追本溯源：2022年新高考Ⅱ卷第21題解法探究

李中勇 郭萬(wàn)里 秦 君

?四川外語(yǔ)學(xué)院重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校

1 試題再現(xiàn)

(1)求C的方程；

①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|.

2 第(2)問解法分析

思路1：此題涉及直線PQ與雙曲線相交，因此可以利用解析幾何常規(guī)處理方法，先從設(shè)直線著手.設(shè)出直線PQ的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出x1+x2，x1x2.以P，Q的坐標(biāo)為載體，根據(jù)直線PM，QM的斜率，可以利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出PM，QM直線方程，聯(lián)立得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)M的軌跡方程.同時(shí)，可以用點(diǎn)差法研究AB中點(diǎn)N的軌跡.對(duì)照二者的軌跡方程，可以任意選擇①③?②或①②?③或②③?①.

思路2：從條件入手，不同的條件對(duì)應(yīng)不同的解法思路.

(2)參考新人教A版選擇性必修第一冊(cè)(2020年5月第1版)第128頁(yè)習(xí)題3.2拓廣探索第13題,根據(jù)直線PQ與雙曲線相交，并結(jié)合|MA|=|MB|，可以聯(lián)想到中點(diǎn)弦問題.

(3)參考新人教A版選擇性必修第一冊(cè)(2020年5月第1版)第68頁(yè)探究與發(fā)現(xiàn)，根據(jù)①M(fèi)在AB上，及③|MA|=|MB|，可以聯(lián)想到利用直線參數(shù)方程中t的幾何意義和傾斜角α來解決問題.

解法思維導(dǎo)圖如圖1所示.

圖1

3 具體解法

解法1：軌跡探索.

(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.

圖2

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM,yM)，則

設(shè)A(x3,y3)，B(x4,y4)，AB中點(diǎn)為N(x0,y0).

若選擇①②?③.

若選擇①③?②.

若點(diǎn)M,N重合，則k=kAB，所以PQ∥AB.

若選擇②③?①.

因?yàn)镻Q∥AB，k=kAB，則M，N重合，所以M在AB上.

解法2：選擇①③?②，通過尋找點(diǎn)之間的關(guān)系，利用中點(diǎn)和斜率坐標(biāo)表示.

解法3：選擇①③?②，雙曲線的點(diǎn)差法與退化雙曲線(漸近線)的點(diǎn)差法相結(jié)合.

由題意，可設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，M(x0,y0),N為PQ的中點(diǎn).

前面已經(jīng)由點(diǎn)差法得到kAB·kOM=3.

同理可得kPQ·kON=3.

即kAB·kOM=kPQ·kON

綜上可得kAB=kPQ，即PQ∥AB.

解法4：設(shè)M(x0,y0)，則直線PM的方程為

即kAB=kPQ，所以PQ∥AB.

4 思考與延伸

思考：在上述試題解法中，并沒有用到直線AB過雙曲線的右焦點(diǎn)F這一條件，因此直線AB不經(jīng)過雙曲線的焦點(diǎn)F，本題的結(jié)論依然成立.

圖3

(1)求Γ的方程；

(2)如圖3，過原點(diǎn)O作相互垂直的直線l1,l2分別交雙曲線于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn),A，D在x軸同側(cè).設(shè)直線AD與漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線AD使M，N為線段AD的三等分點(diǎn)？若存在，求出直線AD的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.