)

對(duì)于螺母2,由靜力平衡方程可知,滾珠承受法向力為:

(9)

式中:α—滾珠與滾道的接觸角,(°);γ—絲杠螺母的導(dǎo)程角,(°);i—滾珠絲杠副單個(gè)螺母中滾珠循環(huán)圈數(shù);Z—每圈承載滾珠數(shù)。

其滾珠相對(duì)于絲杠滾道或螺母滾道的滑動(dòng)距離Ls和Ln分別為:

(10)

(11)

其中:

(12)

滾珠相對(duì)于螺母滾道的滑動(dòng)速度可表示為:

(13)

(14)

對(duì)于螺母1,滾珠與絲杠滾道或螺母滾道接觸面間的磨損體積為:

(15)

對(duì)于螺母2,滾珠與絲杠滾道或螺母滾道接觸面間的磨損體積為:

(16)

2.2 滾珠與滾道的接觸面積計(jì)算

由赫茲彈性接觸理論可知,滾珠與絲杠或螺母滾道的接觸面為橢圓,其接觸面積為:

(17)

式中:as—滾珠與絲杠滾道接觸橢圓面的長(zhǎng)半軸,mm;

an—滾珠與螺母滾道接觸橢圓面的長(zhǎng)半軸,mm;bs—滾珠與絲杠滾道接觸橢圓面的短半軸,mm;bn—滾珠與螺母滾道接觸橢圓面的短半軸,mm。

根據(jù)接觸變形理論,橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸為:

(18)

(19)

式中:mas—絲杠的無量綱接觸橢圓長(zhǎng)半軸;man—螺母的無量綱接觸橢圓長(zhǎng)半軸;mbs—絲杠的無量綱接觸橢圓短半軸系數(shù);mbn—螺母的無量綱接觸橢圓短半軸系數(shù);E′—當(dāng)量彈性模量,Pa。

聯(lián)立式(17～19),即可求出滾珠與螺母滾道或絲杠滾道的接觸面積。

對(duì)于螺母1一側(cè),絲杠和螺母的接觸面積為:

(20)

對(duì)于螺母2一側(cè),絲杠和螺母的接觸面積為:

(21)

2.3 磨損深度計(jì)算

聯(lián)立式(15,16,20,21),經(jīng)計(jì)算得到滾珠與滾道的接觸深度為:

(22)

(23)

滾珠與滾道實(shí)際接觸原理圖如圖3所示。

根據(jù)周長(zhǎng)光[17]的研究及圖3可知:滾道與滾珠的接觸橢圓與主要磨損區(qū)域的重疊部分,近似為寬度是2b的矩形,因此,此處筆者引入修正系數(shù)為:

圖3 滾珠與滾道實(shí)際接觸原理圖

(24)

式中:ls—絲杠的有效行程,mm;ln—螺母的有效行程,mm。

故對(duì)于單個(gè)滾珠,其與滾道之間的磨損深度為:

(25)

(26)

反行程時(shí)螺母1和正行程時(shí)螺母2的法向力相同,磨損深度相同;同理,反行程時(shí)螺母2和正行程時(shí)螺母1的法向力相同,磨損深度也相同,因此,對(duì)于整個(gè)運(yùn)行過程而言,絲杠和螺母的磨損深度取兩者的平均值。

由此可得滾珠與滾道的總磨損量為:

δN=i·Z·(Δδs+Δδn)=

(27)

3 滾珠絲杠耐磨損確信可靠性分析

根據(jù)式(27)建立的滾珠絲杠副磨損模型,筆者建立滾珠絲杠副耐磨性的性能裕量m表達(dá)式為:

m=f(x)=δ0-δ=δ0-

(28)

式中:x—軸向載荷Fa、絲杠節(jié)圓直徑Dpw、滾珠直徑dw、適應(yīng)比f、接觸角α、導(dǎo)程角γ、磨損系數(shù)K組成的向量。

根據(jù)可靠性的定義,滾珠絲杠副耐磨損可靠度為:

R=P{m>0}

(29)

根據(jù)經(jīng)驗(yàn),軸向載荷Fa、絲杠節(jié)圓直徑Dpw、滾珠直徑dw、適應(yīng)比f、接觸角α、導(dǎo)程角γ、磨損系數(shù)K參數(shù)服從概率分布,但是其分布的參數(shù)并非定值。由于難以收集到足夠的數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行估計(jì),因此,這些分布的參數(shù)存在不確定性,從而導(dǎo)致滾珠絲杠副耐磨性的性能裕量和可靠度也是不確定變量。

基于此原理,可以采用如下步驟求出滾珠絲杠副耐磨損可靠度的不確定分布:

步驟1。確定滾珠絲杠副磨損量中各參數(shù)服從的概率分布xi～Qi(ai,bi)(i=1,2,…,7,分別代表7個(gè)影響參數(shù))及分布參數(shù)的不確定分布ai～Ri(ci,di)。其中,xi分別代表軸向載荷Fa、絲杠節(jié)圓直徑Dpw、滾珠直徑dw、適應(yīng)比f、接觸角α、導(dǎo)程角γ、磨損系數(shù)K;

步驟4。結(jié)合建立的滾珠絲杠副耐磨損性能裕量模型,對(duì)步驟3中的N組概率分布,分別采用蒙特卡洛法[18]求取滾珠絲杠副耐磨性的可靠度R(k)(k=1,2…,N);

步驟5。給定初值γ=0,求解不確定變量RB<γ的機(jī)會(huì)測(cè)度的上下界ΨU(RB)、ΨL(RB)。

其具體步驟包括:

(1)設(shè)置初始值m1(i)=0、m2(i)=0,其中,i為輸入?yún)?shù)變量xi的下角標(biāo),i=1,2,…,7;

(4)計(jì)算:

(30)

式中:“Λ”—取小符號(hào),即取其中最小值;

(7)不確定變量RB<γ的機(jī)會(huì)測(cè)度的上下界ΨU(RB)、ΨL(RB)分別為ΨU(RB)=RU、ΨL(RB)=RL。

步驟6。令γ=γ+Δγ,重復(fù)步驟5,求取不同確信可靠度的機(jī)會(huì)測(cè)度的上下界,直至γ=1,其中,Δγ為預(yù)設(shè)的取值間隔。

通過這個(gè)算法,可以得到不同可靠度RB取值時(shí)的不確定分布的上下界(ΨL(RB),ΨU(RB))。

根據(jù)定義,滾珠絲杠副耐磨損的平均確信可靠度為:

(31)

(32)

式中:ΔRBi—取值的間隔,即為Δγ;ΨU(RBi)-第i次迭代得到的確信可靠度RBi對(duì)應(yīng)的下界;ΨL(RBi)-第i次迭代得到的確信可靠度RBi對(duì)應(yīng)的下界;n-迭代的總次數(shù)。

通過該算法,還能夠得到不同信度水平下的可靠度區(qū)間,即:.

[VaRL,VaRU]{ζ}=[sup{RB|ΨU(RB)≤ζ},sup{RB|ΨL(RB)≤ζ}]

(33)

式中:ζ—信度水平;VaRL—可靠度區(qū)間的上界;VaRU—可靠度區(qū)間的下界。

4 實(shí)例分析

此處的計(jì)算采用絲杠為1004內(nèi)循環(huán)滾珠絲杠副,假設(shè)滾珠絲杠副的節(jié)圓直徑Dpw、接觸角α、導(dǎo)程角γ、適應(yīng)比f、滾珠直徑dw、軸向載荷Fa、磨損系數(shù)K等參數(shù)服從正態(tài)分布,且參數(shù)的均值服從不確定分布,方差確定,為第一層參數(shù),參數(shù)的均值服從正態(tài)不確定分布,為第二層參數(shù)。

滾珠絲杠副參數(shù)的雙層不確定性表征如表1所示。

表1 滾珠絲杠副參數(shù)的雙層不確定性表征

結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)及工況參數(shù)表如表2所示。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)及工況參數(shù)表

案例仿真用滾珠絲杠副如圖4所示。

圖4 案例仿真用滾珠絲杠副

通過仿真計(jì)算,求得耐磨損可靠度不確定分布圖如圖5所示。

圖5 耐磨損可靠度不確定分布圖

從圖5中可以看出:滾珠絲杠副可靠度的不確定分布上下界都為階梯遞增,通過式算得考慮參數(shù)的不確定性時(shí)滾珠絲杠副確信可靠度為0.656 522,而不考慮其參數(shù)的不確定性,即通過蒙特卡洛法算得其概率可靠度為0.770 07;可見,參數(shù)的不確定性對(duì)滾珠絲杠副的可靠性有很大影響,其參數(shù)的不確定性,會(huì)導(dǎo)致滾珠絲杠副可靠度顯著降低;

同時(shí),從圖5中可以看出,[VaRL,VaRU]{0.9}=[0.649 5,0.999 5],即90%的信度認(rèn)為滾珠絲杠副的耐磨損可靠度位于區(qū)間[0.649 5,0.999 5]之間。

所計(jì)算的滾珠絲杠副耐磨性可靠度如表3所示。

表3 滾珠絲杠副耐磨性可靠度

5 基于兩層參數(shù)不確定的可靠性影響分析

上文通過不確定仿真的方法求出了滾珠絲杠副耐磨損可靠度,計(jì)算結(jié)果表明,參數(shù)的不確定性對(duì)于滾珠絲杠副的可靠度提升具有較大影響?？梢?為了提高其可靠度,保證可靠度滿足使用要求,必須降低各參數(shù)的不確定性。

因此,研究各參數(shù)的不確定性對(duì)滾珠絲杠副耐磨損可靠度的影響程度十分必要。

滾珠絲杠副的耐磨損可靠度主要受軸向載荷Fa、絲杠節(jié)圓直徑Dpw、絲杠和螺母滾道適應(yīng)比f、接觸角α、導(dǎo)程角γ、滾珠直徑dw、磨損系數(shù)K等參數(shù)的影響。筆者將采用上文給出的兩層參數(shù)不確定仿真算法,研究各參數(shù)對(duì)滾珠絲杠副耐磨損可靠性的影響程度。

考慮各參數(shù)不確定性的可靠度不確定分布如圖6所示。

圖6 考慮各參數(shù)不確定性的可靠度不確定分布

從圖6中可以看出:只考慮單參數(shù)后的可靠度不確定分布圖,其階梯變化幅度更小,曲線走勢(shì)更加平緩,說明考慮的不確定因素越多,對(duì)滾珠絲杠副的可靠度影響越明顯;

從不確定分布的變化幅度看,考慮適應(yīng)比、滾珠直徑的不確定性時(shí),其走勢(shì)相對(duì)更加陡峭,其次是考慮接觸角、軸向載荷、節(jié)圓直徑、磨損系數(shù)的不確定性;考慮導(dǎo)程角的不確定性時(shí),其走勢(shì)更加平緩,這說明,在適應(yīng)比、滾珠直徑等因素的不確定影響下,滾珠絲杠副的可靠度分布較為集中,在導(dǎo)程角的不確定性影響下,滾珠絲杠副的可靠度分布較為分散。

由此可見,相對(duì)于適應(yīng)比和滾珠直徑等因素,導(dǎo)程角的不確定性對(duì)滾珠絲杠副的可靠度的影響更大。

為更加直觀地表征各參數(shù)不確定性對(duì)絲杠副耐磨損可靠度的影響程度,筆者通過式(32)求得了各參數(shù)不確定性的確信可靠度,如表4所示。

從表4可以看出:考慮不確定性的參數(shù)個(gè)數(shù)越多,可靠度越小,這說明參數(shù)不確定性的存在不利于滾珠絲杠副可靠性的提升;

表4 各參數(shù)不確定性的確信可靠度

在影響滾珠絲杠副耐磨損可靠性的各參數(shù)中,考慮滾珠直徑的不確定性時(shí),其確信可靠度最大,相對(duì)于不考慮參數(shù)不確定性時(shí),其可靠度下降幅度最小,這說明,滾珠直徑的不確定性對(duì)于滾珠絲杠副耐磨損可靠度的影響最小,其次是適應(yīng)比、軸向載荷、接觸角、磨損系數(shù)、節(jié)圓直徑。而考慮絲杠導(dǎo)程角的不確定性時(shí),可靠度最小,下降幅度最大,可見導(dǎo)程角的不確定性對(duì)滾珠絲杠副的可靠性影響最大。

由此可見,為提高滾珠絲杠副的耐磨損性能,首先必須降低導(dǎo)程角的不確定性,通過改良工藝來保證滾珠絲杠副的導(dǎo)程滿足設(shè)計(jì)要求;其次是提高加工精度,保證節(jié)圓直徑的可靠,降低加工誤差;并且在選材和材料的表面熱處理上加以優(yōu)化,以保證材料的摩損系數(shù)可控,符合設(shè)計(jì)要求。

此外,接觸角、適應(yīng)比和滾珠直徑等參數(shù)的不確定性也對(duì)絲杠的可靠性有較大影響,因此,在設(shè)計(jì)階段也應(yīng)盡量降低其不確定性。

6 結(jié)束語

在傳統(tǒng)的滾珠絲杠副的耐磨損可靠性計(jì)算中,只考慮隨機(jī)不確定性,而未考慮認(rèn)知不確定性,針對(duì)這一問題,筆者基于不確定理論,建立了一種既考慮參數(shù)隨機(jī)不確定性,又考慮認(rèn)知不確定性的滾珠絲杠副耐磨性可靠度模型;

筆者針對(duì)滾珠絲杠副耐磨損可靠度的精確的不確定分布難以求出的問題,基于最大不確定性原理,提出了一種兩層參數(shù)不確定仿真方法。通過該方法,求出了滾珠絲杠副耐磨損確信可靠度和可靠度信度區(qū)間;同時(shí),采用該算法分析了各參數(shù)不確定性對(duì)滾珠絲杠副耐磨損可靠度的影響程度。

研究結(jié)論如下:

(1)參數(shù)不確定性的存在會(huì)顯著降低滾珠絲杠副耐磨損可靠度,不利于產(chǎn)品的可靠性提升;

(2)各參數(shù)的不確定性對(duì)于產(chǎn)品的可靠度影響是疊加的,即參數(shù)的不確定性越多,可靠性越小,越不利于產(chǎn)品可靠性的提升;

(3)在影響滾珠絲杠副的耐磨損可靠度的因素中,導(dǎo)程角的不確定性影響最大,其次是節(jié)圓直徑、磨損系數(shù)、接觸角、軸向載荷、適應(yīng)比,滾珠直徑的影響最小。

因此,應(yīng)改良滾珠絲杠副的加工工藝,減少滾珠絲杠副的導(dǎo)程誤差和節(jié)圓直徑誤差,同時(shí)應(yīng)在選材和表面熱處理上加以優(yōu)化,以使材料的磨損系數(shù)符合設(shè)計(jì)要求。

鑒于當(dāng)前的滾珠絲杠副磨損建模過程中,存在一定程度的簡(jiǎn)化,因此,在后續(xù)的工作中,筆者將進(jìn)一步深入開展?jié)L珠絲杠副磨損特性研究,以完善所當(dāng)前建立的磨損模型和可靠性模型。