Weibull分布下繞線聯(lián)軸器雙應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)研究

王海波， 白國(guó)振, 張志強(qiáng)

上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093

1 引 言

繞線聯(lián)軸器作為一種常用的零部件，廣泛應(yīng)用于各種回轉(zhuǎn)傳動(dòng)設(shè)備、傳動(dòng)設(shè)備與傳動(dòng)軸間的軸向連接，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)及扭矩的傳遞。對(duì)于正在工作的設(shè)備，若繞線聯(lián)軸器工作時(shí)突然發(fā)生失效或在未監(jiān)控狀態(tài)條件下發(fā)生退化失效，都會(huì)給系統(tǒng)的維修以及保障帶來(lái)巨大的影響，有時(shí)會(huì)造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失?；诖?，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)繞線聯(lián)軸器壽命進(jìn)行了不同程度的研究。

Dobre D等[1]對(duì)金屬膜片聯(lián)軸器進(jìn)行了研究，采用有限元方法分析了軸向偏差和角度偏差對(duì)一個(gè)膜片單元的影響，為金屬膜片聯(lián)軸器的設(shè)計(jì)提供了思路；Loc Duong等[2]對(duì)航空領(lǐng)域的柔性膜片聯(lián)軸器進(jìn)行了研究，使用有限元分析來(lái)參數(shù)化應(yīng)力特性，通過(guò)與旋轉(zhuǎn)流體流動(dòng)類比確定共軛應(yīng)力集中，改進(jìn)這些柔性隔膜的幾何設(shè)計(jì)。Sekhar A S等[3]基于有限元分析方法，研究了聯(lián)軸器安裝過(guò)程中存在同軸度誤差對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的影響，模擬了同軸度誤差所導(dǎo)致的諧波增加，得出彎曲模式的形狀誤差會(huì)對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)產(chǎn)生很大的影響。魏政君等[4]研究了彈性聯(lián)軸器的疲勞性能，以繞線式彈性聯(lián)軸器為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，進(jìn)行了雙軸扭轉(zhuǎn)疲勞實(shí)驗(yàn)及疲勞前后的靜態(tài)剛度實(shí)驗(yàn)，表明改進(jìn)主軸方向的連接方案能滿足大轉(zhuǎn)矩疲勞實(shí)驗(yàn)要求。劉建武等[5]基于有限元分析方法對(duì)聯(lián)軸器的固有頻率與模態(tài)特性進(jìn)行了研究，分析了膜片厚度聯(lián)軸器固有頻率和模態(tài)特性的影響，為動(dòng)力傳動(dòng)軸和膜片聯(lián)軸器的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供了理論參考。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)聯(lián)軸器展開一定的研究，但主要是采用有限元方法或利用疲勞壽命計(jì)算公式對(duì)聯(lián)軸器壽命進(jìn)行研究。同時(shí)針對(duì)特定對(duì)象繞線聯(lián)軸器的研究相對(duì)較少，且未利用加速壽命理論與試驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方法進(jìn)行研究。因此，針對(duì)有限元分析方法存在的問(wèn)題，利用加速壽命理論與試驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方法對(duì)繞線聯(lián)軸器的壽命進(jìn)行研究。一方面證明了繞線聯(lián)軸器的壽命服從威布爾分布，另一方面證明了本文所使用數(shù)據(jù)處理方法的有效性。

2 加速壽命試驗(yàn)方案的確定

2.1 繞線聯(lián)軸器失效機(jī)理分析

繞線聯(lián)軸器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定，其失效的原因主要包括：疲勞、磨損、損傷。繞線聯(lián)軸器的失效形式與其工作環(huán)境密切相關(guān)，歸納起來(lái)主要包括下列幾種失效形式[6]：

(1) 繞線聯(lián)軸器中某部位因短時(shí)過(guò)載或疲勞強(qiáng)度不足而發(fā)生破壞；

(2) 繞線聯(lián)軸器在工作過(guò)程中某部位產(chǎn)生過(guò)大的塑性變形或嚴(yán)重磨損；

(3) 繞線聯(lián)軸器非正常工作條件下引起與其相連的其他零件失效；

(4) 傳遞性能下降。

2.2 加速應(yīng)力與加速模型的確定

基于上文中對(duì)繞線聯(lián)軸器的失效機(jī)理的分析，可知繞線聯(lián)軸器的失效與環(huán)境應(yīng)力幾乎無(wú)關(guān)，僅與其工作時(shí)的工作應(yīng)力相關(guān)。通過(guò)對(duì)繞線聯(lián)軸器的實(shí)際工作條件進(jìn)行分析，引起繞線聯(lián)軸器失效主要包括兩個(gè)應(yīng)力，即：轉(zhuǎn)速和所受的扭矩載荷，分別用S1和S2來(lái)表示。因此，選擇繞線聯(lián)軸器工作時(shí)的轉(zhuǎn)速和扭矩作為其加速應(yīng)力。

在加速壽命試驗(yàn)中，不同的產(chǎn)品適用于不同的加速模型。對(duì)于電子產(chǎn)品，加速退化速度與應(yīng)力之間多數(shù)情況下滿足Arrhenius模型；對(duì)于機(jī)械產(chǎn)品，加速退化速度與應(yīng)力之間多數(shù)情況下滿足逆冪律模型。王少萍等[7]論證了機(jī)械產(chǎn)品的加速模型確實(shí)服從逆冪律，提出了雙應(yīng)力加速逆冪律模型。因此，建立繞線聯(lián)軸器的加速模型如下：

(1)

其中，ηij為繞線聯(lián)軸器的壽命；Vi為繞線聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)速；Pj為繞線聯(lián)軸器承受的轉(zhuǎn)矩；α、β為未知參數(shù)；η0為繞線聯(lián)軸器的額定壽命；V0為繞線聯(lián)軸器的額定轉(zhuǎn)速；P0為繞線聯(lián)軸器承受的額定轉(zhuǎn)矩，且Vi、Pj相互獨(dú)立。

對(duì)式(1)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到其線性表達(dá)式如下：

(2)

2.3 加速壽命試驗(yàn)的實(shí)施

文中的每個(gè)加速應(yīng)力都具有多個(gè)應(yīng)力水平，進(jìn)行簡(jiǎn)單的組合試驗(yàn)會(huì)大大提高試驗(yàn)成本，同時(shí)降低試驗(yàn)的效率。為提高試驗(yàn)效率、降低試驗(yàn)成本，本文中選用Escobar-Meeker(E-M)法進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)[8-10]，試驗(yàn)中各測(cè)試點(diǎn)的安排如圖1所示。

(a) 3個(gè)測(cè)試點(diǎn)

圖1中實(shí)心黑點(diǎn)代表測(cè)試點(diǎn)，矩形區(qū)域 OMAN為組合測(cè)試點(diǎn)的可行域，直線lL和lM表示壽命-應(yīng)力的關(guān)系，點(diǎn)P為直線lL與OA的交點(diǎn)，點(diǎn)K為直線lM與OA的交點(diǎn)，且K為線段PA的中點(diǎn)。對(duì)于可行域及其邊界上的測(cè)試點(diǎn)，測(cè)試點(diǎn)上試驗(yàn)樣本的數(shù)量與其到交點(diǎn)的距離成反比。根據(jù)有效試驗(yàn)原則，文中選擇圖1(c)的應(yīng)力組合方案，得到加速壽命試驗(yàn)的條件矩陣如表1所示。

表1 加速壽命試驗(yàn)條件矩陣

基于上述試驗(yàn)條件矩陣在所搭建的繞線聯(lián)軸器加速壽命試驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)，并對(duì)繞線聯(lián)軸器工作時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)采集并進(jìn)行可視化處理。根據(jù)繞線聯(lián)軸器的失效判斷條件得到繞線聯(lián)軸器的失效時(shí)間如表2所示。

表2 繞線聯(lián)軸器加速壽命試驗(yàn)失效數(shù)據(jù)Table 2 Accelerated life test failure data of winding couplings

3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析與處理

在對(duì)加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理時(shí)，主要包括兩部分內(nèi)容：加速壽命試驗(yàn)的基本假設(shè)與假設(shè)檢驗(yàn)；參數(shù)的估計(jì)與正常工作條件下壽命特征的推算。

3.1 基本假設(shè)與假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)Ⅰ：在正常應(yīng)力組合和加速應(yīng)力組合條件下，繞線聯(lián)軸器的壽命Tij都服從威布爾分布，其分布函數(shù)為

其中，i=0,1,…,k；j=0,1,…,l；mij為形狀參數(shù)；ηij為特征壽命。

假設(shè)Ⅱ：在正常應(yīng)力和加速應(yīng)力組合條件下，繞線聯(lián)軸器的失效機(jī)理保持不變，即：

m00≈mij=m

其中，β0、β1、β2、β3為待估參數(shù)；φ1(·)、φ2(·)、φ3(·)為已知函數(shù)，φ3(·)表示兩個(gè)加速應(yīng)力之間的相互作用。

根據(jù)上文的分析，繞線聯(lián)軸器的加速模型服從逆冪律，繞線聯(lián)軸器的兩個(gè)加速應(yīng)力之間無(wú)相互作用。故繞線聯(lián)軸器的特征壽命與兩個(gè)加速應(yīng)力之間滿足如下加速模型：

從威布爾分布的定義來(lái)看，繞線聯(lián)軸器的壽命分布服從威布爾分布，但需要對(duì)其分布模型進(jìn)行檢驗(yàn)。檢測(cè)產(chǎn)品的壽命是否滿足威布爾分布的方法很多，本文中采用威布爾概率紙檢驗(yàn)和巴特利特檢驗(yàn)相結(jié)合的方式對(duì)繞線聯(lián)軸器的壽命分布進(jìn)行檢驗(yàn)[11]。

根據(jù)中位秩計(jì)算公式對(duì)Fij(t)進(jìn)行估計(jì)，對(duì)繞線聯(lián)軸器的失效壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行描點(diǎn)，同時(shí)利用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合配置直線，得到繞線聯(lián)軸器的壽命數(shù)據(jù)分布如圖2所示。

圖2中，橫坐標(biāo)為繞線聯(lián)軸器失效時(shí)間 對(duì)數(shù)lnt；縱坐標(biāo)為威布爾分布函數(shù)Fij(t)的函數(shù)lnln[1/(1-Fij(t))]。以A測(cè)試點(diǎn)中繞線聯(lián)軸器樣本的失效數(shù)據(jù)為例，從圖中可以看出，10個(gè)失效數(shù)據(jù)分布在一條直線兩側(cè)，其他測(cè)試點(diǎn)的失效數(shù)據(jù)亦是如此。同時(shí)圖中的直線近似平行，且直線的斜率表示mij，即在各測(cè)試應(yīng)力組合下的形狀參數(shù)mij近似相等，滿足假設(shè)Ⅱ。因此，可以初步判定繞線聯(lián)軸器壽命分布近似服從威布爾分布。

圖2 繞線聯(lián)軸器各組應(yīng)力條件下的威布爾分布

為了進(jìn)一步驗(yàn)證繞線聯(lián)軸器的壽命分布為威布爾分布，采用巴特利特法驗(yàn)證各組測(cè)試點(diǎn)下的形狀參數(shù)mij是否相等[12]。

檢驗(yàn)假設(shè)：

H0∶m1=m2=…=mk

根據(jù)巴特利特統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造，記：

在試驗(yàn)中，設(shè)各組應(yīng)力組合下有nij個(gè)繞線聯(lián)軸器進(jìn)行試驗(yàn)，截尾數(shù)為rij，本文中nij=rij，每個(gè)繞線聯(lián)軸器樣本的失效時(shí)間為

在加速壽命試驗(yàn)中，繞線聯(lián)軸器的失效時(shí)間為一個(gè)隨機(jī)數(shù)，可以采用不同的方法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，本文中主要使用下列兩種數(shù)據(jù)分析方法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

3.2 加速壽命試驗(yàn)的極大試驗(yàn)估計(jì)(MLE)

根據(jù)假設(shè)Ⅰ中繞線聯(lián)軸器壽命Tij分布函數(shù)，其概率密度函數(shù)為

i=0,1,…,k;j=0,1,…,l

基于假設(shè)Ⅱ，可令mij=m；

基于假設(shè)Ⅲ得：

由此可得：

則參數(shù)β0、β1、β2、m的似然函數(shù)為

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

似然方程組為

基于似然函數(shù)方程組，可得如式(3)—式(5)三個(gè)表達(dá)式：

將式(3)—式(5)代入似然函數(shù)方程組中得：

利用Newtow-Raphson法求解是個(gè)超越方程組的到m、β0、β1、β2的估計(jì)值為

3.3 加速壽命試驗(yàn)的最佳線性無(wú)偏估計(jì)(BLUE)

上文中采用極大似然估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)時(shí)比較復(fù)雜，對(duì)初始值要求較高，且很容易陷入局部最優(yōu)解。因此，下文采用計(jì)算更為簡(jiǎn)單的BLUE對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

本文對(duì)繞線聯(lián)軸器的失效壽命進(jìn)行了分析，證明了其壽命Tij服從威布爾分布W(mij,ηij)，則繞線聯(lián)軸器壽命的對(duì)數(shù)Xij=lnTij服從極值分布G(μij,σij)，其分布函數(shù)為

其中，μij=lnηij；σij=1/mij。

3.3.1模型中μij和σij的估計(jì)

根據(jù)表1加速壽命試驗(yàn)的條件矩陣可知，試驗(yàn)中測(cè)試樣本的數(shù)量nij<25。則μij和σij的BLUE估計(jì)值為

其中，C(nij,rij,v)和D(nij,rij,v)為BLUE系數(shù)，可通過(guò)文獻(xiàn)[13]得到。

根據(jù)繞線聯(lián)軸器的失效數(shù)據(jù)，得到模型中參數(shù)的BLUE估計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 μij的σijBLUE估計(jì)值

3.3.2形狀參數(shù)m的估計(jì)

3.3.3加速模型中參數(shù)的估計(jì)

根據(jù)繞線聯(lián)軸器的加速模型：

(6)

令ζij=Arij,nij，Arij,nij為方差系數(shù)，記

A=diag(ζ11,ζ12,…,ζ1l,…,ζij,…,ζkl)

由高斯-馬爾可夫定理[13]，得到β的BLUE為

代入數(shù)據(jù)得到β的BLUE估計(jì)結(jié)果為

4 參數(shù)估計(jì)結(jié)果比較分析

采用兩種參數(shù)估計(jì)方法對(duì)繞線聯(lián)軸器分布模型中的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。極大似然估計(jì)法進(jìn)行分布模型參數(shù)估計(jì)時(shí)相對(duì)比較復(fù)雜，具有對(duì)初始值要求較高，且容易陷入局部最優(yōu)解等缺點(diǎn)；BLUE法相對(duì)簡(jiǎn)單，但對(duì)分布模型參數(shù)的估計(jì)結(jié)果精度需要進(jìn)一步分析比較。因此，采用Akaike信息準(zhǔn)則[14]將兩種方法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較。

Akaike信息準(zhǔn)則的主要作用是衡量分布模型對(duì)繞線聯(lián)軸器原始失效數(shù)據(jù)的擬合程度。fAIC值越小，則表示模型對(duì)原始數(shù)據(jù)的擬合程度越好，其定義如下：

fAIC=-2[ln(Lmax)-r]

(7)

其中，Lmax為似然函數(shù)的值，r模型中待估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)。

將上述兩種參數(shù)估計(jì)方法與繞線聯(lián)軸器的原始失效數(shù)據(jù)代入其似然函數(shù)中，得到AICMLE=308.67，AICBLUE=252.28。

從計(jì)算結(jié)果可以看出，BLUE的參數(shù)估計(jì)結(jié)果對(duì)原始失效數(shù)據(jù)擬合更好。同時(shí)結(jié)合圖2中通過(guò)最小二乘法對(duì)各測(cè)試點(diǎn)失效數(shù)據(jù)擬合曲線斜率，進(jìn)一步驗(yàn)證了BLUE法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果優(yōu)于MLE法的估計(jì)結(jié)果。

5 正常應(yīng)力水平組合下的可靠性指標(biāo)估計(jì)

繞線聯(lián)軸器正常工作情況下，其額定轉(zhuǎn)速及扭矩為V0=1 000r/min，P0=0.6 Nm。得到繞線聯(lián)軸器的加速應(yīng)力-壽命模型方程為

則繞線聯(lián)軸器正常工作條件下的壽命η0=3 811.58 h。

平均壽命為

中位壽命為

根據(jù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果，得到各測(cè)試點(diǎn)繞線聯(lián)軸器的壽命及加速系數(shù)如表4所示。

表4 加速應(yīng)力下的壽命及加速系數(shù)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證繞線聯(lián)軸器加速模型及其壽命分布是否合理。將加速壽命試驗(yàn)下繞線聯(lián)軸器相關(guān)特征的計(jì)算結(jié)果與正常應(yīng)力水平下的結(jié)果進(jìn)行比較，如表5所示。

表5 加速應(yīng)力與正常應(yīng)力下的壽命特征比較

由表5可以看出，加速應(yīng)力條件下與正常應(yīng)力條件下獲得的繞線聯(lián)軸器壽命特征相差不大，相對(duì)誤差在5%以內(nèi)，證明本文中建立的繞線聯(lián)軸器加速模型是正確的，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文中繞線聯(lián)軸器加速壽命試驗(yàn)的可行性。

正常應(yīng)力水平下繞線聯(lián)軸器的可靠度函數(shù)為

R(t)=exp{-(t/3 811.58)3.389 4}

其可靠度曲線如圖3所示。

圖3 正常應(yīng)力水平下的可靠度曲線

6 結(jié) 論

采用恒加試驗(yàn)方法，建立了繞線聯(lián)軸器雙應(yīng)力逆冪律-Weibull統(tǒng)計(jì)模型來(lái)對(duì)其壽命快速評(píng)估，利用極大似然估計(jì)法和最佳線性無(wú)偏估計(jì)法對(duì)繞線聯(lián)軸器四組加速應(yīng)力下的失效數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，主要得出了以下結(jié)論：

(1) 繞線聯(lián)軸器的壽命分布可以用威布爾分布精確描述，加速模型可以用逆冪律描述。

(2) BLUE可以更加精確地評(píng)估繞線聯(lián)軸器加速模型中的參數(shù)。

(3) E-M法確?？梢栽诙虝r(shí)間內(nèi)估算正常應(yīng)力下的壽命，測(cè)試時(shí)間和成本大大減少。