源于新教材習(xí)題的說題案例及教學(xué)啟示

肖松柏 張 璐

?新疆烏魯木齊市第四十一中學(xué)

2022年4月，市教研中心舉辦了高中數(shù)學(xué)教師說題比賽，要求所選試題必須是人教A版高中數(shù)學(xué)(2019版)必修第一冊(cè)或必修第二冊(cè)中的例題或習(xí)題.目的就是鼓勵(lì)教師學(xué)習(xí)新教材、鉆研新教材，以教材為本，以課程標(biāo)準(zhǔn)為綱開展教學(xué)，糾正以前那種脫離教材搞教學(xué)，忽視教材中典型例題和習(xí)題的不妥做法.本文中以本次說題比賽所選習(xí)題為例，談?wù)剬?duì)新教材習(xí)題的認(rèn)識(shí).

1 說題案例

圖1

1.1 說題目來源

本題選自人教A版高中數(shù)學(xué)(2019版)必修第二冊(cè)第23頁習(xí)題6.2綜合運(yùn)用第15題，主要考查平面向量的線性運(yùn)算.

1.2 說題目考查的核心素養(yǎng)

本題屬于向量問題中的高頻考點(diǎn)，在解題中應(yīng)用平面向量基本定理、向量加減法法則、向量運(yùn)算才能得到解決.考查的核心素養(yǎng)有邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.

1.3 說解題方法

評(píng)析：本證法主要用到向量的加法法則及“算兩次”的方法.

證法2：如圖2，延長EF至點(diǎn)G，使EF=FG.

因?yàn)镕是BC的中點(diǎn)，所以BF=CF.

圖2

因此四邊形EBGF是平行四邊形.

評(píng)析：證法2主要通過構(gòu)造平行四邊形，應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則.

圖3

證法3：如圖3，延長BA,CD交于點(diǎn)O，連接EO,FO.

評(píng)析：證法3主要應(yīng)用了由證法2得出的中線向量結(jié)論，簡化計(jì)算.

圖4

證法4：如圖4，過點(diǎn)B作BG∥DC，使BG=DC，則四邊形BGCD是平行四邊形.

因?yàn)镕為DG的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，所以EF是△AGD的中位線.

1.4 說結(jié)論應(yīng)用

本題結(jié)果可以作為一個(gè)結(jié)論，靈活應(yīng)用該結(jié)論在解題中可以簡化計(jì)算.

圖5

解：如圖5，取AD,AB,BC,CD的中點(diǎn)分別為E,G,F,H.

所以AC=3.

1.5 說變式拓展

如果變換習(xí)題中的四邊形，結(jié)論仍然成立，會(huì)為解決問題帶來很多方便.

這個(gè)結(jié)論稱為中線長定理.即為人教A版高中數(shù)學(xué)(2019年版)必修二第53頁習(xí)題6.4第15題:

△ABC的三邊分別為a,b,c，BC,CA,AB邊上的中線分別記為ma,mb,mc，利用余弦定理證明：

圖6

1.6 說教學(xué)價(jià)值

從本習(xí)題的證明可以得到中線向量結(jié)論，繼而證明中線長定理.向量的分解一直是學(xué)生的難點(diǎn)，從幾道變式題可以看出，學(xué)生只要立足教材，真正理解并體會(huì)有關(guān)解法，對(duì)其相關(guān)的變式問題也很容易解決.因此對(duì)教材中的典型例題、習(xí)題進(jìn)行研究，開展“一題多解、一題多變、多題同解” 的訓(xùn)練，可以提升學(xué)生的能力.本題涉及向量的分解，加減法的計(jì)算，平行四邊形法則的應(yīng)用，是高考的命題熱點(diǎn)，作為例題極具典型性、作為習(xí)題極具訓(xùn)練價(jià)值.

2 教學(xué)啟示

2.1 提高對(duì)教材習(xí)題重要性的認(rèn)識(shí)

本次說題比賽，市教研中心之所以要求必須選擇新教材中的例題或習(xí)題，目的就是要引導(dǎo)教師鉆研新教材、研讀新教材，關(guān)注重點(diǎn)例題和習(xí)題，糾正拋開課本圍繞一本復(fù)習(xí)資料或自編講義教學(xué)的錯(cuò)誤做法.對(duì)于教材在教學(xué)中的作用，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》指出：習(xí)題是教材的重要組成部分，要提高習(xí)題的有效性，科學(xué)、準(zhǔn)確把握習(xí)題的容量、難度.習(xí)題是課堂教學(xué)內(nèi)容的鞏固和深化，也應(yīng)當(dāng)為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供平臺(tái)[1].但在潛意識(shí)中學(xué)生和教師都覺得課本習(xí)題過于簡單而常被忽視，違背了教材設(shè)置習(xí)題的初衷.但在2019年版新教材中習(xí)題設(shè)置進(jìn)行分層，可以滿足不同程度學(xué)生的需要，加之“源于課本、高于課本”是高考命題的一條原則，因而教學(xué)中要提高對(duì)教材習(xí)題重要性的認(rèn)識(shí).

2.2 熟悉習(xí)題設(shè)置，布置作業(yè)有的放矢

教材中的習(xí)題是編寫者為鞏固教材知識(shí)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)要求精心設(shè)計(jì)的，具有基礎(chǔ)性、典型性和發(fā)展性，因此教師必須熟悉習(xí)題設(shè)置，布置作業(yè)有的放矢.教材中每小節(jié)內(nèi)容后都設(shè)置了“練習(xí)”，這類習(xí)題緊扣本節(jié)新知，難度不大，目的是幫助學(xué)生理解和掌握本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，一般在課堂上完成.每一大節(jié)后都設(shè)置了“習(xí)題”，綜合了這一大節(jié)的所有知識(shí)點(diǎn)，具有基礎(chǔ)性、綜合性、探究性的特點(diǎn).“復(fù)習(xí)鞏固”習(xí)題，主要復(fù)習(xí)本大節(jié)的主要知識(shí)點(diǎn)，適合基礎(chǔ)較弱的學(xué)生完成.“綜合運(yùn)用”習(xí)題具有一定的難度和綜合性，適合中等基礎(chǔ)的學(xué)生完成.“拓廣探索”習(xí)題綜合性更強(qiáng)，還具有發(fā)展性，需要引導(dǎo)學(xué)生完成.新教材中習(xí)題的分層設(shè)置，有利于滿足不同基礎(chǔ)學(xué)生的需求，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.

2.3 對(duì)重點(diǎn)習(xí)題適當(dāng)拓展研究

教材中設(shè)置的習(xí)題除了具有鞏固新知的功能，還承載著拓展延伸新知的功能[2].教師可以選擇具有典型性、靈活性、層次性、鞏固性的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究型學(xué)習(xí).比如說題比賽選擇的這道習(xí)題，考慮它有哪些解法，能不能變式，是否隱含有結(jié)論，結(jié)論如何應(yīng)用，等等.又如必修二第53頁“習(xí)題6.4”第10題：你能用三角形的邊和角的正弦表示三角形的面積嗎？這其實(shí)就是正弦定理的面積公式，現(xiàn)在以習(xí)題形式出現(xiàn)，就是要求學(xué)生在證明的基礎(chǔ)上會(huì)靈活應(yīng)用.再如“習(xí)題6.4”第21題是一道研究方案的試題，可以參考必修二第49頁例2.所以學(xué)生和教師都要轉(zhuǎn)變對(duì)教材習(xí)題簡單而被忽視的做法.

2.4 針對(duì)習(xí)題完成情況及時(shí)講評(píng)和評(píng)價(jià)

習(xí)題還具有評(píng)價(jià)功能.教材中的習(xí)題多作為每天的課后作業(yè)，學(xué)生通過完成習(xí)題鞏固消化本節(jié)內(nèi)容，及時(shí)發(fā)現(xiàn)存在的問題，教師及時(shí)批改作業(yè)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)作業(yè)中暴露出來的問題，并及時(shí)講評(píng)，及時(shí)評(píng)價(jià)，可提升基礎(chǔ)較弱學(xué)生的獲得感、自信心，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.同時(shí)通過學(xué)生完成習(xí)題情況反饋進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，達(dá)到教學(xué)相長的目的.