二項分布中概率最大值理論及其應(yīng)用

楊亭亭

(山東省淄博市沂源縣第一中學(xué))

一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則,此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布,記作X～B(n,p).結(jié)合二項分布的概念可知隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,…,n,那么X取何值時對應(yīng)的概率最大呢? 這是本文著重解決的一個問題,并通過舉例加以具體說明,在解題中靈活運(yùn)用概率最大值理論有利于幫助我們快速、準(zhǔn)確解題(主要是選擇題或填空題,對于解答題可檢驗(yàn)所得結(jié)論是否正確).

1 二項分布中概率最大值理論

一般求解思路:設(shè)X＝k時,對應(yīng)概率最大,則應(yīng)滿足然后通過求解該不等式組,結(jié)合k的取值范圍即可確定k的具體取值.

現(xiàn)在,我們從單調(diào)性的角度出發(fā),探究概率最大值理論.因?yàn)?/p>

所以令P(X＝k＋1)＞P(X＝k),則(n－k)p＞(k＋1)(1－p),解得k＜(n＋1)p－1.

若令P(X＝k＋1)＝P(X＝k),則有(n－k)p＝(k＋1)(1－p),解得k＝(n＋1)p－1.

若令P(X＝k＋1)＜P(X＝k),則有(n－k)p＜(k＋1)(1－p),解得k＞(n＋1)p－1.

據(jù)此分析可知:若(n＋1)p為整數(shù),則

所以當(dāng)X＝(n＋1)p－1或X＝(n＋1)p時,對應(yīng)概率最大;若(n＋1)p不為整數(shù),記(n＋1)p的整數(shù)部分為[(n＋1)p],則易知

所以當(dāng)X＝[(n＋1)p]時,對應(yīng)概率最大.

綜上,二項分布中概率最大值理論:設(shè)隨機(jī)變量X～B(n,p),若(n＋1)p為整數(shù),則當(dāng)X＝(n＋1)p－1或X＝(n＋1)p時,對應(yīng)概率最大;若(n＋1)p不為整數(shù),則當(dāng)X＝[(n＋1)p]時,對應(yīng)概率最大.

2 概率最大值理論應(yīng)用舉例

1)簡單應(yīng)用

例1某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,若X～B(11,0.8),且P(X＝k)最大,則k＝( ).

A.7 B.8 C.9 D.10

解得8.6≤k≤9.6.

又因?yàn)閗∈{0,1,2,…,11},所以k＝9,故選C.

方法2因?yàn)?n＋1)p＝12×0.8＝9.6 不是整數(shù),所以根據(jù)二項分布中概率最大值理論可知:當(dāng)X＝[9.6]＝9時,對應(yīng)概率最大.從而k＝9,故選C.

例2某人投籃命中的概率為0.3,投籃15次,最有可能命中_________次.解得3.8≤k≤4.8.

又因?yàn)閗∈{0,1,2,…,15},所以k＝4,故最有可能命中4次.

方法2因?yàn)?n＋1)p＝16×0.3＝4.8不是整數(shù),所以根據(jù)二項分布中概率最大值理論可知:當(dāng)X＝[4.8]＝4 時,對應(yīng)概率最大,故最有可能命中4次.

2)綜合應(yīng)用

例3已知隨機(jī)變量X～B(6,0.8),若P(X＝k)最大,則D(kX＋1)＝_________.

解得4.6≤k≤5.6.

又因?yàn)閗∈{0,1,2,…,6},所以k＝5.于是

方法2因?yàn)?n＋1)p＝7×0.8＝5.6不是整數(shù),所以根據(jù)二項分布中概率最大值理論可知:當(dāng)X＝[5.6]＝5時,對應(yīng)概率最大.從而依據(jù)題意可得k＝5.于是

例4(多選題)已知隨機(jī)變量ξ～B(2n,p),n∈N?,n≥2,0＜p＜1,記f(t)＝P(ξ＝t),其中t∈N,t≤2n,則( ).

綜上,選ABD.

例5有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù),當(dāng)投擲到第35次時,記錄到此時點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)5次.若繼續(xù)再進(jìn)行65次投擲試驗(yàn),則當(dāng)投擲到第100次時,點(diǎn)數(shù)1 一共出現(xiàn)的次數(shù)為________的概率最大.

綜上,關(guān)注二項分布中概率最大值理論的推導(dǎo)過程,有利于強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及邏輯推理能力;關(guān)注二項分布中概率最大值理論的解題應(yīng)用,有助于學(xué)生簡捷求解有關(guān)問題.故曰,學(xué)無止境,且學(xué)且悟且應(yīng)用.

(完)