灰狼優(yōu)化算法在城市需水預(yù)測(cè)模型中的應(yīng)用

陳永政

（重慶財(cái)經(jīng)職業(yè)學(xué)院 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，重慶 402160）

城市需水預(yù)測(cè)是城市水資源規(guī)劃、管理、決策的重要依據(jù)。隨著人口與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的增加、生活水平的提高、城市化以及氣候變化帶來(lái)的不確定性，世界各地的水資源短缺問(wèn)題日益突出［1］。水資源和供水系統(tǒng)的優(yōu)化規(guī)劃變得越來(lái)越重要，需水量預(yù)測(cè)是供水優(yōu)化調(diào)度的依據(jù)，同時(shí)為確定新水資源開發(fā)時(shí)間提供參考。需水量的科學(xué)預(yù)測(cè)有利于水資源優(yōu)化配置，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性對(duì)供水系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行起著重要作用［2］。城市需水量預(yù)測(cè)是供水系統(tǒng)有效運(yùn)行的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?；貧w模型法、時(shí)間序列法等傳統(tǒng)方法在供水量預(yù)測(cè)方面要求建立預(yù)測(cè)量與影響因素之間準(zhǔn)確的機(jī)理模型、大量線性化處理降低模型精度，具有較大的不確定性和模糊性，普適性較差，而基于經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為需水預(yù)測(cè)提供了新思路［3］。郭強(qiáng)等［4］采用貝葉斯BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)校園日用水量波動(dòng)范圍進(jìn)行了有效預(yù)測(cè)。Zubaidi等［5］提出了結(jié)合粒子群與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的新方法，通過(guò)評(píng)估氣候因素進(jìn)行需水量預(yù)測(cè)。然而，城市需水量預(yù)測(cè)模型中影響因子多且普遍存在多重共線問(wèn)題，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在求解模型時(shí)易陷入局部極值［6］。

為提升需水預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，筆者把基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化的最小二乘支持向量機(jī)（LSSVM）［7］作為需水量預(yù)測(cè)的擬合模型?；依莾?yōu)化算法（GWO）具有易理解、控制參數(shù)少、不要求目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化條件可微等特點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用［8－9］。針對(duì)GWO尋優(yōu)過(guò)程易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，采用一般性反向?qū)W習(xí)與非線性控制參數(shù)對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，以提升其全局優(yōu)化性能，改進(jìn)后的算法記為IGWO。IGWO算法更適合非線性模型參數(shù)的擬合，而LSSVM模型的超參數(shù)確認(rèn)過(guò)程也是復(fù)雜的非線性擬合問(wèn)題，因此將其引入LSSVM需水預(yù)測(cè)模型，用來(lái)擬合模型的超參數(shù)，構(gòu)建IGWO－LSSVM城市需水預(yù)測(cè)模型。以上海市為例，采用近35 a城市供水?dāng)?shù)據(jù)建立IGWO－LSSVM需水預(yù)測(cè)模型，驗(yàn)證灰狼優(yōu)化算法在城市需水預(yù)測(cè)模型中的有效性，以期為城市水資源綜合管理規(guī)劃提供參考。

1 最小二乘支持向量機(jī)

最小二乘支持向量機(jī)（LSSVM）是支持向量機(jī)（SVM）的一種改進(jìn)，它將復(fù)雜、高維的非線性問(wèn)題映射到特征線性空間，并將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)偶凸二次規(guī)劃，用于解決高維、非線性、小樣本的問(wèn)題，因具有良好的泛化能力而得到廣泛應(yīng)用［10］。設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集為{xi，yi}，其中：i＝1，2，…，l；xi∈Rn；yi∈R（R為實(shí)數(shù)集，n為維數(shù)）。利用非線性映射φ（·）將樣本從原空間Rn映射到特征空間。在高維空間構(gòu)造回歸函數(shù)［11］：

式中：ω為可調(diào)權(quán)向量；φ（x）為非線性映射函數(shù)；b為偏置參數(shù)。

根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則，可得最優(yōu)ω與b：

式中：‖ω‖2為控制模型的復(fù)雜度；為誤差控制函數(shù)；C為正則化參數(shù)，用于平衡訓(xùn)練誤差與模型適應(yīng)度；ξi為擬合隨機(jī)誤差。

引入Lagrange乘子α，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，得到無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題：

根據(jù)Karush－Kuhn－Tucker條件，分別求解L對(duì)ω、b、ξ和αi的偏微分，并消除ω和ξ，以矩陣形式表示為

式 中：e＝［1，1…，1］T；y＝［y1，…，yl］；α＝［α1，…，αl］Τ；Ω為對(duì)稱矩陣，矩陣中的元素Ωij＝φ（xi）φ（xj）＝K（xi，xj），其中j＝1，2，…，l；K（xi，xj）為核函數(shù)，為解決原空間中樣本非線性擬合問(wèn)題，采用徑向基函數(shù)。

求解優(yōu)化問(wèn)題后，得到回歸模型的線性表達(dá)式：

2 改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法

2.1 灰狼優(yōu)化算法（GWO）

GWO算法是Mirjalili等［11］受灰狼群體中的捕食行為和社會(huì)等級(jí)啟發(fā)而提出的群智能優(yōu)化算法。灰狼種群社會(huì)等級(jí)如圖1所示，其中：θ狼的位置代表最優(yōu)位置，對(duì)應(yīng)求解問(wèn)題的最優(yōu)解；β、δ狼的任務(wù)是協(xié)助θ狼對(duì)狼群進(jìn)行管理及參與捕獵過(guò)程中的決策，其位置代表第2優(yōu)、第3優(yōu)位置，對(duì)應(yīng)求解問(wèn)題的2個(gè)次優(yōu)解；ε狼代表其他普通灰狼，其位置對(duì)應(yīng)解空間中的剩余候選解。GWO算法通過(guò)模擬灰狼包圍、追捕、攻擊等捕食行為逐步更新自身位置，從而實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化。

圖1 灰狼種群等級(jí)制度

假設(shè)種群規(guī)模為N的灰狼群為{xi｜i＝1，2，…，N}，解空間為D維，GWO算法數(shù)學(xué)模型［12］表達(dá)式為

式中：B為灰狼與獵物間的距離；xi（t）、xi（t＋1）分別為t和t＋1時(shí)刻第i灰狼的位置；xp（t）為獵物的位置（當(dāng)前最優(yōu)解）；C為系數(shù)，表示圍捕獵物過(guò)程中所受自然界的阻礙作用，C＞1或C＜1表示加大或減小獵物距離；A為收斂因子，控制灰狼個(gè)體趨向或者遠(yuǎn)離當(dāng)前獵物。

A、C計(jì)算公式為

式中：r1、r2為［0，1］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；a為控制參數(shù)，從2線性遞減至0；T為迭代周期。

GWO算法中，灰狼種群中其他灰狼xo（t）在t＋1時(shí)刻的位置通過(guò)θ、β、δ狼t時(shí)刻的位置進(jìn)行更新：

式中：xθ、xβ、xδ分別為θ、β、δ狼的當(dāng)前位置；x1（t＋ 1）、x2（t＋ 1）、x3（t＋ 1）分別為θ、β、δ狼在t＋1時(shí)刻的位置。

2.2 改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法（IGWO）

GWO算法的尋優(yōu)過(guò)程是由3個(gè)較優(yōu)解θ、β、δ狼主導(dǎo)，易造成算法早熟收斂并陷入局部最優(yōu)。采用反向?qū)W習(xí)策略對(duì)候選解與其反向解所構(gòu)造的解空間同時(shí)搜索，可提升算法的搜索能力，而非線性自適應(yīng)控制參數(shù)可平衡灰狼優(yōu)化算法的開發(fā)和探索能力、提高全局優(yōu)化能力。改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法（IGWO）即將GWO算法引入一般性反向?qū)W習(xí)和非線性控制參數(shù)策略。

2.2.1 一般性反向?qū)W習(xí)策略

反向?qū)W習(xí)（OBL）［13］通過(guò)評(píng)估當(dāng)前可行解與其反向解，保留較優(yōu)秀解以便更好地逼近當(dāng)前候選解，OBL的思想已經(jīng)被許多研究者用來(lái)提高各種優(yōu)化方法的收斂速度。在一維空間中，假設(shè)是粒子xj的反向解，則定義為

式中：xj∈［aj，bj］，aj、bj分別為變量的下限、上限。

Wang等［14］將通過(guò)當(dāng)前搜索空間中的候選對(duì)象轉(zhuǎn)換為新的搜索空間的對(duì)象，提出了一般性反向?qū)W習(xí)（GOBL）模型。設(shè)xi＝（xi，1，xi，2，…，xi，D）是D維空間中的一個(gè)個(gè)體，反向解為），則第j維方向點(diǎn)表達(dá)式為

其中

式中：k為U（0， 1）范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；daj、dbj分別為第j維搜索空間的最小值、最大值。

若越界，將采用下式進(jìn)行重置：

倘若我們手持的是一卷“粼粼的微波下潛伏著洶涌暗浪”的憂患之作，則恐怕難得“瀟灑”而要為之擊節(jié)共鳴、扼腕長(zhǎng)嘆了。而此刻筆者案頭所置的便是這樣一冊(cè)由著名劇作家、散文家柯靈先生所著的《墨磨人》！

假設(shè)f（xi）是一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)，用于表示候選解的適應(yīng)度。當(dāng)且僅當(dāng)f（）優(yōu)于f（xi）時(shí)，用取代xi。對(duì)候選解與其反向解所構(gòu)造的解空間同時(shí)搜索，將大大提高最優(yōu)解質(zhì)量。

2.2.2 非線性控制參數(shù)策略

實(shí)現(xiàn)GWO算法全局探索和局部開發(fā)之間的平衡是保證算法全局搜索性能的關(guān)鍵。全局探索能力指探測(cè)更廣泛搜索區(qū)域的能力，局部開發(fā)則強(qiáng)調(diào)利用已有信息對(duì)群體的某些區(qū)域進(jìn)行精細(xì)搜索。在GWO算法中，收斂因子A調(diào)節(jié)全局探索和局部開發(fā)之間的平衡，而A的值隨控制參數(shù)a的變化而改變，因此控制參數(shù)a在很大程度上決定著全局探索和局部開發(fā)之間的平衡度。式（10）中控制參數(shù)a由2線性遞減至0，而求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，線性遞減策略往往不利于實(shí)際搜索。因此，設(shè)計(jì)一種非線性控制參數(shù)策略，對(duì)之前的線性遞減的控制參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整：

式中：fi為個(gè)體i的適應(yīng)度；fmin、favg分別為當(dāng)前種群中最小適應(yīng)度和平均適應(yīng)度。

當(dāng)fi＞favg時(shí)，取得較大權(quán)值，從而增大個(gè)體的活躍度；反之，取得較小權(quán)值，使狼群個(gè)體更多地被θ、β、δ狼吸引，從而向優(yōu)勢(shì)搜索空間靠攏。此外，當(dāng)個(gè)體趨于收斂或一致時(shí)，即｜favg－fmin｜較小時(shí)，a隨之增大；當(dāng)較分散時(shí)，即｜favg－fmin｜較大，a隨之減小。因此，式（18）控制參數(shù)更新策略更有利于全局搜索與局部探測(cè)能力的平衡。

2.2.3 IGWO算法步驟

（1）初始化參數(shù)、群體規(guī)模和最大迭代次數(shù)。

（3）采用式（18）計(jì)算控制參數(shù)。

（4）采用式（8）～式（10）計(jì)算A、C。

（5）按式（11）、式（12）更新種群中個(gè)體位置。

（6）計(jì)算適應(yīng)度值，更新θ、β、δ狼的位置。

（7）判斷終止條件是否滿足。若滿足，則輸出最優(yōu)解；否則轉(zhuǎn)至步驟（3）繼續(xù)迭代。

2.3 IGWO－LSSVM模型計(jì)算流程

采用RBF的LSSVM模型有正則化參數(shù)和核寬度兩個(gè)超參數(shù)，需要在回歸過(guò)程中進(jìn)行優(yōu)化，其中：正則化參數(shù)決定經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和置信范圍的比例，核寬度決定樣本數(shù)據(jù)映射到特征空間分布的復(fù)雜性且影響模型在特征空間中獲得最優(yōu)分類超平面的泛化性能。因此，本文采用IGWO算法優(yōu)化模型超參數(shù)，以進(jìn)一步提升LSSVM模型的需水預(yù)測(cè)泛化能力。主要步驟：①選取需水量試驗(yàn)數(shù)據(jù)并進(jìn)行歸一化處理，初始化IGWO和LSSVM模型參數(shù)；②將RMSE作為優(yōu)化過(guò)程的目標(biāo)函數(shù)，以目標(biāo)函數(shù)值最小為原則，采用IGWO模型優(yōu)化LSSVM模型的兩個(gè)參數(shù)；③采用最優(yōu)的超參數(shù)構(gòu)建LSSVM模型，并對(duì)測(cè)試集數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證。IGWOLSSVM模型計(jì)算流程見(jiàn)圖2。

圖2 IGWO－LSSVM模型計(jì)算流程

3 城市需水預(yù)測(cè)

采用IGWO－LSSVM模型進(jìn)行需水量預(yù)測(cè)。城市供水系統(tǒng)復(fù)雜，需水量具有非線性和隨機(jī)波動(dòng)性，其變化受氣候、降水量、工業(yè)用水量、居民用水量等多種因素影響。本文提出一種基于最小二乘支持向量機(jī)的時(shí)間序列需水量預(yù)測(cè)方法，用于預(yù)測(cè)城市用水量變化的總體趨勢(shì)。崔東文等［15］采用SPSS軟件對(duì)用水序列進(jìn)行自相關(guān)分析時(shí)，指出當(dāng)滯后數(shù)為4時(shí)，預(yù)測(cè)模型具有較好的預(yù)測(cè)效果，因此本文選用前4 a的供水量作為輸入變量，以當(dāng)前年份的供水量作為輸出變量。表1給出1985—2019年上海市自來(lái)水供水量數(shù)據(jù)，共35組。隨機(jī)選擇30組數(shù)據(jù)用作訓(xùn)練集，采用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)對(duì)IGWO－LSSVM模型進(jìn)行訓(xùn)練并建立需水預(yù)測(cè)模型，剩余5組數(shù)據(jù)用于測(cè)試模型的性能。

表1 上海市自來(lái)水逐年供水量 億m3

為了驗(yàn)證IGWO－LSSVM模型的性能，采用剩余5組數(shù)據(jù)對(duì)訓(xùn)練后的模型進(jìn)行測(cè)試，并與PSO－LSSVM模型、GWO－LSSVM模型的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)表2?？傮w而言，PSO－LSSVM、GWO－LSSVM、IGWOLSSVM三種模型均能對(duì)5組測(cè)試樣本做出合理預(yù)測(cè)，前2種模型的平均相對(duì)誤差（1.82%、1.86%）均較為接近，而IGWO－LSSVM模型平均相對(duì)誤差為0.78%，比前2種模型平均相對(duì)誤差更小、精度更高，表明改進(jìn)后的IGWO具有更好的全局優(yōu)化能力、能尋找出更優(yōu)的模型超參數(shù)，可有效解決城市需水預(yù)測(cè)問(wèn)題。

表2 模型預(yù)測(cè)效果

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)城市需水預(yù)測(cè)模型中需水量影響因子眾多且非線性的問(wèn)題，提出一種基于最小二乘支持向量機(jī)的非線性預(yù)測(cè)模型，以提升城市需水預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。模型的超參數(shù)決定著LSSVM模型的泛化性能，提出采用IGWO對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。通過(guò)引入一般性反向?qū)W習(xí)與非線性控制參數(shù)策略，以改善其全局優(yōu)化性能，進(jìn)而提高超參數(shù)優(yōu)化選擇能力。采用構(gòu)建的IGWO－LSSVM模型對(duì)上海市需水量進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果顯示該模型平均相對(duì)誤差為0.78%，比PSO－LSSVM模型、GWO－LSSVM模型的預(yù)測(cè)精度更高，表明改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法在城市需水預(yù)測(cè)模型中具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。