基于創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的“隨機(jī)過(guò)程”課程教學(xué)改革與實(shí)踐

孔慧華，史 娜，宋 妮，王 鵬

（中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 山西 太原 030051）

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)是各領(lǐng)域創(chuàng)新人才知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要組成部分?！半S機(jī)過(guò)程”作為一門研究隨時(shí)間變化的隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，目前已在通信、控制、經(jīng)濟(jì)和管理等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]?！半S機(jī)過(guò)程”課程的開(kāi)設(shè)，有助于提高研究生的思維創(chuàng)造力、理論推導(dǎo)力以及研究和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。由于該課程的內(nèi)容知識(shí)抽象、理論性強(qiáng)，因此對(duì)數(shù)理基礎(chǔ)知識(shí)稍微薄弱的工科學(xué)生而言，將會(huì)出現(xiàn)無(wú)法把握該課程的基本理論知識(shí)與技能的問(wèn)題，從而導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習(xí)熱情。為了滿足我國(guó)創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的需求，需要改變傳統(tǒng)的教師單向傳授、學(xué)生被動(dòng)掌握的教學(xué)方法，建立促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展、加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力的新的教學(xué)方法。

如何通過(guò)“隨機(jī)過(guò)程”課程的教學(xué)激發(fā)研究生的創(chuàng)新意識(shí)、加強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用能力，同時(shí)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，是“隨機(jī)過(guò)程”課程改革應(yīng)該進(jìn)行深思和研究的問(wèn)題。下面將從三方面進(jìn)行探討和分析。

1 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

1.1 改革理論教學(xué)內(nèi)容

為了弱化“隨機(jī)過(guò)程”課程基礎(chǔ)理論性強(qiáng)和抽象難懂的特點(diǎn)，教師可在教學(xué)過(guò)程中介紹隨機(jī)過(guò)程的發(fā)展演變歷史、里程碑式的重大發(fā)現(xiàn)和與其相關(guān)的著名科學(xué)家的事跡。授課過(guò)程中可以引入隨機(jī)過(guò)程的奠基人柯?tīng)柲缏宸虻摹半S機(jī)”人生，講解愛(ài)因斯坦、維納、萊維等人對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的開(kāi)創(chuàng)性工作等。對(duì)于隨機(jī)過(guò)程中的重要概念——平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、各態(tài)歷經(jīng)性、功率譜密度等，介紹它們的發(fā)展歷程、學(xué)術(shù)意義和應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)，可以根據(jù)不同背景學(xué)生的專業(yè)和培養(yǎng)要求，將隨機(jī)過(guò)程的課程內(nèi)容與各專業(yè)知識(shí)（經(jīng)管、信息、控制）相結(jié)合。

1.2 問(wèn)題導(dǎo)向式教學(xué)模式

為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)課程學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)發(fā)展他們的實(shí)踐創(chuàng)新能力，可在課堂教學(xué)活動(dòng)中，針對(duì)一些重要概念與理論，由教師提出問(wèn)題并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，最后讓學(xué)生探索這些概念與方法。例如講授平穩(wěn)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)性概念時(shí)，由教師提出問(wèn)題“如何通過(guò)試驗(yàn)近似求得平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望值呢？”引導(dǎo)學(xué)生思考“一種自然的方法是通過(guò)多次試驗(yàn)得到多個(gè)樣本函數(shù)，用某個(gè)確定時(shí)間的試驗(yàn)平均值去近似數(shù)學(xué)期望值。這需要多個(gè)樣本函數(shù)，然而，在工程技術(shù)中測(cè)量得到多個(gè)樣本函數(shù)往往很難?！崩^續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考其他解決方案“充分考慮到平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間推移而改變，那么能否通過(guò)一個(gè)樣本函數(shù)近似計(jì)算平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)呢？”從而引出各態(tài)歷經(jīng)性概念。

問(wèn)題導(dǎo)向式教學(xué)方式改變了“以講為主”的課堂形式，將學(xué)生的被動(dòng)認(rèn)知轉(zhuǎn)變?yōu)樽灾鲗W(xué)習(xí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，使他們?cè)谒伎贾歇?dú)立找到解決問(wèn)題的研究方法。因此，在“隨機(jī)過(guò)程”課程中，教師根據(jù)講授內(nèi)容的特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)課程的學(xué)習(xí)興趣，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。

2 理論與實(shí)際相結(jié)合，提高學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力

2.1 課堂案例教學(xué)：理論聯(lián)系實(shí)際的橋梁

研究生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是使用數(shù)學(xué)，為了能夠使學(xué)生體會(huì)到運(yùn)用所學(xué)理論知識(shí)解決具體問(wèn)題的樂(lè)趣，提高其對(duì)理論的認(rèn)識(shí)，教師在講述完隨機(jī)過(guò)程的重要概念和定理之后，通過(guò)案例教學(xué)將理論與實(shí)際聯(lián)系起來(lái)。如，在講解完馬爾科夫鏈的遍歷性定理和平穩(wěn)分布之后，為了提升學(xué)生對(duì)抽象理論的理解能力，提出下面的商品占有率問(wèn)題。

案例：市場(chǎng)上甲、乙、丙三種型號(hào)的某品牌電風(fēng)扇在四月份銷量相同。五月份甲型號(hào)保持原有客戶的60%，分別獲得乙、丙型號(hào)客戶的15%和30%；乙型號(hào)保持原有客戶的70%，各自獲得甲、丙型號(hào)客戶的10%和20%；丙型號(hào)保持原有客戶的50%，分別獲得甲、乙型號(hào)客戶的30%和15%。求五月份各型號(hào)電風(fēng)扇的市場(chǎng)占有率及穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的市場(chǎng)占有率。

分析探討：由于占有率具有無(wú)后效性，故這三種型號(hào)的電風(fēng)扇在各個(gè)月份的占有率構(gòu)成了一個(gè)馬爾科夫鏈。由題目可知四月份各型號(hào)電風(fēng)扇的占有率為1/3，同時(shí)獲取該馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，從而得到五月份各型號(hào)電風(fēng)扇的占有率。又由于這個(gè)有限狀態(tài)的馬爾科夫鏈滿足遍歷性定理，因此它的極限分布，即穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的占有率是存在的。

所以五月份各型號(hào)電風(fēng)扇的占有率為

因?yàn)樵谝徊睫D(zhuǎn)移概率矩陣中，所有 =甲、乙、丙，故此馬氏鏈具有遍歷性。由遍歷性定理可知馬氏鏈的極限分布滿足

所以這三種型號(hào)電風(fēng)扇的穩(wěn)定狀態(tài)占有率為（0.359，0.327，0.314）。

通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的分析探討和求解，學(xué)生對(duì)馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣、遍歷性、平穩(wěn)分布等概念和定理有了更深刻的認(rèn)識(shí)。諸如此類的案例還有很多，如在講授布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)，可以介紹2021年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者德國(guó)科學(xué)家哈塞爾曼的研究工作，他基于布朗運(yùn)動(dòng)理論，建立了隨機(jī)氣候?qū)W模型，并給出了尋求影響氣候主因的最優(yōu)指紋方法，從而能夠分辨出人類活動(dòng)和自然界局部改變對(duì)氣候這一復(fù)雜系統(tǒng)的影響，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用。

“隨機(jī)過(guò)程”的案例教學(xué)作為理論與實(shí)踐的橋梁，可以讓學(xué)生感受到應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程理論知識(shí)處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的樂(lè)趣，深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，更好地服務(wù)于應(yīng)用創(chuàng)新。

2.2 Matlab仿真教學(xué)：提高科學(xué)計(jì)算能力的重要手段

由于“隨機(jī)過(guò)程”課程的基本概念比較抽象，使用Matlab軟件模擬泊松過(guò)程、布朗運(yùn)動(dòng)和隨機(jī)游動(dòng)等，可以使學(xué)生更易于掌握隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)、狀態(tài)這一類抽象性的基本概念，也能夠更有效地幫助他們對(duì)隨機(jī)過(guò)程教學(xué)中涉及的基本概念與理論建立起感性的理解，進(jìn)而提高教學(xué)效果。下面以泊松過(guò)程為例給出其模擬過(guò)程。

設(shè)Xn服從參數(shù)為的指數(shù)分布，表示第n次和第n+1次事件發(fā)生的時(shí)間間隔，記

繪制（Sn，n）曲線即可獲得泊松過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)，如圖1所示。

圖1 泊松分布樣本曲線

借助Matlab軟件編寫簡(jiǎn)單的程序，抽象難懂的知識(shí)也可以轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單直觀的圖像，更生動(dòng)易懂[2]。同時(shí)，利用Matlab軟件還可以解決隨機(jī)過(guò)程中很多問(wèn)題復(fù)雜計(jì)算的求解，減少手工計(jì)算，增強(qiáng)學(xué)生基本的算法編寫能力，使其感受課程的趣味與應(yīng)用價(jià)值。

2.3 教學(xué)與科研相結(jié)合，開(kāi)展實(shí)踐性教學(xué)

教學(xué)和科研的完美結(jié)合是人才培養(yǎng)的重要手段和發(fā)展趨勢(shì)。因此，在介紹每類隨機(jī)過(guò)程的形成背景、定義原理和研究方法之后，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容科學(xué)合理選取相關(guān)課題，為學(xué)生進(jìn)行科學(xué)研究提供思路，引導(dǎo)其逐步走上科研道路。如，在學(xué)習(xí)完平穩(wěn)時(shí)間序列線性模型及預(yù)測(cè)后，可以讓學(xué)生對(duì)股票的價(jià)格、城市的電力、房?jī)r(jià)或者GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)。要解決這些問(wèn)題，學(xué)生首先需要獲取相關(guān)數(shù)據(jù)，建立模型，利用Matlab軟件對(duì)模型進(jìn)行求解，最終獲取相關(guān)模型并得到預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。通過(guò)對(duì)相關(guān)科研課題的研究不僅能夠幫助學(xué)生加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解，而且學(xué)生還能學(xué)會(huì)如何應(yīng)用相關(guān)隨機(jī)過(guò)程知識(shí)分析實(shí)際問(wèn)題并提供解決方案，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)到Matlab軟件強(qiáng)大的計(jì)算能力。教學(xué)和科研相結(jié)合，可以從整體上全方位提升教學(xué)效果，最終達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生科研能力和創(chuàng)新能力的目的。

3 提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率

3.1 促進(jìn)教學(xué)科研型師資隊(duì)伍的培養(yǎng)

要想達(dá)到高水平的研究生教育，就需要有一支高水平的師資隊(duì)伍。授課教師在研究生的創(chuàng)新能力培養(yǎng)方面發(fā)揮著極其關(guān)鍵的作用。就“隨機(jī)過(guò)程”這門課程來(lái)說(shuō)，要求任課教師具有較高的學(xué)科素養(yǎng)和科研水平，能夠形象地、淺顯易懂地將抽象的數(shù)學(xué)課程講解清楚，這勢(shì)必會(huì)引起學(xué)生對(duì)該課程的濃厚興趣[3]。因此，任課教師要不斷了解學(xué)科發(fā)展前沿，將最新科學(xué)研究成果轉(zhuǎn)化成課堂案例，為課堂教學(xué)不斷引入新理論、新方法。

3.2 利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)分層次教學(xué)

計(jì)算機(jī)信息技術(shù)與互聯(lián)網(wǎng)的廣泛應(yīng)用，給課程教學(xué)帶來(lái)了前所未有的變化，利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)學(xué)習(xí)通、云班課等介紹課程及相關(guān)領(lǐng)域的基本情況、教學(xué)信息等，并且為不同層次的學(xué)生準(zhǔn)備了不同的輔助教學(xué)內(nèi)容。

A層次：著重提高課堂質(zhì)量，牢固掌握所學(xué)知識(shí)。針對(duì)這部分同學(xué)，將授課的視頻、PPT課件和實(shí)際案例放在平臺(tái)上，供學(xué)生課后復(fù)習(xí)。同時(shí)在網(wǎng)上設(shè)立測(cè)試系統(tǒng)，并提供課程的相關(guān)試題。

B層次：具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并且有志于從事科學(xué)研究和技術(shù)開(kāi)發(fā)。針對(duì)這部分學(xué)生，在完成基本教學(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓寬、加深某些數(shù)學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生能深入地掌握理論知識(shí)和數(shù)學(xué)思維。同時(shí)將與課程密切相關(guān)的論文與科研課題放在平臺(tái)上，供學(xué)生閱讀及深層次思考。

線上平臺(tái)是傳統(tǒng)線下教學(xué)的有效補(bǔ)充方式，通過(guò)線上線下的有機(jī)結(jié)合，可以引導(dǎo)學(xué)生由表面學(xué)習(xí)到深度學(xué)習(xí)。最終目的是增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí)，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的深度和有效性。

4 結(jié)論

論文提出的以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力為目的的“隨機(jī)過(guò)程”課程的教學(xué)模式改革與實(shí)踐，能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，深化學(xué)生對(duì)抽象理論的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的綜合能力，有助于改變傳統(tǒng)教學(xué)中“重基礎(chǔ)理論、輕實(shí)際應(yīng)用”的教學(xué)現(xiàn)狀，以適應(yīng)教育部對(duì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才培養(yǎng)的需要。