淺談高中數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的提升

申媛媛

(渦陽(yáng)縣第二中學(xué) 安徽亳州 233600)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。新課標(biāo)對(duì)高中數(shù)學(xué)所有必修和選修知識(shí)點(diǎn)，都提出了重點(diǎn)提升邏輯推理素養(yǎng)的學(xué)業(yè)要求。在以往灌輸式教學(xué)模式下，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性不強(qiáng)，學(xué)習(xí)效率不高，邏輯推理素養(yǎng)不能得到有效提升。因此，教師需要轉(zhuǎn)變教學(xué)模式，采取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略提升學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)。

一、高中生邏輯推理素養(yǎng)提升的價(jià)值

(一)邏輯推理素養(yǎng)的育人價(jià)值

數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征是邏輯的嚴(yán)密性，邏輯推理素養(yǎng)是邏輯嚴(yán)密性的重要體現(xiàn)，在形成和發(fā)展人的理性思維和科學(xué)精神中發(fā)揮著重要的作用。許多學(xué)生在進(jìn)入工作后會(huì)發(fā)現(xiàn)，平時(shí)真正用到數(shù)學(xué)中的概念、公式、定理的很少，但是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中養(yǎng)成的言必有據(jù)、合乎邏輯、條理清晰的數(shù)學(xué)習(xí)慣，卻在發(fā)揮著大作用。

(二)邏輯推理素養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值

在數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得和數(shù)學(xué)體系的建立中，邏輯推理起到重要的作用。數(shù)學(xué)概念的形成，需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行抽象，再利用邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)律性進(jìn)行準(zhǔn)確表達(dá)。數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得，需要對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行觀察，再運(yùn)用類比推理和歸納推理大膽猜想，通過(guò)演繹推理小心求證。因此，通過(guò)典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，理解數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程，通過(guò)自主探索活動(dòng)，“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識(shí)，形成用嚴(yán)謹(jǐn)推理的方式分析和解決問(wèn)題的習(xí)慣，為學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、高中生邏輯推理素養(yǎng)水平影響因素

影響高中生在數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中邏輯推理素養(yǎng)提升的因素趨于多樣化，但主要來(lái)自以下三個(gè)方面：

(一)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

當(dāng)下的教育越來(lái)越關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、態(tài)度對(duì)學(xué)習(xí)的影響，從而提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。一些學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣不高、自信心不足，這些情緒上的問(wèn)題都會(huì)影響學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)的提升。學(xué)生的好奇心和求知欲能夠被學(xué)習(xí)興趣強(qiáng)烈喚起，生動(dòng)有趣、個(gè)性活潑的數(shù)學(xué)課堂，能夠引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、自發(fā)地參與到課堂中去，學(xué)生樂(lè)于參與其中，“各路人馬”才能夠大顯神通。

(二)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，總會(huì)遇到一些缺乏靈活性、創(chuàng)新性的“書呆子”型學(xué)生。這些學(xué)生表現(xiàn)出的邏輯推理素養(yǎng)水平明顯偏低，學(xué)習(xí)知識(shí)靠記憶，解題技能靠訓(xùn)練，勤于模仿，卻懶于思考，殊不知記憶會(huì)消減，訓(xùn)練會(huì)生疏。這些學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略導(dǎo)致他們并沒(méi)有真正掌握數(shù)學(xué)中的概念和結(jié)論，更談不上使用這些概念和結(jié)論解題了。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中幾乎所有的新知識(shí)，都是由舊知識(shí)推導(dǎo)出來(lái)的，以前的知識(shí)也很重要，知識(shí)儲(chǔ)備不足，推理也會(huì)無(wú)從下手。例如通過(guò)觀察、分析、歸納、推理得到的知識(shí)，學(xué)生能夠牢固掌握，再用這些知識(shí)去推理新知識(shí)，不但使知識(shí)儲(chǔ)備更多，還訓(xùn)練了思維，邏輯推理能力自然就提高了。教師在日常教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生制定適合自己的學(xué)習(xí)策略，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，從而提高邏輯推理素養(yǎng)。

(三)教師教學(xué)策略

高中生數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的提升，需要學(xué)生自身的努力，更需要教師的正確引導(dǎo)。教師日常教學(xué)中的教學(xué)方法、教學(xué)模式、教學(xué)思路等會(huì)影響到每一個(gè)學(xué)生。老師新奇有趣的授課方式、多樣化的授課內(nèi)容、清晰嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖谡n思路，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，讓學(xué)生真正融入到課堂教學(xué)中去，發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)。例如，探究式教學(xué)就可以凸顯學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性，增強(qiáng)課堂的知識(shí)性和趣味性，促進(jìn)邏輯推理素養(yǎng)的有效生成和落地。

三、高中生邏輯推理素養(yǎng)提升的教學(xué)策略

(一)巧妙創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)求知欲

時(shí)常聽到學(xué)生抱怨：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用，夠我買菜就行了！”類似的問(wèn)題已經(jīng)存在于學(xué)生心中很久了，買菜用到的是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，可是買什么樣的菜就要用到邏輯推理思維了，通過(guò)情境將邏輯推理與生活中的問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，數(shù)學(xué)中的邏輯推理能力在生活中的地位就凸顯出來(lái)了。

例如，在教學(xué)新教材選擇性必修第三冊(cè)第七章第一節(jié)“條件概率”時(shí)，可以給出這樣一個(gè)問(wèn)題情境：如果有種疾病，人群中總體發(fā)病率是萬(wàn)分之一，針對(duì)這種疾病的檢查，準(zhǔn)確率高達(dá)99.95%。張三被檢查為陽(yáng)性，請(qǐng)問(wèn)張三患病的概率比較大還是比較??？

此時(shí)學(xué)生會(huì)傾向于認(rèn)為張三很大可能是患病了。此時(shí)老師可以進(jìn)一步渲染一下氛圍：“這種病發(fā)病率如此之低，在科技發(fā)達(dá)的今天，儀器檢測(cè)精度又如此之高，這個(gè)張三估計(jì)是要倒霉了！”大家肯定也感覺這時(shí)候張三可以回家吃頓好的了，但結(jié)果是張三得病的概率不足六分之一。學(xué)生對(duì)于這個(gè)結(jié)果會(huì)非常疑惑，想要知道為什么，此時(shí)教師再進(jìn)一步帶領(lǐng)學(xué)生分析情境(多媒體展示很多抽象出來(lái)的藍(lán)色小人，假設(shè)有一萬(wàn)人)，按照情境中的敘述，這10000個(gè)人中平均會(huì)有1個(gè)人患病，這一個(gè)人被檢測(cè)為陽(yáng)性概率為99.95%(多媒體中第一個(gè)藍(lán)色小人變紅)，剩下9999個(gè)正常的人，相應(yīng)地被測(cè)出來(lái)為陰性的概率是99.95%，這就意味著正常人被檢測(cè)出陽(yáng)性的概率為萬(wàn)分之五，那么如果將這9999個(gè)人都拉去檢測(cè)，大約會(huì)有5人會(huì)被誤診為陽(yáng)性，但實(shí)際上他們?yōu)檎５娜?多媒體中五個(gè)藍(lán)色小人變黃)，那么現(xiàn)在被檢測(cè)為陽(yáng)性的有六個(gè)人，而這六個(gè)人中真正患病的只有一個(gè)人，于是在被檢測(cè)為陽(yáng)性的情況下，真正患病的概率大約只有六分之一，如果進(jìn)行精確計(jì)算的話，結(jié)果會(huì)比六分之一還要小一點(diǎn)。這種在張三被檢測(cè)為陽(yáng)性的前提下，求他患病的概率就是今天要學(xué)習(xí)的“條件概率”問(wèn)題。

這樣3分鐘左右的情境引入，得到顛覆學(xué)生認(rèn)知的結(jié)果，引發(fā)學(xué)生思考，將生活中的問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)“條件概率”聯(lián)系起來(lái)，將感性的生活材料理性化，轉(zhuǎn)變學(xué)生思考問(wèn)題的方式，進(jìn)而產(chǎn)生邏輯推理的愿望，養(yǎng)成重依據(jù)、講道理的思維習(xí)慣。

(二)優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，理清思維脈絡(luò)

新教材更加注重單元教學(xué)，注重知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，注重完整知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建。因此，在進(jìn)行日常備課時(shí)，教師要理清單元、模塊的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)，從學(xué)生已有的知識(shí)中尋求增長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)，逐漸實(shí)現(xiàn)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的提升。

例如，在進(jìn)行新教材必修第二冊(cè)第六章第三節(jié)“平面向量基本定理”教學(xué)時(shí)，可以提出這樣一些問(wèn)題：

問(wèn)題1：你們知道音樂(lè)有幾個(gè)基本音符嗎？不同的音樂(lè)會(huì)給我們不一樣的感覺，但所有的音樂(lè)都只有7個(gè)基本音符。那么在平面向量的世界里，能不能找到一些向量來(lái)表示所有的向量呢？

問(wèn)題2：在數(shù)乘向量中我們還學(xué)到了一個(gè)重要的定理：向量共線定理，向量共線定理中向量b與非零a共線的等價(jià)條件是什么？

問(wèn)題3：從這個(gè)定理我們知道，位于同一條直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示。如果給定一個(gè)非零向量a，位于同一直線上的b可以由a來(lái)確定呢？

問(wèn)題4：這是在一維直線上，在二維平面中有沒(méi)有類似的結(jié)論？也就是說(shuō)在平面中任何一個(gè)向量可不可以由一些向量來(lái)表示？用一個(gè)向量表示可不可以？那既然是二維平面上，兩個(gè)可不可以呢？

問(wèn)題5：兩個(gè)向量要是共線就不可以，這樣又回到一維直線上去了，那兩個(gè)不共線的向量可不可以表示平面內(nèi)所有的向量呢？

問(wèn)題6：兩個(gè)共線的向量如何表示平面內(nèi)所有的向量呢？

問(wèn)題7：兩個(gè)向量表示一個(gè)向量，我們其他學(xué)科有沒(méi)有學(xué)過(guò)類似的過(guò)程？

問(wèn)題8：物理中兩個(gè)力可以合成一個(gè)力，那反過(guò)來(lái)，一個(gè)力是不是可以分解為兩個(gè)力？

問(wèn)題9：力的合成與力的分解都需要作平行四邊形，這兩種作平行四邊形的方式一樣嗎？

問(wèn)題10：我們的向量可不可以也這樣，通過(guò)作平行四邊形，把一個(gè)向量分解到兩個(gè)不共線的向量上去呢？

這里通過(guò)類比音樂(lè)的“基本音符”得到平面向量中也會(huì)有“基本向量”，通過(guò)類比“向量共線定理”得到平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量可以表示所有的向量，通過(guò)類比力的分解過(guò)程得到可以通過(guò)作平行四邊形將一個(gè)向量分解到兩個(gè)不共線的向量上去。這里三次用到類比的思想，根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn)，讓多數(shù)學(xué)生想去“試一試”，能去“跳一跳”。問(wèn)答方式能夠激發(fā)求知欲，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動(dòng)參與。此外，教師還可以借助思維導(dǎo)圖等，幫助學(xué)生理清思維脈絡(luò)，培養(yǎng)邏輯推理能力。

(三)注重交流與評(píng)價(jià)，培養(yǎng)思維表達(dá)能力

數(shù)學(xué)中的邏輯推理主要是依靠數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行的，學(xué)生如果不能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就無(wú)法表達(dá)自己思考的過(guò)程，就會(huì)制約學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的提升。而新版數(shù)學(xué)教材(人教2019年版)必修和選擇性必修部分刪掉了“推理與證明”這部分內(nèi)容，這讓培養(yǎng)學(xué)生的思維表達(dá)沒(méi)有了抓手。此時(shí)，在日常教學(xué)中，教師可以多給學(xué)生一些表達(dá)思維過(guò)程的機(jī)會(huì)，加強(qiáng)生生交流、師生交流，糾正學(xué)生在邏輯用語(yǔ)使用上的錯(cuò)誤，規(guī)范數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，提高用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)思維過(guò)程的能力。

例如，教師在教學(xué)“平面向量基本定理”時(shí)，可以展示課堂探究問(wèn)題：設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)與e1、e2都不共線的向量，將a按e1、e2的方向分解。問(wèn)一問(wèn)學(xué)生有什么發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生動(dòng)手畫一畫。教師借助希沃授課助手展示學(xué)生成果，學(xué)生講解分解過(guò)程。但這里作的平行四邊形不是所有的情況，對(duì)于其他情況下這個(gè)式子不是還成立？可以讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，畫完后同桌之間交流，教師再通過(guò)希沃授課助手展示一位同學(xué)交流成果，學(xué)生到講臺(tái)講解每種情況。教師再運(yùn)用幾何畫板動(dòng)畫演示a在e1、e2的右上、左上、左下、右下區(qū)域，與其中一個(gè)向量共線，以及a為零向量時(shí)都可以表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，說(shuō)明了表示形式a=λ1e1+λ2e2中系數(shù)的存在性，但是表示形式中系數(shù)的唯一性，只是看到幾何畫板演示的結(jié)果，如何對(duì)系數(shù)的唯一性進(jìn)行證明，作為平面向量基本定理學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，可以讓學(xué)生進(jìn)行小組合作交流，再到講臺(tái)上分享交流成果。最后教師給出唯一性的規(guī)范證明過(guò)程。

這里教師三次讓學(xué)生展示推理過(guò)程，充分留給學(xué)生論述邏輯推理過(guò)程的機(jī)會(huì)。與此同時(shí)，臺(tái)下學(xué)生和教師可以隨時(shí)提出自己的質(zhì)疑，臺(tái)上學(xué)生解答，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身的不足之處。然后教師再適當(dāng)點(diǎn)撥、評(píng)價(jià)，糾正學(xué)生在邏輯語(yǔ)言使用上經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤，最后教師規(guī)范學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，講清楚證明方法的解題步驟、基本規(guī)則和思維方式等。這里對(duì)于表示形式中系數(shù)的唯一性的證明采用的是反證法，教師在提供規(guī)范證明過(guò)程的同時(shí)，可以滲透反證法的解題步驟和思路，引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述思維過(guò)程、書寫解題步驟。

(四)注重思想方法教學(xué)，提高思維水平

數(shù)學(xué)思想方法具有概括性和普適性。對(duì)于數(shù)學(xué)中的一些知識(shí)點(diǎn)，教師在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生掌握一些思想方法。這樣能讓學(xué)生更快速地獲取知識(shí)，更深刻地理解知識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中要注意滲透解題方法、拓寬解題思路、提高解題能力，提升邏輯推理素養(yǎng)。

例如，在立體幾何中，要證明線面平行時(shí)，可以根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為線線平行。例如：如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)。求證：EF∥平面BCD。

在教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路，學(xué)生會(huì)根據(jù)點(diǎn)E、F分別為所在邊中點(diǎn)這一特點(diǎn)，想到連接BD,利用三角形中位線定理，得到線線平行，再根據(jù)線在面外，得證結(jié)論。教師在教學(xué)中要注意捕捉學(xué)生說(shuō)出的“轉(zhuǎn)化”等字眼，并給予表?yè)P(yáng)并強(qiáng)調(diào)。因?yàn)閹缀螆D形的平面畫法平行性保持不變，可以試著引導(dǎo)學(xué)生將直線向要平行的平面中“推”，找到“平移法”證明線面平行問(wèn)題。教師可以再進(jìn)一步追問(wèn)，將點(diǎn)E、F的位置變到所在線段上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)，還有沒(méi)有這一結(jié)論？將平面ABD繞直線BD旋轉(zhuǎn)，但始終保持四邊形為空間四邊形，還有沒(méi)有這一結(jié)論？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些方法的普遍適用性。因此，在日常教學(xué)中教師要滲透“類比”“歸納”“轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”等思想的教學(xué)，并加以應(yīng)用強(qiáng)化，從而提高邏輯推理水平。

總之，培養(yǎng)高中階段學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)非常重要，教師要對(duì)此引起足夠的重視，在日常教學(xué)中。采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，拓展思維結(jié)構(gòu)，提升邏輯推理素養(yǎng)。