雙通道旋轉(zhuǎn)輸流管臨界流速和振動模態(tài)分析1)

張 博 鄭昊楷 孫東生 丁 虎 陳立群,3)

* (長安大學(xué)理學(xué)院,西安 710064)

? (上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院,上海 200444)

引言

航空發(fā)動機是飛機的心臟,是國家工業(yè)基礎(chǔ)、科技水平和國防實力的重要標(biāo)志.渦輪葉片是航空發(fā)動機中最重要的關(guān)鍵部件之一,其可靠性直接影響發(fā)動機能否正常.已有研究表明[1-4],航空發(fā)動機故障原因中62%以上是由于渦輪葉片振動過量,且由于高溫、高壓工況下通過蛇形冷卻通道進(jìn)行降溫的設(shè)計,葉片通道內(nèi)部受到科氏力、離心力等因素的相互作用,具有復(fù)雜的流固耦合效應(yīng).因此,研究含蛇形冷卻通道的旋轉(zhuǎn)葉片動力學(xué)特性,對發(fā)動機葉片的合理化設(shè)計與減振降噪具有重要意義.

由于旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)在工程中的廣泛應(yīng)用,尤其是在航空發(fā)動機領(lǐng)域的核心地位,從上世紀(jì)四50 年代以來,旋轉(zhuǎn)葉片的動力學(xué)行為研究吸引了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.如Carnegie[5]在1959 年首次研究了旋轉(zhuǎn)葉片的自振頻率.張偉等[1]將葉片簡化為功能梯度材料薄壁梁,通過伽遼金法研究了系統(tǒng)在空氣熱彈性載荷下的動力學(xué)行為.此外,許多學(xué)者[6-11]將葉片簡化為大變形柔性薄板.如趙飛云等[12]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論和Jourdain 速度變分原理,研究高速旋轉(zhuǎn)下的柔性矩形薄板的耦合動力學(xué)模型.鄭彤等[13]、蔣建平等[14],利用Langrage 方程法得到系統(tǒng)的一次近似耦合動力學(xué)方程.

以上研究,將旋轉(zhuǎn)葉片簡化為旋轉(zhuǎn)的懸臂梁或旋轉(zhuǎn)的大變形柔性薄板,但均未考慮內(nèi)部流體對葉片動力學(xué)特性的影響.由前人的研究[15-21]可知內(nèi)部流體會對葉片的振動產(chǎn)生復(fù)雜的影響,將葉片簡化為旋轉(zhuǎn)懸臂輸液管模型可以從宏觀上更深入地研究流體的某一特性對旋轉(zhuǎn)葉片的動力學(xué)影響.Chen[22]在1971 年對輸送脈動流體的管道振動進(jìn)行研究,并通過數(shù)值方法確定穩(wěn)定性邊界.Paidoussis[23]在1987 年對輸液管的振動作了詳細(xì)的論述,并指出發(fā)散失穩(wěn)和顫振失穩(wěn)兩種值得深入研究的現(xiàn)象.后續(xù)有Rousselet 等[24]、Lundgren 等[25-27]和徐鑒等[28-29]先后導(dǎo)出了懸臂輸液管的非線性運動方程.

Paidoussis 等[30]、黃玉盈等[31]和Ibrahim[32-33]分別在1993 年、1998 年和2010 年對輸液管模型動力學(xué)模型的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了詳細(xì)的綜述.王乙坤等[34]研究了脈動內(nèi)流作用下的輸液管振動問題.Wang等[35]用牛頓法和龍格-庫塔法對波紋輸液管的動力學(xué)行為進(jìn)行理論和數(shù)值分析,發(fā)現(xiàn)波紋總數(shù)和波紋幅度對輸液管的動力學(xué)行為有較大影響.宮亞飛等[36]利用哈密頓原理和伽遼金法推導(dǎo)了含有初始彎曲的功能梯度輸液管的非線性動力學(xué)方程,分析超臨界功能梯度輸液管的自由振動特性.Oh 等[37]利用瑞麗利茲法推導(dǎo)含冷卻通道的旋轉(zhuǎn)葉片的熱彈動力耦合模型,研究冷卻效應(yīng)下系統(tǒng)的固有頻率與拉伸特性.張博等[38]基于Langrage 原理和假設(shè)模態(tài)法研究不同端部集中質(zhì)量、轉(zhuǎn)速對旋轉(zhuǎn)輸液管臨界流速的影響及特定參數(shù)組合下的內(nèi)共振現(xiàn)象.

通過文獻(xiàn)調(diào)研不難發(fā)現(xiàn),在內(nèi)冷葉片研究領(lǐng)域,考慮內(nèi)流作用對系統(tǒng)振動特性影響的報道較少,文獻(xiàn)[38]中雖開展了相關(guān)研究,但只局限于單冷卻通道模型.為了更貼合包含多條冷卻通道且通有流體介質(zhì)的先進(jìn)內(nèi)冷葉片工程實例[39],本文在文獻(xiàn)[38]基礎(chǔ)上,引入葉片換熱特性研究[40]中對內(nèi)部通道的簡化方式,將葉片簡化為含雙輸液通道的旋轉(zhuǎn)懸臂輸液管,采用能量法建立其動力學(xué)模型,揭示包含多條冷卻通道的旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)中,冷卻通道內(nèi)流體流動對葉片動力學(xué)特性的影響規(guī)律.

1 動力學(xué)方程推導(dǎo)

本文將含蛇形冷卻通道的渦輪葉片簡化為如圖1 所示長為L的兩通道旋轉(zhuǎn)懸臂輸流管,固接在半徑r的中空圓柱上以常數(shù)Ω旋轉(zhuǎn),截面高為h,寬為b,單位長度質(zhì)量為m,兩通道半徑均為r0,兩通道軸線與輸流管軸線距離均為d,兩通道內(nèi)流體的單位長度質(zhì)量分別為M1,M2,相對通道的流速分別為常數(shù)U1與U2.以中空圓柱中心O點為原點,建立全局坐標(biāo)系XYZ,單位方向向量分別為i,j,k.以輸流管中軸線與圓柱側(cè)面的交點為o點,沿軸線方向為x軸,建立隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系xyz,單位方向向量分別為i′,j′,k′,軸線上任意一點在t時刻的x,y方向位移分量分別用w1(x,t)和w2(x,t)表示,由變形引起的轉(zhuǎn)角為θ.為了簡化分析,引入以下假設(shè): (1)忽略輸流管剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響;(2)忽略輸流管在z方向的變形,即振動發(fā)生在XY平面內(nèi);(3)兩通道內(nèi)的流體均為為定常不可壓縮的無黏流體;(4)輸流管是均勻、各向同性的線彈性材料.

圖1 含兩通道的旋轉(zhuǎn)輸流管Fig.1 Sketch of a rotating cantilever double channel pipe

在全局坐標(biāo)系下,輸流管上任意一點的速度矢量為

令y=0 可表示輸流管中軸線上任意一點的速度矢量為

則輸流管的動能為

輸流管因旋轉(zhuǎn)運動而產(chǎn)生的軸向收縮勢能[41]為

輸流管的變形勢能為

式中,EI為輸流管的抗彎剛度,Ap為截面面積.在全局坐標(biāo)系下,兩通道內(nèi)流體的速度分別為

兩通道內(nèi)流體的動能為

根據(jù)Euler-Bernoulli 梁理論,在隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下,通道1(y=d)和通道2(y=?d)中軸線上任意一點的位置矢量為

在輸流管開放系統(tǒng)中,輸流管做無窮小變形運動下,流體對輸流管做的功可由文獻(xiàn)[42]得

則旋轉(zhuǎn)輸流管開放系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)為

本文兩通道旋轉(zhuǎn)懸臂輸流管的邊界條件為

應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法離散系統(tǒng)的兩個變形分量

式中,qi(t) 代表系統(tǒng)在相應(yīng)方向的廣義位移,N1,N2為選取的模態(tài)函數(shù)個數(shù),?i(x)為滿足系統(tǒng)位移邊界條件的模態(tài)函數(shù)

其中參數(shù)βl為頻率方程 c os(βlL)ch(βlL)=?1的根.

根據(jù)Lagrange 原理,得到系統(tǒng)矩陣形式的動力學(xué)方程

為了使研究結(jié)果具有普遍性,定義以下無量綱參數(shù)

其中,α0,α1,α2分別表示輸流管及兩通道內(nèi)流體的單位長度質(zhì)量權(quán)重;τ,κ,Ω*分別表示無量綱時間、長細(xì)比與無量綱轉(zhuǎn)速;u1和u2分別表示兩通道中流體的無量綱流速.

得到無量綱化后的系統(tǒng)動力學(xué)方程為

其中質(zhì)量子陣、阻尼子陣、陀螺子陣、剛度子陣和廣義力子陣見附錄.

2 復(fù)模態(tài)分析

采用降階擴維的方法求解系統(tǒng)的特征值,為簡化方程,引入以下向量與矩陣

由于本文研究的是自由振動問題,方程可簡化為

設(shè)其通解為

將其代入式(22),得到關(guān)于實值矩陣的一般特征值問題

求解得到系統(tǒng)呈復(fù)共軛出現(xiàn)的特征根和特征向量

式中,σr為阻尼因子,ωr為固有頻率.因此,特征矢量矩陣為

由式(16)、式(29)與式(30)可得輸液管橫向位移的第r階模態(tài)響應(yīng)為

式中單劃線與雙劃線部分分別代表了阻尼因子和相位變化對輸流管橫向位移模態(tài)響應(yīng)的影響,為表述方便,下文使用符號和分別表示上述兩因素歸一化模態(tài).

3 收斂性研究與對比驗證

本文的系統(tǒng)參數(shù)選取參考文獻(xiàn)[38],在后文中,若無特別說明,系統(tǒng)的無量綱參數(shù)設(shè)置為:α0=0.675,α1=0.1625,α2=0.1625,γ=0.5,κ=61.94,Ω*=5,δ=0.012.

圖2 研究了假設(shè)模態(tài)法的收斂性,在不同試探函數(shù)個數(shù)下,系統(tǒng)的特征根軌跡圖相似,臨界流速數(shù)值存在微小差別.當(dāng)試探函數(shù)個數(shù)取15 時,臨界流速收斂.在后文的數(shù)值算例中均取N1=N2=15.由圖可知,當(dāng)流體流速較小時,流體引起了系統(tǒng)各階模態(tài)的阻尼效應(yīng).隨著流速的增加,第1 和3 階模態(tài)軌跡相繼穿越橫軸,預(yù)示著輸流管1 階和3 階模態(tài)將發(fā)生顫振失穩(wěn),但第2 階模態(tài)始終未發(fā)生失穩(wěn).

圖2 不同試探函數(shù)個數(shù)下前3 階特征根軌跡曲線 (Ω*=0)Fig.2 The trajectories of the first three eigenvalues for different trail function numbers (Ω*=0)

以文獻(xiàn)[43]中兩端簡支的單通道輸流管系統(tǒng)為研究對象,得到該系統(tǒng)的前兩階特征根軌跡曲線,如圖3 所示.將所得的前兩階臨界流速與文獻(xiàn)[43]的結(jié)果相比較,如表1 所示,兩者結(jié)果吻合,驗證了本文建模方法的正確性.

表1 兩端簡支單通道輸流管系統(tǒng)的前兩階臨界流速對比Table 1 Comparison of the first two critical flow velocities for simply supported flow pipe

圖3 兩端簡支的單通道輸流管系統(tǒng)的前兩階特征根軌跡Fig.3 The trajectories of the first two eigenvalues for simple supported flow pipe

4 結(jié)果分析與討論

采用雙通道模型更貼合含多條冷卻通道的先進(jìn)內(nèi)冷葉片工程實際,在此基礎(chǔ)上開展的動力學(xué)特性研究更具有參考價值.圖4 對比了單位時間流量相同時,中心單通道模型與對稱雙通道模型的系統(tǒng)臨界流速值.其中,單通道的截面半徑為(r0為雙通道模型的截面半徑),兩模型的長細(xì)比分別為κsingle=59.75,κtwin=74.05,其余參數(shù)與前文一致.由圖可見,在不同轉(zhuǎn)速下,雙通道模型的臨界流速值均大于單通道模型,且隨著轉(zhuǎn)速的增加,雙通道模型的臨界流速值也比單通道模型增長得更快.

圖4 單、雙通道模型的臨界流速隨轉(zhuǎn)速的變化曲線Fig.4 The curves of critical flow velocity with rotating speed for the single/twin-channel models

圖5 研究了無量綱流速u1和u2的比例分別為1:1,1:2,1:3,1:4 時系統(tǒng)的特征根軌跡圖,其中圖中所標(biāo)識的流速代表通道2 中流體流速.可以發(fā)現(xiàn)在不同流速比值下,得到的系統(tǒng)特征根軌跡圖曲線形狀大致相同,隨著比值減小,第1 階模態(tài)和第3 階模態(tài)在發(fā)生失穩(wěn)時的臨界流速值增大,第2 階模態(tài)始終未發(fā)生失穩(wěn).

圖5 不同流速比下前3 階特征根軌跡(ucr=u2,Ω*=5)Fig.5 The trajectories of the first three eigenvalues for different velocity ratios (ucr=u2,Ω*=5)

從系統(tǒng)的動力學(xué)方程不難發(fā)現(xiàn),通道內(nèi)流體的流動與管道整體的旋轉(zhuǎn)運動均會給系統(tǒng)引入陀螺效應(yīng),即本文建立的動力學(xué)模型為典型的雙陀螺系統(tǒng).圖6 研究了轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)特征根軌跡的影響.由圖6 可見,轉(zhuǎn)速第1 階模態(tài)的特征根軌跡影響較小,并始終只存在一個臨界流速.而隨著轉(zhuǎn)速的提高,系統(tǒng)的第2,3 階特征根軌跡繞圈現(xiàn)象越來越顯著,并會多次穿越虛軸,預(yù)示流速變化過程中系統(tǒng)的第2,3 階模態(tài)將經(jīng)歷失穩(wěn)→穩(wěn)定→失穩(wěn)的復(fù)雜動力學(xué)歷程,產(chǎn)生該現(xiàn)象是由于旋轉(zhuǎn)運動引入的陀螺效應(yīng)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響.為了進(jìn)一步研究這一現(xiàn)象,控制轉(zhuǎn)速不變,在圖7 中繪制了系統(tǒng)特征根軌跡隨長細(xì)比的演變規(guī)律.可以發(fā)現(xiàn),隨著κ增大,系統(tǒng)第2,3 階模態(tài)特征根軌跡的繞圈現(xiàn)象逐漸消失,當(dāng)κ足夠大時,第2 階模態(tài)不再發(fā)生失穩(wěn),第3 階特征根軌跡只穿越一次虛軸,只存在一個臨界流速,類似于經(jīng)典的懸臂輸流管模型[15].實際上,隨著κ增大,旋轉(zhuǎn)運動引起的管道軸向與橫向間的陀螺耦合效應(yīng)逐漸減弱[44],系統(tǒng)雙陀螺效應(yīng)中通道內(nèi)流體的流動引起的陀螺效應(yīng)成為主導(dǎo)因素,因而系統(tǒng)表現(xiàn)出類似非旋轉(zhuǎn)的懸臂輸流管的動力學(xué)行為.

圖6 不同轉(zhuǎn)速下前3 階特征根軌跡曲線(κ=35)Fig.6 The trajectories of the first three eigenvalues for different rotating speeds (κ=35)

圖7 不同長細(xì)比下前3 階特征根軌跡曲線(Ω*=5)Fig.7 The trajectories of the first three eigenvalues for different slenderness ratios (Ω*=5)

圖8 揭示了相位變化對輸流管橫向位移前3 階模態(tài)響應(yīng)的影響.由圖可見,陀螺效應(yīng)使得系統(tǒng)不同位置的響應(yīng)出現(xiàn)相位差.與實模態(tài)系統(tǒng)振動呈現(xiàn)駐波特性不同,復(fù)模態(tài)系統(tǒng)振動呈現(xiàn)出行波特性,即出現(xiàn)“節(jié)點”移動現(xiàn)象.

圖8 相位變化對前3 階模態(tài)響應(yīng)的影響(u1=u2=8,Ω*=10)Fig.8 The curves of the first three modal responses for different phase changes (u1=u2=8,Ω*=10)

圖9(a)～ 圖9(c)給出了3 組不同流速和轉(zhuǎn)速組合下,阻尼因子對輸流管橫向位移前3 階模態(tài)響應(yīng)的影響.當(dāng)u1=u2=6,Ω*=15 時,前3 階模態(tài)響應(yīng)的幅值均隨時間減弱;當(dāng)u1=u2=10,Ω*=12 時,前3 階模態(tài)響應(yīng)的幅值隨時間分別增強、減弱、減弱;當(dāng)u1=u2=15,Ω*=15 時,前3 階模態(tài)響應(yīng)的幅值隨時間分別增強、增強、減弱.這表明在不同的流速和轉(zhuǎn)速組合下,系統(tǒng)不同階模態(tài)響應(yīng)會出現(xiàn)不同的增強或減弱現(xiàn)象.

圖9 不同流速和轉(zhuǎn)速下阻尼因子對前3 階模態(tài)響應(yīng)的影響Fig.9 The effects of damping factor on the first three mode responses for different flow rates and rotating speeds

5 結(jié)論

本文通過能量法建立了含兩通道的旋轉(zhuǎn)輸流管動力學(xué)控制方程,通過與文獻(xiàn)結(jié)果對比驗證了本文方法的正確性,研究了流體單位長度質(zhì)量、不同流速比和輸流管長細(xì)比對系統(tǒng)臨界流速的影響,并分別分析了相位變化與阻尼因子對前3 階模態(tài)響應(yīng)的影響,得出了以下結(jié)論.

(1)在單位時間流量相同時,雙通道模型的臨界流速值大于單通道模型的,且隨著轉(zhuǎn)速的增大,雙通道模型的臨界流速值增長得更快;

(2)隨著兩通道內(nèi)流速比值減小,第1 階模態(tài)和第3 階模態(tài)在發(fā)生失穩(wěn)時的臨界流速值增大,且第2 階模態(tài)始終未發(fā)生失穩(wěn);

(3)旋轉(zhuǎn)運動引入的陀螺效應(yīng)對系統(tǒng)第1 階特征根軌跡影響較小,但會顯著影響第2,3 階特征根軌跡,使其發(fā)生繞圈現(xiàn)象,并多次穿越虛軸,從而導(dǎo)致第2,3 階模態(tài)振動存在多個臨界流速.

(4)輸流管橫向位移模態(tài)響應(yīng)出現(xiàn)相位差,呈現(xiàn)出行波特性,即出現(xiàn)"節(jié)點"移動現(xiàn)象,在不同的流速和轉(zhuǎn)速組合下,系統(tǒng)不同階模態(tài)響應(yīng)會出現(xiàn)不同的增強或減弱現(xiàn)象.

本文首次研究了含兩通道的旋轉(zhuǎn)輸流管動力學(xué)特性,為含復(fù)雜冷卻通道布局的旋轉(zhuǎn)葉片的設(shè)計提供一定理論參考.但本文中只考慮兩通道為簡單的對稱式布局,輸流管內(nèi)部復(fù)雜不對稱的通道布局等情況有待進(jìn)一步的研究與討論.

附錄