巧借整體思想優(yōu)化數(shù)學思維

錢 怡

?江蘇省常熟中學

在數(shù)學解題教學中，教師若僅就題論題，不關(guān)注問題的整體結(jié)構(gòu)，將難以應對復雜多變的數(shù)學題.在數(shù)學教學中，教師要善于用典型的綜合題來引導學生運用適當?shù)慕忸}思路和解題方法來解決難題，進而讓學生擺脫枯燥的死記硬背和生搬硬套，提升學生的綜合能力[1].

利用整體思想從整體和大局出發(fā)，根據(jù)數(shù)學結(jié)構(gòu)特征從整體去分析和思考，進而實現(xiàn)化繁為簡、化難為易的轉(zhuǎn)化，幫助學生厘清思維障礙，從而成功解決問題.

1 整體思想應用的重要性

首先，整體思想著眼于全局，重視整體的開發(fā)和改造，使題目經(jīng)過開發(fā)和改造后結(jié)構(gòu)特點更加清晰，使解題思路更加明朗，有利于解題效率的提升.

其次，運用整體思想解題時往往采用整體代入、整體換元等方法進行求解，使復雜的問題通過構(gòu)造和轉(zhuǎn)化變成了一個整體，這在優(yōu)化解題步驟、優(yōu)化數(shù)學思維上都是一個較大的提升.

最后，整體思想作為常用的解題技巧，在高中數(shù)學中被廣泛地應用，如幾何證明、代數(shù)式的求值等，可以幫助學生厘清解題思路，使解題變得游刃有余.

2 整體思想應用面臨的問題

運用整體思想解題需要學生具有較強的分析能力、構(gòu)造能力和推理能力，而這些能力往往是學生較為欠缺的.究其原因主要是在日常教學中，學生習慣于“灌輸式”的強化訓練，習慣于就題論題，缺乏整體的建構(gòu)能力和分析能力，因此在遇到利用整體思想來解題的問題時顯得力不從心，整體思想的應用步履維艱.基于此，教師的教學形式和學生的學習形式都應該有所改變，應使教學由“重知識”向“重能力”轉(zhuǎn)化，使學習由“被動學”變?yōu)椤爸鲃铀肌?

在教學中，教師要仔細分析教材，研究章節(jié)間的聯(lián)系，善于從整體出發(fā)，讓學生先對相關(guān)知識點有個大輪廓的了解，之后再從局部出發(fā)進行知識的內(nèi)化，以此引導學生從宏觀上去把握知識，樹立宏觀意識，為知識體系的建構(gòu)奠定基礎.

3 整體思想應用的教學實踐

3.1 整體代入

高考主要考查學生的綜合能力，高考中若出現(xiàn)代入法求值的問題時，往往不是簡單代入就可以直接求解的，其主要考查的應是學生的整體代入思想，因此若在求解時發(fā)現(xiàn)其計算量大或很難求解，就必須對比已知和結(jié)論，從已知和結(jié)論中找到聯(lián)系，進而通過整體代入實現(xiàn)化難為簡.

分析：如果求解時直接應用代入法，雖思路簡單但求解困難，故該方法不可取.

3.2 整體換元

換元是數(shù)學解題的常用手段，通過換元可以實現(xiàn)降次、化分為整、化繁為簡的目的，其在方程、函數(shù)、三角問題中的應用較多.

例2求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

評注：此題是利用sinx與cosx的平方關(guān)系，將sinx+cosx看成整體，令sinx+cosx=t，通過換元和轉(zhuǎn)化，使之成為二次函數(shù)求最值的問題，從而實現(xiàn)了化繁為簡.

3.3 設而不求

“設而不求”是整體思想的重要應用，運用該方法可以將學生從復雜的運算中解放出來，通過整體分析、聯(lián)想輕松地解決問題，從計算求解升華至分析求解，有利于解題思路的優(yōu)化.

例3過圓外一點P(a,b)引圓x2+y2=R2的兩條切線，切點分別為A,B，求直線AB的方程.

根據(jù)已知條件求兩切點所在的直線方程首先想到的就是兩點式，但求兩切點坐標非常復雜，故教師帶領學生選擇了其他解決方法.

師：若不求切點A,B的坐標，根據(jù)已知條件你能寫出兩切線的方程嗎？(小組合作求解)

生1：設兩切點為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則切線方程為x1x+y1y=R2，x2x+y2y=R2.

師：根據(jù)已知，兩切線過點P(a,b)，則有x1a+y1b=R2，x2a+y2b=R2.根據(jù)以上信息你能寫出直線AB的方程嗎？

學生通過觀察，得出直線AB的方程為ax+by=R2.

上述兩種解法都應用了“設而不求”的整體思想，通過“設”為已知和未知架橋鋪路.通過整體觀察、分析，規(guī)避求解的過程，這樣既節(jié)省了時間又避免了解題過程中可能產(chǎn)生的錯誤，有利于提高解題準確率.

3.4 整體構(gòu)造

數(shù)學題目具有一定的結(jié)構(gòu)特征，有些結(jié)構(gòu)是“顯性”的，學生可以直接利用原有認知進行求解，而有些結(jié)構(gòu)是“隱性”的，需要結(jié)合已有經(jīng)驗進行轉(zhuǎn)化才能轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生熟悉的數(shù)學模型.對隱性特征的轉(zhuǎn)化需要學生從整體去發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造.

例4sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是( ).

題目乍看上去應該是應用正余弦的和或差公式求解，然仔細分析卻不能直接應用，若進一步轉(zhuǎn)化合并求解則會大大地增加計算量.根據(jù)題目特點可以嘗試應用構(gòu)造法求解.

解：設a=sin20°cos70°+sin10°sin50°，b=cos20°sin70°+cos10°cos50°，則

a+b=sin90°+cos40°=1+cos40°；

評注：因本題缺乏直接應用公式的條件，但已知條件是對稱的，故可通過構(gòu)造b使之與公式建立聯(lián)系，進而整體求解，使解題獲得了事半功倍的效果.

3.5 整體聯(lián)想

整體聯(lián)想主要考查的是學生的思維能力和思維習慣，通過聯(lián)想、分析，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而拓展解題思路，提升解題效率.

依據(jù)常規(guī)解題方法應先求出a，b的值，然后分四種情況進行討論，運算量較大，容易出現(xiàn)錯誤，故可嘗試從整體入手分析.

評注：求解時從結(jié)論入手，將結(jié)論進行通分轉(zhuǎn)化，通過觀察、分析、轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)將a+b和ab分別看成整體，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，可避免繁瑣的分類討論，既節(jié)省了解題時間又優(yōu)化了解題步驟和思路.

總之，數(shù)學題目多變，數(shù)學解題方法亦是如此，在解題時要避免就題論題的生搬硬套，要善于培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力和總結(jié)歸納能力，進而從重知識向重技能轉(zhuǎn)變，以此來提高解題能力，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)，提升創(chuàng)造力.