混合失配模型預(yù)測金屬/半導(dǎo)體界面熱導(dǎo)*

宗志成 潘東楷 鄧世琛 萬驍 楊哩娜 馬登科 楊諾?

1)(華中科技大學(xué)能源與動力工程學(xué)院,武漢 430074)

2)(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081)

3)(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京 210000)

聲學(xué)失配模型和漫散射失配模型被廣泛應(yīng)用于界面熱導(dǎo)的計算,兩種模型分別建立在極端光滑和粗糙界面的假設(shè)基礎(chǔ)上.由于實際界面結(jié)構(gòu)與兩種假設(shè)的區(qū)別較大,造成兩種模型預(yù)測結(jié)果與實際界面熱導(dǎo)偏差較大.近期提出的混合失配模型考慮了界面結(jié)構(gòu)對聲子鏡面透射和漫散射透射比例的影響,預(yù)測的準(zhǔn)確度有所提高.但該模型需要通過分子動力學(xué)模擬獲取界面聲子信息較為復(fù)雜.為此,本文通過引入測量的粗糙度數(shù)值簡化混合失配模型,并增加考慮界面結(jié)構(gòu)對接觸面積的影響,實現(xiàn)對界面熱導(dǎo)簡單快捷、準(zhǔn)確地預(yù)測.基于該模型,計算預(yù)測了金屬(鋁、銅、金)和半導(dǎo)體(硅、碳化硅、砷化鎵、氮化鎵)的界面熱導(dǎo).并將鋁/硅界面的結(jié)果與實驗測量結(jié)果對比,數(shù)據(jù)吻合較好.該模型不僅有助于界面導(dǎo)熱機理的理解,而且利于與測量結(jié)果對比.

1 引言

現(xiàn)代電子器件尺寸的逐漸減小和功率密度的迅速增大,使得散熱已成為器件性能和可靠性的最重要挑戰(zhàn)之一[1?6].特別是在包含高密度界面結(jié)構(gòu)的納米器件和結(jié)構(gòu)中,其特征尺寸已縮小到能量載流子平均自由程的量級,原子尺度界面熱阻已經(jīng)無法被忽視[4,7?10],頻率更高、密度更大的微電子器件散熱問題對增大界面熱導(dǎo)的需求更為迫切[11,12].深入理解金屬/半導(dǎo)體界面的熱輸運對于熱科學(xué)的基礎(chǔ)和工程應(yīng)用,如半導(dǎo)體器件的熱管理都是至關(guān)重要的.

近年來,界面熱輸運已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的研究熱點[13].Deng等[3]用漫散射失配模型預(yù)測了SiC/SiO2和Si/SiO2的界面熱導(dǎo),其預(yù)測值與3-omega 實驗的測量結(jié)果非常吻合.分子動力學(xué)(molecular dynamics,MD)被廣泛用于界面熱輸運的模擬,如Yang等[10]模擬了Al/Si 界面的熱輸運,并發(fā)現(xiàn)界面處原子的無序程度是影響界面聲子運輸?shù)囊粋€重要方面.Peng等[5]研究石墨烯/水界面時發(fā)現(xiàn),引入超晶格結(jié)構(gòu)可以顯著增強界面的熱輸運.Ren等[14]對于石墨烯/六方氮化硼范德瓦耳斯異質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究表明,層間旋轉(zhuǎn)是控制范德瓦耳斯異質(zhì)結(jié)構(gòu)熱輸運的一種有效方法.此外,Yang等[8]通過非平衡格林函數(shù)(non-equilibrium Green function,NEGF)方法和機器學(xué)習(xí)算法研究了一維原子鏈中間層質(zhì)量分布對界面熱導(dǎo)的影響,計算了界面熱導(dǎo)極值對應(yīng)的質(zhì)量分布.納米尺度下界面熱輸運極大依賴于界面結(jié)構(gòu)[13,14],實驗發(fā)現(xiàn),界面熱阻和以下幾種因素有關(guān):粗糙度[15?18]、界面缺陷[17,19,20]和生長方法[21?23]等.

作為經(jīng)典的界面熱輸運理論模型,由于其簡單易用,聲學(xué)失配模型(acoustic mismatch model,AMM)和漫散射失配模型(diffuse mismatch model,DMM)被廣泛應(yīng)用于界面熱導(dǎo)的預(yù)測.然而AMM 和DMM分別建立在極端光滑和粗糙界面的假設(shè)基礎(chǔ)上,沒有考慮具體界面結(jié)構(gòu),其預(yù)測結(jié)果與實際界面熱導(dǎo)有較大偏差.Zhang等[24]提出了混合失配模型(modified mismatch model,MMM),考慮界面粗糙度及其對聲子鏡面透射和漫散射透射比例的影響,對界面熱導(dǎo)預(yù)測更準(zhǔn)確,但其需要借助MD 模擬獲取界面聲子信息,其復(fù)雜性限制被更廣泛使用.

本文提出利用實驗測量得到的粗糙度數(shù)值,簡化混合失配模型,從而更方便快捷地對界面熱導(dǎo)進行預(yù)測.首先,根據(jù)晶格動力學(xué)和第一性原理計算了金屬(鋁、銅、金)和半導(dǎo)體(硅、碳化硅、砷化鎵、氮化鎵)的聲子熱輸運參數(shù).隨后,基于簡化的混合失配模型,計算預(yù)測了金屬(鋁、銅、金)和半導(dǎo)體(硅、碳化硅、砷化鎵、氮化鎵)的界面聲子透射率和界面熱導(dǎo).并將鋁/硅界面熱導(dǎo)的計算結(jié)果與實驗測量結(jié)果對比,計算準(zhǔn)確度得到驗證.

2 理論與方法

對于金屬/半導(dǎo)體界面,熱的載流子包括聲子和電子[6].針對電子貢獻(xiàn)率的問題,研究人員們開展了諸多工作,如Singh等[25]基于Bloch-Boltzmann-Peierls 公式的研究發(fā)現(xiàn)電子-聲子耦合對界面熱輸運的貢獻(xiàn)可以忽略;Hamaoui等[26]通過頻域光熱輻射法研究發(fā)現(xiàn),對于金屬/硅界面在高于150 K 時界面熱輸運主要由聲子主導(dǎo);Giri等[27]則通過時域熱反射測量法研究發(fā)現(xiàn),對于金屬/半導(dǎo)體界面,只有當(dāng)電子和聲子之間處于高度非平衡的條件下,界面上的電子-聲子散射才會對界面熱導(dǎo)有貢獻(xiàn).因此,電子-聲子耦合對固-固界面熱導(dǎo)的重要性仍存在爭議[28].當(dāng)處于平衡條件下時,在金屬/非金屬界面中電子對界面熱導(dǎo)的貢獻(xiàn)大多被認(rèn)為可以忽略[13].因此在本文中僅考慮了聲子對界面熱導(dǎo)的貢獻(xiàn).

根據(jù)Landauer 公式的假設(shè),簡化A 和B 是各向同性的德拜固體[29].此時界面熱導(dǎo)的理論模型計算結(jié)果Gm可以通過(1)式進行預(yù)測:

其中ω為頻率;為材料A 的聲子色散關(guān)系截止頻率;DA為聲子態(tài)密度(density of states,DOS);n(ω,T)為玻色-愛因斯坦分布函數(shù);v為聲子群速度;αA→B為界面處聲子透射系數(shù);下標(biāo)j表示不同的聲子模式.由(1)式可知,只需得到界面兩側(cè)材料的聲子熱輸運參數(shù)和界面處的聲子透射率αA→B,即可得到理論界面熱導(dǎo)Gm.在本文中,聲子熱輸運參數(shù)主要通過晶格動力學(xué)和第一性原理進行計算,而界面處的聲子透射率將采用理論模型進行計算.

AMM 和DMM 作為經(jīng)典的界面聲子輸運模型,其計算公式為[29]

其中ρ為材料的密度.

AMM 假設(shè)界面僅發(fā)生透射和反射,而DMM假設(shè)界面處發(fā)生漫散射,但在實際情況中的固-固界面處,聲子會同時發(fā)生透射、反射和漫散射[30,31].因此,MMM 中用一個假設(shè)的鏡面參數(shù)p來表示聲子在界面上的鏡面透射比例,則聲子漫散射的比例為(1-p),此時的聲子透射率通過AMM 和DMM的線性組合來定義[24]:

Ziman等[32]曾指出鏡面參數(shù)p與均方根粗糙度η和聲子波長λ有關(guān),并將這種關(guān)系定義為

(5)式的關(guān)鍵是界面處的粗糙度η的獲得,Zhang等[24]采用MD 模擬了Al/Si 界面,并采用DOS 來表征η的大小,但MD 復(fù)雜的建模與模擬時間使得MMM 的使用極為復(fù)雜.因此,本文使用先前研究人員測量得到的粗糙度η代入(5)式中得到鏡面參數(shù)p,進而可以簡便使用MMM 模型計算界面熱導(dǎo),并與實驗測量的結(jié)果進行對比驗證.

此外,在實際情況中界面處材料間接觸通常存在孔隙、不是理想的完美接觸,因此實際接觸面積將變小影響導(dǎo)熱.為了界面熱導(dǎo)預(yù)測中增加孔隙對接觸面積的影響,本文引入修正接觸面積的參數(shù)S(界面接觸系數(shù)).當(dāng)界面處完美無孔隙時,S=1;對于實際情況,界面處存在孔隙時,S<1.實際情況下的界面熱導(dǎo)G可以表示為

其中Gm是理論模型計算得到的界面熱導(dǎo)值;S為界面接觸系數(shù),當(dāng)界面處無孔隙時,S=1,當(dāng)界面處存在孔隙時,S<1.

3 結(jié)果和討論

金屬(Al,Cu,Au)和半導(dǎo)體(Si,SiC)的色散關(guān)系及DOS 使用晶格動力學(xué)軟件GULP[33]計算,其中Al 采用Mei-Davenport[34]勢函數(shù),Cu 和Au使用EAM[35,36]勢函數(shù),Si 使用SW[37]勢函數(shù),SiC使用Tersoff[38]勢函數(shù).GaAs 和GaN 的色散關(guān)系及DOS 使用VASP[39]結(jié)合PHONOPY[40]計算.以上3 種金屬和4 種半導(dǎo)體材料的聲子色散關(guān)系及DOS 如圖1 和圖2 所示.

圖1 金屬的聲子色散關(guān)系和DOS(a)Al;(b)Cu;(c)AuFig.1.Phonon dispersion relations and DOS of metals:(a)Al;(b)Cu;(c)Au.

圖2 半導(dǎo)體的聲子色散關(guān)系和DOS(a)Si;(b)SiC;(c)GaAs;(d)GaNFig.2.Phonon dispersion relations and DOS of semiconductors:(a)Si;(b)SiC;(c)GaAs;(d)GaN.

圖1 和圖2 中紅色的曲線代表的是DOS,并進行了歸一化處理.金屬(Al,Cu,Au)均為面心立方結(jié)構(gòu),原胞中僅有一個原子,因此色散關(guān)系曲線中僅有聲學(xué)支,截止頻率由大到小依次為:Al(8.4 THz),Cu(8.1 THz),Au(3.8 THz).對于半導(dǎo)體材料,原胞中不止一個原子,因此色散關(guān)系曲線中除了聲學(xué)支還有光學(xué)支的存在.由于在理論模型中,界面僅考慮相同聲子模式j(luò)間的作用,因此對于半導(dǎo)體材料同樣僅考慮聲學(xué)支對界面熱導(dǎo)的貢獻(xiàn),截止頻率由大到小依次為:SiC(20 THz),Si(13 THz),GaN(7.1 THz),GaAs(6.2 THz).各模式的聲子群速度vj可由聲子色散關(guān)系曲線得到(聲子群速度詳見補充材料圖S1 和圖S2(online)),下面展示金屬Al 和半導(dǎo)體(Si,SiC,GaAs,GaN)界面熱導(dǎo)的計算過程.

在計算界面聲子透射率頻譜之前,首先需要確定聲子傳輸?shù)姆较?在理論模型計算界面熱導(dǎo)(G)時DMM 不存在方向性的問題,即GDMM,A→B=GDMM,B→A.但AMM 存在方向性的問題.AMM中聲子入射角和透射角服從Snell 定律,當(dāng)材料A的聲子群速度大于材料B 的聲子群速度時,來自材料A 的聲子能以任意入射角通過界面?zhèn)鬏?而在反方向,材料B 的入射角不能超過臨界角,以避免全反射[28,29].因此在本文DMM 和MMM 的計算中均選擇聲子群速度較大一側(cè)向群速度較小一側(cè)傳輸.

對于Al 和半導(dǎo)體(Si,SiC,GaAs,GaN)可根據(jù)(2)—(5)式,分別計算AMM,DMM 和MMM(粗糙度:0.28 nm,1.38 nm,2.16 nm)三種模型下的界面聲子透射率頻譜如圖3 所示,同樣可以計算金屬(Cu,Au)和半導(dǎo)體(Si,SiC,GaAs,GaN)界面的聲子透射率頻譜(詳見補充材料圖S3 和圖S4(online)).對于Al/Si,Al/GaAs 和Al/GaN 界面,在大多數(shù)頻率下AMM 計算所得的界面聲子透射率要高于DMM 的計算結(jié)果.這是因為AMM 假設(shè)入射界面處的聲子通過鏡面透射,不發(fā)生散射,因此透射概率由聲學(xué)阻抗失配決定.相反,DMM假設(shè)界面是完全無序的,所有聲子都是擴散散射的.而對于Al/SiC 界面,則是DMM 計算結(jié)果更高,而對于Al/SiC 界面兩側(cè)材料阻抗失配較大,此時DMM 預(yù)測的結(jié)果大于AMM 的結(jié)果[29].

圖3 AMM,DMM 和MMM(粗糙度:0.28,1.38,2.16 nm)三種模型計算界面聲子透射率頻譜對比(a)Al/Si 界面;(b)Al/SiC界面;(c)Al/GaAs 界面;(d)Al/GaN 界面Fig.3.Comparison of phonon transmittance spectra calculated by AMM,DMM and MMM(roughness:0.28,1.38,2.16 nm):(a)Al/Si interface;(b)Al/SiC interface;(c)Al/GaAs interface;(d)Al/GaN interface.

將聲子輸運參數(shù)和聲子透射率代入(1)式中即可得到界面熱導(dǎo)隨溫度變化的曲線.此外,在理論模型計算前,參考界面接觸力學(xué)理論[41],得到界面接觸系數(shù)S與界面粗糙度的關(guān)系,如圖4 所示.其中,ηmax為界面兩側(cè)材料的原子間經(jīng)驗勢函數(shù)截止半徑,當(dāng)界面粗糙度大于這個值時,認(rèn)為界面接觸系數(shù)趨近于0,對于Al/Si 界面,該值為4.7 nm(其他界面的ηmax詳見補充材料表S1(online)),其他金屬/半導(dǎo)體界面同樣可采用上述方法得到界面接觸系數(shù)S與界面粗糙度的關(guān)系.

圖4 界面接觸系數(shù)S 和粗糙度之間的關(guān)系,其中ηmax 為界面兩側(cè)材料的原子間經(jīng)驗勢函數(shù)截止半徑,當(dāng)界面粗糙度大于這個值時,認(rèn)為界面接觸系數(shù)趨近于0,對于Al/Si界面,該值為4.7 nmFig.4.Relationship between interface contact coefficientS and roughness,whereηmax is the cutoff radius of the interatomic empirical potential function of the materials on both sides of the interface.When the roughness of the interface is greater than this value,the interface contact coefficient is considered to approach 0,which is 4.7 nm for Al/Si interface.

將系數(shù)S代入(6)式中即可計算不同溫度、不同粗糙度下的理論模型結(jié)果,如圖5 所示.并與Al/Si 界面實驗測量值進行對比,得出結(jié)論:MMM計算的界面熱導(dǎo)值與實驗測量值吻合度較高.

從圖5 可以看出,界面熱導(dǎo)的大小隨著溫度升高逐漸趨于飽和.在此過程中,聲子群速度、DOS和界面透射率均保持不變.界面熱導(dǎo)的變化的原因是玻色-愛因斯坦分布,在低溫條件下,只有低頻聲子對界面熱導(dǎo)有貢獻(xiàn).因此,當(dāng)溫度升高時,更多頻率較高的聲子被激發(fā)參與界面熱輸運,從而增加了界面熱導(dǎo).當(dāng)溫度足夠大時,激發(fā)的聲子數(shù)飽和,溫度的升高將不會再使更多的聲子參與界面熱輸運.因此,界面熱導(dǎo)會處于飽和狀態(tài).

圖5 AMM,DMM 和MMM(粗糙度:0.28,1.38,2.16 nm)預(yù)測界面熱導(dǎo)隨溫度的變化(a)Al/Si 界面;(b)Al/SiC 界面;(c)Al/GaAs界面;(d)Al/GaN 界面;實驗值來源于Hopkins等[16]的測量Fig.5.Curves of interfacial thermal conductance predicted by AMM,DMM and MMM(roughness:0.28,0.53,1.38 nm)models as a function of temperature:(a)Al/Si interface;(b)Al/SiC interface;(c)Al/GaAs interface;(d)Al/GaN interface.The experimental values were obtained from measurements made by Hopkins et al.[16].

對于其他金屬(Cu,Au)和半導(dǎo)體(Si,SiC,GaAs,GaN)界面同樣可根據(jù)上述流程計算界面熱導(dǎo)隨溫度變化曲線(詳見補充材料圖S5 和圖S6(online)),同時在理論模型計算時,采用了圖4 中同樣方法得到不同界面的接觸系數(shù)S,以上界面熱導(dǎo)在不同粗糙度下的計算結(jié)果如圖6 所示,可以發(fā)現(xiàn),對于金屬/半導(dǎo)體界面,當(dāng)粗糙度增大時,界面熱導(dǎo)普遍會減小,這與前人的研究結(jié)論一致[15,16,18,28].

圖6 MMM 模型預(yù)測300 K 時的金屬(Al,Cu,Au)和半導(dǎo)體(Si,SiC,GaAs,GaN)界面熱導(dǎo),其中粗糙度取值為0.28,1.38,2.16 nmFig.6.Interfacial thermal conductance of metal(Al,Cu,Au)and semiconductor(Si,SiC,GaAs,GaN)interfaces predicted by MMM model at 300 K,roughness values:0.28 nm,1.38 nm,2.16 nm.

從圖6 可以發(fā)現(xiàn),Al/半導(dǎo)體界面和Cu/半導(dǎo)體界面熱導(dǎo)的預(yù)測結(jié)果十分相似,但與Au/半導(dǎo)體界面相差較大.Al 和Cu 聲子色散關(guān)系和DOS 極其相似,參與到界面熱輸運的聲子頻率近似,但金的聲子色散關(guān)系截止頻率低,使得只有較少的低頻聲子參與到界面熱輸運中.同時可以看出在金屬/半導(dǎo)體界面中,Al,Cu 組成的金屬/半導(dǎo)體界面熱導(dǎo)要普遍更高,主要原因是相比Au,金屬(Al,Cu)聲子色散關(guān)系截止頻率較高,與半導(dǎo)體材料的DOS重合度高,同時對于聲子色散關(guān)系截止頻率較高的金屬,如鉬(Mo)[42]、鉻(Cr)[43]、鎳(Ni)[44]也可得到較高的界面熱導(dǎo);而其他聲子色散關(guān)系截止頻率較低的金屬,如鉑(Pt)[44]、釕(Ru)[45]、鎢(W)[46]只能得到相對較低的界面熱導(dǎo).

而從半導(dǎo)體的角度對比發(fā)現(xiàn),在金屬(Al,Cu)/半導(dǎo)體界面中,Si 和GaN 組成的界面熱導(dǎo)更高,而熱導(dǎo)率較高的SiC 在金屬/半導(dǎo)體界面中界面熱導(dǎo)偏低,主要是因為SiC 的聲學(xué)支截止頻率遠(yuǎn)高于Al 和Cu,而Si 和GaN 的聲學(xué)支截止頻率與Al 和Cu 相對接近,DOS 重合度更大,界面熱輸運中有更多聲子參與.聲學(xué)支截止頻率較低的半導(dǎo)體如氧化鋅(ZnO)[47]、氧化鎵(Ga2O3)[48]、磷化銦(InP)[49]則只能得到較低的界面熱導(dǎo).而對于GaAs 而言,Au 的色散關(guān)系截止頻率更加近似,DOS 重合度更高,因此Au/GaAS 界面熱導(dǎo)要大于Au/半導(dǎo)體(Si,SiC,GaN)界面.

4 總結(jié)和展望

綜上,本文通過考慮界面粗糙度和界面結(jié)構(gòu)對金屬/半導(dǎo)體界面熱導(dǎo)的影響,提出預(yù)測界面熱導(dǎo)的簡化混合失配模型.通過將鋁/硅界面的預(yù)測結(jié)果與實驗測量結(jié)果進行比較,驗證了簡化混合失配模型的正確性.基于該模型,本文計算預(yù)測了金屬(鋁、銅、金)和半導(dǎo)體(硅、碳化硅、砷化鎵、氮化鎵)的界面熱導(dǎo),計算結(jié)果表明金屬/半導(dǎo)體界面熱導(dǎo)會隨溫度的升高而增大,但當(dāng)溫度較高時,界面熱導(dǎo)增幅減緩.此外,充分考慮界面結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果表明界面熱導(dǎo)會隨粗糙度的增大而降低.簡化混合失配模型具有使用簡單、預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確的特點,有利于對界面熱導(dǎo)預(yù)測以及與實驗測量結(jié)果進行對比和分析.

混合失配模型考慮了界面粗糙度的影響,以實現(xiàn)較為精確的預(yù)測.因其基于傳統(tǒng)的聲學(xué)失配模型和漫散射失配模型,所以無法考慮高溫時多聲子散射過程對界面熱阻的影響.此外,界面處的結(jié)構(gòu)形變會導(dǎo)致出現(xiàn)新的界面聲子模式[10,50,51],進而影響界面熱阻.借助分子動力學(xué),混合失配模型可以考慮界面聲子模式的影響[24].本文在簡化模型的同時,無法考慮界面聲子模式的影響.