在超強(qiáng)磁場中修正的相對論電子壓強(qiáng)*

董愛軍 高志福 楊曉峰 王娜 劉暢 彭秋和

1)(貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,貴陽 550001)

2)(中國科學(xué)院新疆天文臺,烏魯木齊 830011)

3)(南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院,南京 210000)

4)(貴州省射電天文數(shù)據(jù)處理重點實驗室,貴陽 550001)

當(dāng)前脈沖星領(lǐng)域一個重要的研究熱點是磁星.本文在朱翠等(Zhu C,Gao Z F,Li X D,Wang N,Yuan J P,Peng Q H 2016Mod.Phys.Lett.A 31 1650070)工作的基礎(chǔ)上,重新研究了磁星超強(qiáng)磁場下(B?Bcr,Bcr 是電子的量子臨界磁場)電子朗道能級的穩(wěn)定性及其對電子壓強(qiáng)的影響.首先,對弱磁場極限下(B?Bcr)中子星內(nèi)部電子壓強(qiáng)進(jìn)行必要的回顧;然后,通過引入電子朗道能級穩(wěn)定性系數(shù)gν 和Dirac-δ 函數(shù),推導(dǎo)出在超強(qiáng)磁場下修正的相對論電子壓強(qiáng)Pe 的表達(dá)式,給出表達(dá)式適用條件:物質(zhì)密度ρ≥107 g·cm—3和Bcr ≤B <1017 G(1 G=10—4 T).超強(qiáng)磁場通過修正相對論電子的相空間,提高了電子數(shù)密度ne,而ne 的增加意味著Pe 的增加.利用修正的電子壓強(qiáng)表達(dá)式,討論了超強(qiáng)磁場下費米子自旋極化現(xiàn)象、電子磁化現(xiàn)象以及超強(qiáng)磁場對物態(tài)方程的修正.最后,本文的結(jié)果與其他類似工作進(jìn)行對比,并對未來的工作進(jìn)行展望.本文的研究將為磁星以及強(qiáng)磁化白矮星的物態(tài)方程和熱演化的探索提供極有價值的參考,將為普通射電脈沖星等離子磁層數(shù)值模擬、高磁場脈沖星輻射機(jī)制等相關(guān)研究提供有用的信息.

1 引言

磁星是主要由磁場提供輻射能量的一類脈沖星,屬于近些年來被關(guān)注的特殊類的致密天體[1,2],其表面磁場超過電子的臨界磁場Bcr(Bcr=4.41×1013G(1 G=10—4T)),在這樣強(qiáng)的磁場下,電子朗道能級被強(qiáng)烈地量子化[3,4].磁星的典型特征之一是X 射線波段和軟γ射線波段有著超過愛丁頓光度的短期爆發(fā);部分磁星會發(fā)射出中等或巨型閃耀,后者在不到0.5 s 內(nèi)能釋放出高達(dá)1046erg(1 erg=10—7J)的能量.軟γ射線重復(fù)暴和反常X射線脈沖星被認(rèn)為是磁星候選者.磁星和太陽耀發(fā)常被解釋為由劇烈磁重聯(lián)引起,但是磁星在寧靜狀態(tài)下X 射線輻射常被歸因于超強(qiáng)磁場的衰減[3-7].

中子星內(nèi)部處于β平衡中的完全簡并的相對論電子氣體,其分布函數(shù)f(Ee)服從費米-狄拉克統(tǒng)計.當(dāng)溫度T→ 0 時,電子化學(xué)勢μe稱為電子費米能.電子費米能是致密星物態(tài)方程中一個非常重要的物理量.近年來,國內(nèi)外不少作者對致密星環(huán)境下的物態(tài)方程、中微子輻射和相對論電子進(jìn)行關(guān)注和研究[8-14].其中,劉晶晶等[15-19]對包括修正的Urca 過程、β衰變、電子俘獲以及中微子吸收等進(jìn)行長期的研究,并取得了豐碩的成果.高志福等[20]通過引入超強(qiáng)磁場下的Dirac-δ函數(shù),給出了超強(qiáng)磁場下簡并的相對論電子壓強(qiáng)Pe(若無特殊強(qiáng)調(diào),本文Pe單位均為dyns·cm—2)的一個特解:

其中Ye是電子豐度,B是磁場強(qiáng)度,ρ是物質(zhì)密度,飽和核密度ρ0=2.8×1014g·cm—3.方程(1)的適用范圍為ρ≥107g·cm—3和Bcr≤B<1017G.文獻(xiàn)[20]的主要結(jié)論有:磁場強(qiáng)度越大,電子壓強(qiáng)越大,磁星的總壓強(qiáng)總是各向異性的,與普通射電脈沖星相比,磁星可能是密度更大的中子星;若考慮磁能對物態(tài)方程的貢獻(xiàn),磁星的質(zhì)量可能更大.

朱翠等[21]通過引入電子朗道能級穩(wěn)定性系數(shù),研究了磁星內(nèi)部電子朗道能級的穩(wěn)定性,推導(dǎo)出超強(qiáng)磁場下相對論的特解,并討論了特解的適用范圍.1965 年,Kubo[22]給出關(guān)于強(qiáng)磁化電子氣體的微觀狀態(tài)數(shù)Npha的計算,得出在超強(qiáng)磁場中隨B的增加而減低的結(jié)論,彭秋和等[23]對這種計算方法有所質(zhì)疑.我們發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[22]人為地引入了一個錯誤的假設(shè),即將非相對論電子回旋運動方程的解應(yīng)用到相對論電子運動中,給出超強(qiáng)磁場中電子氣體在z軸方向pz→pz+dpz的動量區(qū)間能態(tài)密度,得出∝1/B的結(jié)論,其中 ? 表示被約化的普朗克常數(shù).在過去的50 年中,其他作者反復(fù)地引用文獻(xiàn)[22],這可能導(dǎo)致人們錯誤地理解強(qiáng)磁化中子星的物理.當(dāng)然,由于地球上缺乏中子星量級的強(qiáng)磁場,人們無法在實驗室中直接驗證與B的關(guān)系.我們認(rèn)為在超強(qiáng)磁場下處理量子化的電子朗道能級應(yīng)該引入Dirac-δ函數(shù),如果B≥1017G,窄長的朗道柱面將會簡化為一維或二維的線性鏈,文獻(xiàn)[20,21]中的結(jié)論將不再適用.

由于篇幅的局限性,朱翠等[21]沒有對超強(qiáng)磁場中電子壓強(qiáng)Pe和磁場強(qiáng)度B、物質(zhì)密度ρ及電子豐度Ye之間關(guān)系進(jìn)行研究,因此沒有給出關(guān)于Pe與B的表達(dá)式,而這樣的表達(dá)式無疑對于修正中子星的物態(tài)方程至關(guān)重要.第2 節(jié)對中子星內(nèi)部弱磁場近似下的電子壓強(qiáng)進(jìn)行回顧;第3 節(jié)推導(dǎo)出超強(qiáng)磁場中修正的電子壓強(qiáng)表達(dá)式,并與其他工作進(jìn)行對比;第4 節(jié)討論超強(qiáng)磁場對電子相空間的修正、超強(qiáng)磁場下費米子極化和磁化問題;第5 節(jié)在相對論平均場模型下給出超強(qiáng)磁場對物態(tài)方程影響的相關(guān)估算,討論中子星內(nèi)部壓強(qiáng)的各向異性;第6 節(jié)進(jìn)行總結(jié)與展望.

2 中子星弱磁場極限下的電子壓強(qiáng)

如果中子星內(nèi)部磁場太弱,磁場對的影響可以忽略.在弱磁場極限下B?Bcr,和Pe均由ρ和Ye共同決定,Pe可寫成多方形式:Pe=KρΓ,其中K和Γ為常數(shù),在以下兩種情況下取值不同.

1)對于非相對論性電子,ρ?107g·cm—3,

2)對于相對論性電子,ρ≥107g·cm—3,

這里,A和Z分別表示核子數(shù)和質(zhì)子數(shù).對于Z和A都給定的原子核,電子與質(zhì)子的豐度相等:Ye=Yp=Z/A;對于理想的中子-質(zhì)子-電子(n-p-e)氣體,Ye=Yp=ne/(np+nn)≈ne/nN,其中np,nn和nN分別表示質(zhì)子數(shù)密度、中子數(shù)密度和核子數(shù)密度.將電子數(shù)密度ne=NAρYe(NA為阿伏伽德羅常數(shù))代入方程(2)和方程(3)中,得到中子星殼層中Pe隨ne的關(guān)系Pe2.45×,該式由李新虎等[24]文章中的方程(14)可以很容易算出.

圖1 給出了弱磁場極限下中子星內(nèi)部相對論電子的Pe隨ne的變化.可以看出,Pe隨ne的增加而增大,點-虛線(dM/dρ＞ 0)表示星體的質(zhì)量隨著物質(zhì)密度的增加而增大,具有這樣質(zhì)量的中子星是穩(wěn)定的;實線(dM/dρ<0)表示星體質(zhì)量隨密度的增加而減小,dM/dρ<0 這樣的中子星不穩(wěn)定.

圖1 中子星內(nèi)部弱磁場極限下相對論電子壓強(qiáng)Pe 隨電子數(shù)密度ne 的變化Fig.1.Relativistic electron pressurePe with electron number densityne in the limit of weak magnetic field inside a neutron star.

3 超強(qiáng)磁場中相對論電子的壓強(qiáng)

3.1 超強(qiáng)磁場中電子朗道能級穩(wěn)定性

為了得到超強(qiáng)磁場中修正的電子壓強(qiáng)表達(dá)式,需要回顧朱翠等[21]的工作.他們首次引入超強(qiáng)磁場中電子的朗道能級穩(wěn)定系數(shù)gν,并假定gν具有冪率指數(shù)的形式:

式中ν=n+1/2+σ是電子占據(jù)的朗道能級數(shù),n是主量子數(shù),σ=±1/2 是電子自旋值,自旋向下(↓)的電子占據(jù)的能級數(shù)ν=0,1,2,3,···,自旋向上(↑)的電子占據(jù)的能級數(shù)ν=1,2,3,···;g0和α分別表示電子的基態(tài)能級穩(wěn)定性系數(shù)和能級穩(wěn)定性指數(shù).當(dāng)ν=1 時,g0=g1,即基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能級具有相同的穩(wěn)定性.為簡化起見,假定g0=g1=1.由量子力學(xué)可知,占據(jù)能級數(shù)n較大的電子具有較高的能量,容易發(fā)生激發(fā)躍遷,從而占據(jù)ν較低的能級,并且ν越大能級穩(wěn)定性越低,即gν＜gν-1＜gν-2,因此α為負(fù)數(shù).在超強(qiáng)磁場中,電子的費米面變成了狹長的朗道柱面.定義無量綱磁場B*B/Bcr,電子最大的朗道能級數(shù)為[21]

其中Int[·]表示對括號內(nèi)的值取最大整數(shù),σ=±1/2 是電子自旋,pz為電子在z軸方向的動量,me是電子的質(zhì)量,c是光速.不難看出,νmax隨磁場增強(qiáng)而減小.

3.2 超強(qiáng)磁場中電子能態(tài)密度

將電子磁矩假定在一個沿著z軸方向的強(qiáng)磁場B*中,電子的費米能為

其中,δ[p⊥/mec-(2B*)1/2] 為Dirac-δ函數(shù),物理意義是:由于朗道能級強(qiáng)量子化,在第n個和第n+1 朗道環(huán)面之間不存在任何微觀量子態(tài).Dν表示自旋簡并度,當(dāng)ν=0 時,Dν=1,ν≥1,Dν=2,則方程(8)寫為

由方程(5)和方程(6)可知,當(dāng)pz=0 時,則有

于是方程(9)被化簡為

將方程(10)代入方程(11)后,則有

引入比率qI2/I1,其中

當(dāng)νmax≥6 時,比率q≈ 1,方程(11)中的求和用積分來代替,具體為

引入變量t=pzc/,于是方程(12)被簡化為

式中λe=h/(mec)表示電子的康普頓波長.

3.3 超強(qiáng)磁場中相對論電子的壓強(qiáng)

根據(jù)泡利不相容原理的要求,電子能態(tài)密度等于電子數(shù)密度,于是得到

其中,

求解方程(16)給出

即始終是由ne確定,而后者由B,ρ和Ye共同決定.高志福等[20]已經(jīng)證明:在平行和垂直于磁場方向電子的最大動量都等于電子的費米動量,

將電子動量進(jìn)行體積分,得到電子壓強(qiáng):

式中φ(xe)是多項式,

方程(23)適用于ρ≥107g·cm—3和Bcr

圖2 不同磁場下中子星內(nèi)部電子壓強(qiáng)Pe隨物質(zhì)密度ρ 的變化Fig.2.Relation between electron pressurePe and matter densityρ in neutron stars with different magnetic fields.

中子星殼層以電子簡并壓為主導(dǎo),特別是在年輕的強(qiáng)磁化中子星(如磁星),星體殼層中磁化率、熱導(dǎo)率、比熱等物理量振蕩行為可能與費米面附近的電子在強(qiáng)磁場中的活動性有關(guān),這些行為本質(zhì)上體現(xiàn)了電子朗道能級的不穩(wěn)定性,未來我們將深入地討論上述問題.近30 年來,強(qiáng)磁場對電子朗道能級的影響早已引起人們廣泛的廣注,研究結(jié)果已成功地應(yīng)用于依靠電子簡并壓來抵抗引力的白矮星研究之中[25-31].下面將以三篇典型性的工作[25-27]為例,對強(qiáng)磁場中電子氣體的壓強(qiáng)的計算方法進(jìn)行簡介,將前人的工作及與本文的工作進(jìn)行對比.

比較發(fā)現(xiàn)方程(24)與方程(7)一致.超強(qiáng)磁場中電子數(shù)密度ne為

方程(27)和方程(23)是Pe在強(qiáng)磁場中兩種不同的表達(dá)式.兩者存在相同點和差異性,相同點包括:1)電子看成理想的氣體,并且忽略了電子反常磁矩;2)電子壓強(qiáng)都與磁場強(qiáng)度B*、電子數(shù)密度ne和電子費米能有關(guān),并且ne和都是包含B*的復(fù)雜函數(shù);3)給定ne和,Pe隨B*的增加而增大;4)隨著磁場的增加,由方程(27)擬合的壓強(qiáng)隨密度變化曲線會出現(xiàn)不規(guī)則的突起或波動,這是因為在第ν個能級電子能態(tài)由部分填充到完全填充轉(zhuǎn)變,或電子由第ν個到第ν+1 個能級躍遷引起,這種現(xiàn)象被認(rèn)為與費米面附近的電子在強(qiáng)磁場中行為有關(guān)[25,26],其本質(zhì)上體現(xiàn)了朗道能級不穩(wěn)定性.

兩者的差異性在于:1)方程(27)是一個包含能級數(shù)ν、復(fù)雜的求和公式,并且νmax取值非常小,通常情況下0 ≤νmax≤ 3[26-28];費米面附近的電子主要集中在基態(tài)ν=0 和第一激發(fā)態(tài)ν=1,有意思的是在給定電子費米能和物質(zhì)密度時,B*越強(qiáng),νmax越小,并且ν值小的能級所對應(yīng)的電子壓強(qiáng)較大;在強(qiáng)磁場下,隨著電子能量值的增加,電子態(tài)密度下降到非常小的值,使得壓強(qiáng)梯度變得非常陡峭,增加了電子的向外簡并壓,從而解釋了超錢德拉塞卡質(zhì)量極限的強(qiáng)磁化白矮星;2)本文給出的方程(23)是一個沒有包含能級數(shù)ν、簡潔的積分表達(dá)式,但在推導(dǎo)過程中要求νmax取值較大,通常情況下νmax≥6,使得求和變?yōu)榉e分,在超強(qiáng)磁場下,電子態(tài)密度和電子能量值同時增加,電子向外簡并壓也隨之增加,不需要考慮電子壓強(qiáng)的梯度,同樣支持強(qiáng)磁化白矮星模型.產(chǎn)生上述差異性的原因是:在以往的工作中沒有引入電子朗道能級穩(wěn)定性系數(shù)和Dirac-δ函數(shù).

圖3 是本文工作與強(qiáng)磁場中電子數(shù)密度和電子壓強(qiáng)其他研究的對比.圖3(a)顯示強(qiáng)磁化白矮星中電子壓強(qiáng)Pe隨ρ的變化[28].白矮星由碳元素12C 組成,壓強(qiáng)P=Pe+PL,這里Pe是按照方程(27)計算的電子壓強(qiáng),PL是晶格壓強(qiáng)(受磁場影響忽略不計);此外實線、長虛線、短虛線和點線分別表示星體中心磁場B*=0,10,100 和200 時的擬合曲線.比較發(fā)現(xiàn):當(dāng)0 ≤B*≤ 10 時,磁場對白矮星的狀態(tài)方程和星體結(jié)構(gòu)的影響非常小;當(dāng)B*?1 時(如B*≥100),強(qiáng)磁場的效應(yīng)則不能忽略.圖3(a)中,由于PL?Pe,因此不需要考慮PL.圖3(a)還表明在相同的物質(zhì)密度下,Pe隨B*的增加而增大,且曲線出現(xiàn)多處突起,說明電子的朗道能級不穩(wěn)定.

圖3 本文與其他強(qiáng)磁場中電子數(shù)密度和電子壓強(qiáng)研究的對比(a)強(qiáng)磁化白矮星中電子壓強(qiáng)Pe隨ρ 變化關(guān)系;(b)中子星殼層電子數(shù)密度ne隨ρ 變化關(guān)系;(c)磁化白矮星中(最大電子費米能量EFmax=20mec2)電子壓強(qiáng)Pe隨ρ 變化關(guān)系;(d)兩種不同的理論模型下白矮星中電子壓強(qiáng)Pe隨ρ 變化關(guān)系Fig.3.Study of electron number density and electron pressure in strong magnetic fields by other authors and their comparison with this work:(a)Relationship between electron pressurePe andρ in a strongly magnetized white dwarf(WD);(b)relationship between the electron number densityne andρ in the crust of a neutron star;(c)electron pressurePe as a function ofρ in a magnetized WD with maximum electron Fermi energyEFmax=20mec2;(d)electron pressurePe as a function ofρ in a magnetized WD under two different theoretical models.

與強(qiáng)磁化白矮星對比,圖3(b)給出了中子星內(nèi)殼層ne在不同磁場下隨ρ的變化[29],點線、虛線和實線分別表示殼層磁場強(qiáng)度B*=0,103和104時的擬合曲線,后兩條曲線由方程(23)擬合得到.對于B*=103或更小的場強(qiáng),大量的朗道能級被電子填充,電子數(shù)密度與零磁場的結(jié)果幾乎沒有區(qū)別.對于較強(qiáng)磁場,例如B*=104,電子分布在第0 個(ν=0)朗道能級或某個質(zhì)量密度范圍內(nèi)的幾個能級,在這種情況下與零磁場情況相比,電子數(shù)密度顯著增強(qiáng).而本文的計算給出關(guān)系式:(B*)1/6ne,其中和ne分別為超強(qiáng)磁場下和零磁場下的電子數(shù)密度.這個關(guān)系式應(yīng)用到中子星殼層,給出的電子數(shù)密度變化趨勢與圖3(b)給出的變化趨勢基本一致,因為強(qiáng)磁場通過對晶格能的修正會改變原子核的序列,提高質(zhì)子豐度和核子平衡密度,電子的化學(xué)勢也得到提升,相關(guān)的工作可以參考作者在2013 年的工作[20].然而在密度較高時,在圖3(b)中沒有看到電子豐度的增加,反而是電子數(shù)密度變化隨磁場的增加而減低,這與本文給出的結(jié)論相反.文獻(xiàn)[29]給出有意思的解釋:在強(qiáng)磁場下,在密度較高區(qū)域從原子核中流出的中子減少.在中子星高密度區(qū)域,如外核與內(nèi)核區(qū),由于中子簡并壓主導(dǎo)中子星的物態(tài)方程,文獻(xiàn)[29]對電子壓強(qiáng)不再討論.需要強(qiáng)調(diào)的是,文獻(xiàn)[29]給出B*=104這樣的強(qiáng)磁場超出本文電子壓強(qiáng)表達(dá)式的適用范圍,給出的低磁場B*≤ 103與本文給出的低磁場B*≤ 1 相差較大.

為了和文獻(xiàn)[27]的結(jié)果進(jìn)行比較,圖3(d)給出兩種不同的理論模型下白矮星中電子壓強(qiáng)Pe隨物質(zhì)密度ρ的變化,密度范圍為ρ=1.2×109—1.17×1010g·cm—3.黑色實線表示B*=0時Pe隨ρ的變化,根據(jù)Pe=2.45×10—17ne4/3=2.45×10—17(NAρYe)4/3得到Pe的變化范圍為6.31×1026—1.35×1028dyns·cm—2,紅色點-虛線表示在EFmax=20mec2和B*=199.5 情況下Pe隨ρ的變化.為了簡化計算,取νmax=1,由方程(27)得到Pe的變化范圍為8.46×1027—3.27×1028dyns·cm—2;藍(lán)色點-虛線表示在B*=199.5時Pe隨ρ的變化,由方程(23)得到Pe的變化范圍為1.24×1028—2.56×1029dyns·cm—2.對比DM2012 模型[27],發(fā)現(xiàn)在相同的磁場下電子壓強(qiáng)隨密度增加較快,所對應(yīng)的最大電子費米能遠(yuǎn)大于20mec2,這是因為兩種不同的理論模型給出電子數(shù)密度、電子費米能和電子壓強(qiáng)的計算方法存在著一定的差異.

4 超強(qiáng)磁場下量子電動力學(xué)現(xiàn)象

4.1 超強(qiáng)磁場對電子相空間的修正

超強(qiáng)磁場通過修正相對論電子的相空間,會導(dǎo)致簡并的相對論電子重新分布.根據(jù)泡利不相容原理,電子將從朗道能級的最低量子能態(tài)填充到最高能態(tài).隨著磁場強(qiáng)度B的增加,越來越多的電子占據(jù)更高的朗道能級,但隨著電子朗道能級數(shù)的增加,電子朗道能級穩(wěn)定性系數(shù)會減小.在超強(qiáng)磁場中電子數(shù)密度的增加意味著電子簡并壓強(qiáng)的增加.

在中子星內(nèi)部,簡單的中子衰變和連續(xù)的電子俘獲同發(fā)生,然而超強(qiáng)磁場可能會使前者的速率大于后者.由于更多的中子轉(zhuǎn)化為質(zhì)子,質(zhì)子的豐度增加,根據(jù)電中性要求,電子豐度相應(yīng)增加,因此ne也會增加;另外,由核物理知識可知,質(zhì)子的豐度反映核物質(zhì)的非對稱性,質(zhì)子豐度的值與核物質(zhì)的對稱能、體積束縛能等參量密切相關(guān)[30-35];超強(qiáng)磁場可能會增加核物質(zhì)的非對稱性,提高質(zhì)子的豐度,因此核物質(zhì)的平均電子數(shù)密度也相應(yīng)地增加.當(dāng)然,這些理論上的可能性有待于實驗驗證.

Table 1.Partial c alculations ofnN,,Pe,PandMina relativisticmeanfieldmodel withtheTMA parameter set.表1 在相對論平均場TMA 參數(shù)模型下nN,,Pe,P和M 的部分計算值

Table 1.Partial c alculations ofnN,,Pe,PandMina relativisticmeanfieldmodel withtheTMA parameter set.表1 在相對論平均場TMA 參數(shù)模型下nN,,Pe,P和M 的部分計算值

4.2 超強(qiáng)磁場下費米子自旋極化現(xiàn)象

最近,不少工作[35-39]對中子星內(nèi)部零溫(T=0)和強(qiáng)磁場下費米子系統(tǒng)自旋極化現(xiàn)象進(jìn)行研究.本節(jié)考慮自然單位制,費米子數(shù)密度為[36]

式中,無量綱變量(ε(B)是單粒子的能量)γf的表達(dá)式為

從方程(32)可以看出,當(dāng)γf→ ∞時,對應(yīng)零磁場下粒子自旋完全非極化場景,有n↑=n↓=n/2;對于γf→ 1,對應(yīng)超強(qiáng)磁場下費米子自旋完全極化場景,有n↑=n和n↓=0.由于當(dāng)γf<1 時,n↓的值變?yōu)樨?fù)值,因此γf的最小值為1.對應(yīng)粒子自旋完全極化場景,中子星物質(zhì)所能維持的最大磁場強(qiáng)度即磁場強(qiáng)度飽和值Bs為

圖4 中子星內(nèi)部費米子完全極化場景下飽和磁場強(qiáng)度Bs 隨粒子數(shù)密度n 的變化關(guān)系(a)質(zhì)子/電子完全極化下Bs vs.ne/np;(b)中子完全極化下Bs vs.nB(nB 為重子數(shù)密度)Fig.4.Relationship between the saturated magnetic field strengthBs and the particle number densityn in a fully polarized neutron star fermion matter:(a)Bs vs.ne/np in a fully polarized scenario for proton/electron matter system;(b)Bs vs.nB in a fully polarized scenario for the neutron matter system(nB is the baryon number density).

4.3 超強(qiáng)磁場中電子磁化現(xiàn)象

由4.2 節(jié)可知,當(dāng)中子星內(nèi)部出現(xiàn)電子自旋極化現(xiàn)象時,自旋平行于和反平行于磁場方向的電子數(shù)密度不再相等,電子系統(tǒng)被磁化,中子星內(nèi)部出現(xiàn)一個宏觀上的感應(yīng)磁矩,感應(yīng)磁矩就會導(dǎo)致一個感應(yīng)磁場,后者的大小取決于電子系統(tǒng)的磁化率χ或磁化強(qiáng)度M.根據(jù)最新研究[39],磁星內(nèi)部可能包括化石起源的原始磁場和順磁磁化產(chǎn)生的感應(yīng)磁場[38].后者為磁星提供制動力矩,影響磁星輻射特性和內(nèi)部熱演化.電子磁化由兩種成分構(gòu)成:一是電子內(nèi)稟磁矩在外磁場中的順向分布引起的泡利順磁部分;二是在外場中電子軌道運動量子化引起的朗道抗磁部分.高志福等[40]采用霍爾斯坦-普里馬可夫變換等方法,對外磁場中的鐵磁體、反鐵磁及亞鐵磁體的自旋波譜討論并計算了臨界磁場.由電動力學(xué)可知,磁化強(qiáng)度M=χB及相對磁導(dǎo)率μr=1/(1—μ0χ),μ0為真空磁導(dǎo)率,當(dāng)μ0χ→ 1時,磁場變得越強(qiáng),出現(xiàn)臨界磁化現(xiàn)象.強(qiáng)磁場中相對論電子的磁化系數(shù)為[41]

對于生鮮類冷凍冷藏產(chǎn)品，采用全程冷鏈關(guān)鍵。從供應(yīng)商的出庫到電商的冷庫，中間不能離開冷藏，倉庫在驗收入庫時要檢查送貨車輛以及溫度是否達(dá)標(biāo)。水果的新鮮度和成熟度也是驗收時的重點關(guān)注內(nèi)容，如果擬入庫商品在短期內(nèi)要出庫或者銷售狀況好、市場需求大，就適合選擇成熟度比較高的商品，但是如果擬入庫商品有較長的銷售期，就適合選擇成熟度比較低的商品，這樣才能避免配送到消費者手上的時候出現(xiàn)腐爛變質(zhì)的情況。不過成熟度偏低的產(chǎn)品在口感和品質(zhì)上會有一定程度的欠缺，所以在采購入庫時要盡量避免這一類。

利用方程(35),圖5 給出不同強(qiáng)磁場下相對論電子的磁化率χ隨ne的變化,水平的點-虛線表示臨界磁化率(在高斯單位制下μ0=1).當(dāng)ne一定時,χ隨B的增加而增大,當(dāng)B一定時,χ隨ne的增加而增大.在中子星高密度區(qū)域會出現(xiàn)臨界磁化現(xiàn)象,甚至磁化系數(shù)大于1.本文不考慮質(zhì)子和中子磁化現(xiàn)象,因為核子磁化所需要的磁場更高(B≥5×1018G),在這樣高的磁場下本文得到的電子壓強(qiáng)修正表達(dá)式不再成立.在中子星內(nèi)部簡并電子系統(tǒng)的磁化將扮演重要角色.對于原生中子星,在以中微子輻射主導(dǎo)的冷卻過程中,隨著溫度的降低,一方面物質(zhì)分布的層次性使得中子星內(nèi)部磁化不均勻,導(dǎo)致新的磁場誘導(dǎo)項產(chǎn)生;另一方面順磁化的電子系統(tǒng)相當(dāng)于減弱了磁場的擴(kuò)散,從而出現(xiàn)等效擴(kuò)散系數(shù)等于零的臨界情況,在中子星磁場演化過程中增加了相變可能性.隨著擴(kuò)散的減弱,磁化強(qiáng)度會隨著磁場的增加發(fā)生振蕩,出現(xiàn)De Haasvan Alphen 不穩(wěn)定性,中子星表現(xiàn)出磁星的活動性,如耀斑和外暴[1-5].

圖5 不同磁場下中子星內(nèi)部相對論電子的磁化率χ 與電子數(shù)密度ne 的變化關(guān)系Fig.5.Relation between the magnetic susceptibilityχ and number density of relativistic electronsne in neutron stars with different magnetic field strengths.

5 超強(qiáng)磁場對物態(tài)方程的修正

5.1 超強(qiáng)磁場下相對論平均場理論模型

相對論平均場理論(relativistic mean field theory,RMFT)已成為研究有限核物質(zhì)性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)方法.TMA 參數(shù)組與相對論Brueckner-Hartree-Fock 理論預(yù)測相一致,能很好地描述中子星狀態(tài)方程[42-48].將結(jié)合RMFT 框架下的TMA 參數(shù)組及本文所得到的超強(qiáng)磁場中電子壓強(qiáng)的表達(dá)式,求解廣義相對論流體靜力學(xué)平衡方程(TOV 方程),研究超強(qiáng)磁場如何影響中子星的物態(tài)方程.主要討論由核子(n,p)、輕子(e,μ)組成的傳統(tǒng)中子星,記作npeμ物質(zhì).強(qiáng)子之間的相互作用是由介子(σ,ω,ρ)來傳遞.核子數(shù)密度nN為中子數(shù)密度nn和質(zhì)子數(shù)密度np之和.強(qiáng)磁場環(huán)境下,總的相互作用拉格朗日密度為[46,47]

其中ψN和ψl分別為核子和輕子的Dirac 旋量場;σμν=i/2[γμ,γν];κN和κl分別為核子和輕子的反常磁矩系數(shù),κp=1.7928μN,κn=—1.9130μN,κe=1.15965×10—3μB,κμ=1.16952×10—3μB[48,49];τ是核子同位旋,τ0是τ的第三分量;σ,ω和ρ分別表示標(biāo)量介子、矢量介子、等矢量-矢量介子場,ωμν=?μων—?νωμ和Rμν=?μRν—?νRμ分別表示ω和ρ介子的場張量;U(σ)=(1/3)g2σ3+(1/4)g3σ4是σ介子非線性自相互作用項;電磁場張量Fμν=?μAν—?νAμ,Aμ=(0,0,Bx,0);m和ml核子分別表示核子和輕子的質(zhì)量;mσ,mω和mρ分別表示σ,ω 和ρ 介子的質(zhì)量;gσ,gω和gρ分別是σ,ω 和ρ 介子與核子之間的耦合常數(shù);有關(guān)TMA 參數(shù)組核物質(zhì)飽和特性和耦合常數(shù),請參考文獻(xiàn)[45]中表4.本文采用一種廣泛應(yīng)用的、從表層到中心隨密度變化的中子星磁場模型[44],具體形式如下:

其中,β=0.001,γ=3,Bsurf和Bcent分別表示中子星表面和中心磁場.根據(jù)電子極化限制和磁星表面磁場觀測,選取Bcent=1.0×1016G及Bsurf=1.0×1014G.在如此強(qiáng)度的變化磁場下反常磁矩對中子星物態(tài)方程影響較小,故而暫不考慮核子和輕子的反常磁矩.圖6 表示中子星內(nèi)部磁場B隨密度ρ的變化關(guān)系.

圖6 中子星內(nèi)部磁場B 隨物質(zhì)密度ρ 的變化關(guān)系Fig.6.Relation of the magnetic fieldB and matter densityρ in a neutron star.

把(36)式代入Euler-Lagrange 方程,得到核子、輕子和介子在強(qiáng)磁場中運動方程:

每個組分的費米能與它們的費米動量之間關(guān)系為

其中m*=mN—gσσ是核子有效質(zhì)量,量子數(shù)s=+1 和—1 分別表示粒子自旋向上和自旋向下.核子標(biāo)量密度ρS分別為

物質(zhì)系統(tǒng)中的中子、質(zhì)子、繆子與電子的粒子數(shù)密度與費米動量的關(guān)系分別為

其中εp,εn,εe和εμ分別為質(zhì)子、中子和電子和繆子的能量密度,具體形式為

考慮電磁場對能量密度的貢獻(xiàn),總的能量密度ε和熱力學(xué)壓強(qiáng)P分別為

利用中子星結(jié)構(gòu)的TOV 方程來研究星體的宏觀性質(zhì),具體形式為[50,51]

其中M(r),ε(r)和P(r)分別為以半徑為r的球面內(nèi)中子星的質(zhì)量、能量密度和壓強(qiáng).以物態(tài)方程(51)作為輸入量,在邊界條件P(R)=0和M(R)=0情況下可以獲得TOV 方程的解.由于中子星中心的重子數(shù)密度由nN=(M/mN)/(4πr3/3)來決定,得到中子星質(zhì)量M與nN的變化關(guān)系.表1 中的第2—5 列表示在零磁場中的計算值;第6—9 列表示在密度依賴的中子星強(qiáng)磁場模型下的計算值.由表1 可以看出,在TMA 參數(shù)模型下,電子費米能、電子壓強(qiáng)Pe和壓強(qiáng)P都隨星體中心的nN的增加而增大,在相同nN的情況下,、Pe和壓強(qiáng)P都隨著磁場的增加而增大.當(dāng)重子數(shù)密度nN=0.9156 fm—3時,中子星質(zhì)量達(dá)到最大值,當(dāng)B?B*時,M的最大值為1.9916M⊙(M⊙為太陽質(zhì)量),當(dāng)B＞B*時,M的最大值為2.034M⊙,增加的質(zhì)量來源于磁場能的貢獻(xiàn).本文模型能夠解釋兩倍太陽質(zhì)量的中子星[52],這表明本文選擇的TMA 參數(shù)組比較可靠.

5.2 超強(qiáng)磁場下壓強(qiáng)的各向異性

5.1 節(jié)在球?qū)ΨQ空間下求解了TOV 方程,忽略了壓強(qiáng)的各向異性.在實際的中子星環(huán)境下,超強(qiáng)磁場會改變空間的球?qū)ΨQ性,在平行于磁場的方向的壓強(qiáng)P//與垂直于磁場方向的壓強(qiáng)P⊥存在著一定的差異.在本文所選擇的密度依賴的強(qiáng)磁場模型下(B≤ 1016G),核子的反常磁矩忽略不計.系統(tǒng)總的能量-動量張量Tμν 由物質(zhì)部分和電磁場部分所組成,分別表示為

其中磁化張量由M=—?εm/?B來決定,磁場張量BμBμ-B2.方程(52)改寫為

垂直于磁場方向的壓強(qiáng)和平行于磁場方向的壓強(qiáng)由下列方程決定:

將方程(51)代入方程(54)中,得到

為了討論壓強(qiáng)的各向異性,定義兩個方向上的壓強(qiáng)之差:

2013 年我們對磁星內(nèi)部壓強(qiáng)的各向異性進(jìn)行詳細(xì)地討論[20],當(dāng)B?1020G 時,星體內(nèi)部磁化方向與外磁場方向相反,即M<0,ΔP=P⊥—P//＞ 0,或P⊥＞P//,沿磁場方向磁張壓使中子星發(fā)生形變,變成類似地球的旋轉(zhuǎn)橢球星;若B≥1020G 時,會出現(xiàn)中子磁矩順磁磁化,則M＞ 0,故P⊥

表2 相對論平均場模型下nN,ρ,B,ne,|MB|,ΔP和P//的部分計算值,這里選擇TMA 參數(shù)組和密度依賴的中子星強(qiáng)磁場模型Table 2.Partial calculations ofnN,ρ,B,ne,|MB|,ΔP和P//in a relativistic mean field model.TMA parameter set and a density-dependent magnetic field model for a neutron star are selected.

6 總結(jié)與展望

在我們以往的工作基礎(chǔ)上,通過引入電子朗道能級穩(wěn)定性系數(shù)和Dirac-δ函數(shù),本文推導(dǎo)出在超強(qiáng)磁場下修正的相對論電子壓強(qiáng)的表達(dá)式;討論了超強(qiáng)磁場對電子相空間的修正、超強(qiáng)磁場下費米子自旋極化現(xiàn)象、超強(qiáng)磁場中電子系統(tǒng)磁化現(xiàn)象以及超強(qiáng)磁場對物態(tài)方程的修正.磁星內(nèi)部可能包括化石起源的原始磁場和順磁磁化產(chǎn)生的超強(qiáng)感應(yīng)磁場.后者提供制動力矩,影響磁星輻射特性和內(nèi)部熱演化.彭秋和等[53]認(rèn)為:磁星的超強(qiáng)磁場可能起源于各向異性的3P2中子超流在低溫下順磁所產(chǎn)生的感應(yīng)磁場,最大的偶極磁場強(qiáng)度為Bd為3×1015—4×1015G.本文所得的結(jié)論適用于文獻(xiàn)[53]的磁星模型.方仁洪等[54]從均勻磁場中單個大質(zhì)量狄拉克費米子的朗道能級出發(fā),構(gòu)造了系統(tǒng)的配分函數(shù),通過配分函數(shù)可以導(dǎo)出包括壓強(qiáng)在內(nèi)的所有的熱力學(xué)量(如矢量流、能量-動量-張量等);與本文不同的是,方仁洪等[54]是在有限溫度下的狄拉克費米子系統(tǒng)的熱力學(xué)(也可得到溫度趨近零時情形);文獻(xiàn)[54]與本文的結(jié)果大致相同,但處理問題的方法和側(cè)重點不同,前者為強(qiáng)磁場,后者為一般磁場,得到熱力學(xué)壓強(qiáng)后,同樣可求出狄拉克費米子的物態(tài)方程.

由于篇幅有限,只選擇傳統(tǒng)的中子星內(nèi)部的npeμ物質(zhì)系統(tǒng)為代表,討論了超強(qiáng)磁場對物態(tài)方程的影響,沒有討論量子電動力學(xué)效應(yīng)對弱相互作用過程和輻射機(jī)制的影響,也無法對超強(qiáng)磁場在中子星其他物質(zhì)區(qū)域的量子電動力學(xué)效應(yīng)逐個進(jìn)行討論,這些將是我們未來研究工作的方向之一.本文研究為磁星及依靠電子簡并壓來抵抗引力的強(qiáng)磁化白矮星的物態(tài)方程和熱演化的研究提供了參考,可為射電脈沖星等離子磁層數(shù)值模擬[55-57]、高磁場脈沖星及磁星的輻射機(jī)制、限制中子星引力波的上限[58,59]等相關(guān)研究提供有用的信息.