二維半導(dǎo)體莫爾超晶格中隨位置與動量變化的層間耦合*

郭瑞平 俞弘毅2)?

1) (中山大學(xué)物理與天文學(xué)院,廣東省量子精密測量與傳感重點實驗室,珠海 519082)

2) (中山大學(xué),光電材料與技術(shù)國家重點實驗室,廣州 510275)

近些年來引起廣泛關(guān)注的二維半導(dǎo)體莫爾超晶格系統(tǒng)中存在著莫爾激子、強關(guān)聯(lián)電子態(tài)和面外鐵電性等新奇物理現(xiàn)象,電子的層間耦合對于理解這些現(xiàn)象至關(guān)重要.本文研究了二維半導(dǎo)體雙層莫爾超晶格中的層間耦合隨位置和動量的變化.外勢場導(dǎo)致的局域布洛赫波包的層間耦合與波包寬度以及中心位置處的層間平移有著密切關(guān)系.同時,層間耦合隨動量的變化使得基態(tài) S 型波包和激發(fā)態(tài) P± 型波包有著截然不同的隨中心位置變化的層間耦合形式: 在兩個 S 型波包的層間耦合消失的位置,S 和 P+ 型(或 S 和 P? 型)波包之間的層間耦合達到最強.利用該性質(zhì),可以通過外加光電場來調(diào)控特定谷的基態(tài)波包的層間輸運.此外,雙層系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的面外鐵電性可以歸結(jié)為不同層導(dǎo)帶和價帶間的耦合導(dǎo)致的電子在兩層中的再分配現(xiàn)象.將本文得到的層間耦合形式與單層緊束縛模型相結(jié)合,可計算出垂直平面的電偶極密度,其隨層間平移的變化形式和數(shù)量級與實驗觀測相符.

1 引言

近10 年來,過渡金屬硫族化合物(transitionmetal dichalcogenides,TMDs)這種二維材料因其在下一代光電技術(shù)中的應(yīng)用潛力而受到了物理、化學(xué)和材料等研究領(lǐng)域的高度關(guān)注[1?3].TMDs(包括MoS2,MoSe2,MoTe2,WS2和WSe2)、六方氮化硼(hexagonal boron nitride,hBN)和石墨烯均為具有層狀結(jié)構(gòu)的二維材料,每一個單層為共價鍵組成的六角晶格,而層與層之間則以較弱的范德瓦耳斯力結(jié)合.當(dāng)前用于獲得單層二維材料的技術(shù),包括機械剝離、化學(xué)氣相沉積和分子束外延生長法,已經(jīng)發(fā)展得比較成熟.單層極限下,這些二維材料在費米面附近的能帶邊均位于六角布里淵區(qū)能量簡并但不等價的兩個角落±K,稱為谷贗自旋[4].但與先前已經(jīng)受到廣泛關(guān)注的石墨烯不同,單層TMDs 是直接能隙位于紅外到可見光波段的半導(dǎo)體,因此非常適合光電和半導(dǎo)體光學(xué)相關(guān)的應(yīng)用器件[1?3].此外,過渡金屬的強自旋軌道耦合效應(yīng)使得TMDs 的±K谷價帶(導(dǎo)帶)攜帶符號相反、大小在0.15—0.40(0.03) eV 的自旋劈裂,導(dǎo)致了帶邊附近谷贗自旋和自旋的一一對應(yīng)[5]: 如果能量最低的位于 +K谷的空穴具有向下的自旋,那么具有相同能量的位于?K谷的空穴具有向上的自旋.這也使TMDs 成為設(shè)計制造自旋/谷電子學(xué)器件的理想平臺之一.

將兩個單層系統(tǒng)上下堆疊得到的范德瓦耳斯雙層結(jié)構(gòu)可極大地擴展二維層狀材料在研究和應(yīng)用上的前景[6].與單層TMDs 相比,相鄰層之間的層間耦合效應(yīng)帶來了雙層TMDs 中更為豐富的可調(diào)控性和新奇物理現(xiàn)象,尤其是當(dāng)雙層系統(tǒng)中存在莫爾超晶格時[7,8].莫爾超晶格出現(xiàn)在兩層材料的晶格常數(shù)非常接近而且晶格朝向幾乎一致時,其周期通常在幾納米到十幾納米之間,遠大于單層材料的晶格常數(shù)(3 ?左右).在一個超原胞內(nèi)的不同位置,層間耦合隨不同層原子的上下堆疊方式的改變而緩慢變化[9],導(dǎo)致層間距、超晶格勢、光學(xué)屬性和層贗自旋等眾多物理性質(zhì)隨位置的變化[10?15].這進一步導(dǎo)致例如莫爾激子[16?21]、強關(guān)聯(lián)多體電子態(tài)[22?33]和垂直平面的鐵電性[34?42]等實驗現(xiàn)象.為了理解這些新奇物理現(xiàn)象背后的物理機制,有必要在先前已有的結(jié)論上[9],對二維層狀半導(dǎo)體材料中層間耦合的形式進行更深入的分析和討論.

本文從單層TMDs 的電子布洛赫波本征態(tài)出發(fā),推導(dǎo)了雙層TMDs 莫爾超晶格中的層間耦合隨位置和動量的變化.通過分析發(fā)現(xiàn),非局域的布洛赫波和局域的布洛赫波包的層間耦合隨位置和動量的變化可導(dǎo)致莫爾超晶格勢的出現(xiàn)以及電子在不同層的再分配,這也是很多實驗現(xiàn)象背后的物理機制.本文內(nèi)容簡述如下: 第2 節(jié)是關(guān)于晶格匹配或不匹配的雙層系統(tǒng)中非局域化的布洛赫波之間的層間耦合;以此為基礎(chǔ),第3 節(jié)給出了莫爾超晶格中局域化的布洛赫波包之間的層間耦合形式,并將其與晶格匹配的雙層結(jié)構(gòu)中的布洛赫波層間耦合做了對比;第4 節(jié)討論了近期實驗上觀測到的雙層系統(tǒng)中的垂直平面電偶極矩,它可被層間耦合導(dǎo)致的電子在不同層的再分配現(xiàn)象很好地解釋;第5 節(jié)對全文做了總結(jié),并討論了采用的研究方法的局限性.

2 非局域化的布洛赫波之間的層間耦合形式

2.1 單層材料中的電子布洛赫函數(shù)

對于TMDs、hBN 和石墨烯這些二維層狀材料,同一層內(nèi)部的原子之間是通過共價鍵結(jié)合,而不同層之間則是以較弱的范德瓦耳斯鍵結(jié)合.因此通常采用的處理方法是以單層材料的電子布洛赫函數(shù)為出發(fā)點,將層與層之間的耦合效應(yīng)看作微擾.單層TMDs 中電子的哈密頓量為

等號右邊第二項代表單層TMDs 的周期晶格勢,R是過渡金屬原子M 在二維平面上的位置.該哈密頓量的本征態(tài)為單層布洛赫函數(shù)ψn,k(r),其中n為能帶指標,k為晶格動量.ψn,k(r) 可以展開成以下原子軌道線性組合的布洛赫和形式:

其中N是系統(tǒng)總的原胞數(shù)目,Dn,k(r ?R) 是局域在R附近的原子軌道線性組合,其組合方式隨n和k而變化.

上述結(jié)果利用了eiq·(r?R)dm(r ?R)≈dm(r ?R)的性質(zhì)(m=0,±2),這是因為|q|?|K|,而且dm(r ?R)是一個高度局域化的原子軌道,其絕對值隨|r ?R|指數(shù)衰減.

2.2 雙層材料中不同層布洛赫函數(shù)之間的層間耦合

從(2)式的單層TMDs 布洛赫函數(shù)出發(fā),可推導(dǎo)出不同層布洛赫函數(shù)之間的層間耦合形式.雙層TMDs 系統(tǒng)中的電子哈密頓量為

3 局域化的布洛赫波包之間的層間耦合形式

本節(jié)從局域的角度來看待莫爾超晶格中的電子.圖2(a)所示為一個典型的莫爾超晶格以及對應(yīng)的超原胞,其周期λ通常在幾納米到十幾納米,遠大于單層TMDs 的晶格常數(shù)a ≈3 ?.在一個范圍小于λ同時又大于a的局部區(qū)域內(nèi),雙層TMDs的原子排布方式與一個晶格匹配的雙層結(jié)構(gòu)幾乎相同(見圖2(a)).如果有一個局域在該區(qū)域的電子波包,直覺上其性質(zhì)應(yīng)與某個特定層間平移下的晶格匹配雙層結(jié)構(gòu)中的電子接近,這正是文獻[11?15]采用的處理方法.需指出的是,層間平移在晶格匹配的雙層TMDs 中為一不隨位置變化的常數(shù),而在莫爾超晶格中則隨位置緩慢變化.如圖2(b)所示,坐標原點處的層間平移r0與位置Rc=處的層間平移r0(Rc) 之間滿足[11]r0(Rc)=r0+R ?Rc,這里r0+R=r0+l1a1+l2a2是R′附近下層TMDs 中某個金屬原子位置.于是

圖2 莫爾超晶格中局域化的布洛赫波包之間的層間耦合 (a) 層間轉(zhuǎn)角接近0°下周期為 λ 的莫爾超晶格示意圖,菱形為一個超原胞,A,B,C為三個范圍小于λ同時又大于單層晶格常數(shù)a 的局部區(qū)域,其內(nèi)部的原子排布與層間平移分別為r0(A)=0,r0(B)=(a1+a2)/3 和 r0(C)=2(a1+a2)/3 的晶格匹配的雙層結(jié)構(gòu) 接近.(b) 層間平移 r0(Rc) 隨區(qū)域中心位置 Rc 的變化,其滿足 r0(Rc)=r0+R ?Rc .(c) 通過外場調(diào)控兩個局域在 B 處的 S 型波包之間的層間耦合,其中黑色直線箭頭代表與 S 型波包有關(guān)的非零層間耦合,紅(藍)色波浪箭頭代表用 σ+ (σ?)圓偏振光場實現(xiàn)同一層內(nèi)部的 S 型到 P+ (P?)型波包的激發(fā).上下層波包的相對能量可通過施加層間電壓來調(diào)節(jié).(d) 在雙層系統(tǒng)中,可通過施加 σ+ 圓偏振光將下層中 ?K 谷的S型波包通過層間躍遷移動到上層,而 +K 谷則被留在下層.波包的局域化來源于上下層接觸區(qū)域形成的莫爾超晶格勢,我們設(shè)下層感受到的勢阱較深因此基態(tài)波包無法自由運動,而上層感受到的勢阱較淺因此基態(tài)波包可在層內(nèi)運動,它們在一個面內(nèi)電場的作用下可產(chǎn)生谷流Fig.2.The interlayer coupling between two localized Bloch wavepackets in the moiré superlattice.(a) Schematic illustration of a moiré superlattice with a period λ when the twist angle is close to 0°.The diamond shape corresponds to a supercell.A,B and Care three local regions with spatial extensions smaller than λ but larger than the monolayer lattice constant (a),whose atomic registrations are close to lattice-matched bilayer structures with interlayer translations r0(A)=0 ,r0(B)=(a1+a2)/3 and r0(C)=2(a1+a2)/3,respectively.(b) The variation of the interlayer translation r0(Rc) with the local region center Rc,which satisfies r0(Rc)=r0+R ?Rc .(c) Tuning the interlayer coupling between two S -type wavepackets localized at B with external fields.Black straight arrows indicate the nonzero interlayer couplings related to the S -type wavepackets,while red (blue)wavy arrows stand for σ+ (σ?) circularly-polarized optical fields which can excite an S -type to a P+ -type (P? -type) wavepacket.The relative energy position between the upper-and lower-layer wavepackets can be tuned by an interlayer bias.(d) A schematic illustration of how to move th e ?K valley S -type wavepackets from the lower-to upper-layer by applying a σ+ circularly-polarized optical field.Meanwhile the +K valley wavepackets remain in the lower-layer.The wavepacket is localized by the moiré potential at the region where two layers are in contact.We assume that the carriers in the lower-layer feel deep potential wells thus cannot move,while those in the upper-layer feel shallow potential wells thus can move under the effect of an in-plane electric field,which results in a valley current.

下文從波包的函數(shù)形式出發(fā)結(jié)合第2 節(jié)得到的布洛赫波之間的層間耦合((12)式),來推導(dǎo)不同層的布洛赫波包之間的層間耦合,并分析其與(13)式的異同.考慮一外勢場導(dǎo)致的電子局域化,這樣的勢場可以來源于掃描隧穿顯微鏡的探針或是雜質(zhì)電荷等.將勢場近似為二維簡諧勢,于是電子基態(tài)為 S 型高斯波包,而第一激發(fā)態(tài)為 P±型高斯波包,它們在下層TMDs 中的波函數(shù)分別為

其中w是波包在實空間的展寬,A是雙層TMDs系統(tǒng)的面積,Rc為外勢場的最低位置或波包中心.波包在動量空間的分布中心則位于布洛赫函數(shù)的能量極值點τK.對于上層TMDs 中展寬為w′的波包,其波函數(shù)可類似寫出.以一對谷贗自旋為τ=τ′=+(R 類堆疊)或τ=?τ′=+(H 類堆疊)的價帶電子為例,利用(12)式和(15)式可得兩個基態(tài) S 型波包之間的層間耦合形式:

此外,兩個布洛赫態(tài)的層間耦合中的q一階項(見(12)式)使得 S 型和 P±型波包之間也存在有限大小的層間耦合:

由(18)式可以看出,S型到P±型波包之間的層間耦合強度隨展寬w或w′的減小而迅速增大,而且它隨r0(Rc) 的變化與兩個 S 型波包的情況完全不同.由圖1(c)可知,當(dāng)選擇波包中心Rc使得兩個 S 型波包的層間耦合最強時,S 和P±型波包之間的層間耦合必然為0;反之如果將Rc選在兩個 S 型波包的層間耦合為0 的位置,那么必然有 S 和P+型(或 S 和 P?型)波包之間的層間耦合達到最強.波包之間的層間耦合為0 或最強的情況往往出現(xiàn)在具有對稱性的區(qū)域,即圖2(a)中的A,B或C,在這些位置上下層的旋轉(zhuǎn)中心在面內(nèi)重合.局域在A,B或C的 S 和 P±型波包同樣滿足對稱性,其C3量子數(shù)包括來自布洛赫函數(shù)ψn,τK和波包的包絡(luò)兩部分的貢獻.需要注意的是,ψn,τK的C3量子數(shù)與旋轉(zhuǎn)中心的選擇M,X 或h 相關(guān)(見表1),當(dāng)固定上層TMDs 的旋轉(zhuǎn)中心為M'時,與之重合的下層旋轉(zhuǎn)中心在A,B或C分別為M,h 和X.相應(yīng)的波包C3量子數(shù)總結(jié)列于表2,顯然,只有在上下層的波包具有相同C3量子數(shù)時,它們之間的層間耦合才不為0.

表1 導(dǎo)帶和價帶布洛赫函數(shù)在K 點的C3 量子數(shù)在不同旋轉(zhuǎn)中心下的取值,其中M 為過渡金屬,X 為硫族原子,h 為M 和X 組成的正六邊形中心Table 1.The C3 quantum numbers of the conduction and valence band Bloch functions at K for different rotation centers.Here M is the transition-metal site,X is the chalcogen site,and h is the hollow center of the hexagon formed by M and X.

圖1 雙層TMDs 中布洛赫電子之間的層間耦合 (a)層間轉(zhuǎn)角為 θ 的雙層TMDs 示意圖,其中藍(橙)色大圓圈代表上(下)層的過渡金屬原子M′ (M),藍(橙)色小圓圈代表上(下)層的硫族原子X′ (X);下半部分為局部放大后得到的不同層的原胞,平面坐標原點選在上層的某個過渡金屬原子上;(b)上下層的六角布里淵區(qū)示意圖;(c)在兩層TMDs 晶格完全匹配的情況下,(14)式中的 |f0(r0)|,|f+(r0)| 和 |f?(r0)| 隨層間平移 r0的變化Fig.1.Interlayer coupling in bilayer TMDs: (a) Schematic illustration of a bilayer TMDs with a twist angle θ,where large blue (orange) circles stand for the transition-metal atoms M′ (M) in the upper (lower) layer,small blue (orange) circles are the chalcogen atoms X′ (X) in the upper(lower) layer.The lower part indicates an enlarged view of unit cells in two layers.The xy -coordinate origin is set on a transition-metal atom of the upper layer,and a nearby transition-metal atom in the lower layer has the spatial coordinate r0 .(b) The upper-and lower-layer Brillouin zon es.(c) The values of |f0(r0)| ,|f+(r0)| and |f?(r0)|in Eq.(14) as functions of r0 when the two TMDs lattices are fully commensurate.

上述性質(zhì)使得兩個 S 型波包之間的層間耦合可以通過外場來調(diào)控.在晶格匹配的R 類雙層TMDs 中,最穩(wěn)定的3R結(jié)構(gòu)對應(yīng)于層間平移r0=(a1+a2)/3或 2(a1+a2)/3 ;而在接近0°轉(zhuǎn)角的雙層TMDs 莫爾超晶格中,±K谷的空穴感受到一個莫爾超晶格勢,其勢能的最低點也是出現(xiàn)在層間平移r0(B)=(a1+a2)/3 或者r0(C)=2(a1+a2)/3的高對稱位置[14,15,47](見圖2(a)).在價帶邊位于±K的雙層WSe2中[48],考慮被局域在B處的空穴波包,根據(jù)表2 的對稱性知

表2 局域在圖2(a)中 A,B 和 C 區(qū)域的 S 和 P± 型波包的 C3 量子數(shù),其中旋轉(zhuǎn)中心始終取為上層TMDs 晶格的過渡金屬M′.這里只顯示了谷指標為τ=+和 τ′=+的情況,而 τ=? 和 τ′=? 可通過時間反演得到Table 2.The C3 quantum numbers of S -and P± -type wavepackets localized at A,B and C in Fig.2(a).Here we set the rotation center as a transition-metal site M′ in the upper TMDs layer.Only those with the valley indices τ=+and τ′=+are shown,while the cases for τ=? and τ′=? can be obtained by a time reversal.

4 層間耦合導(dǎo)致的電子在不同層的再分配

層間耦合效應(yīng)的另一個效果是導(dǎo)致基態(tài)電子在兩層中的不平衡分布,從而在每一層中產(chǎn)生非零凈電荷密度.如圖3(a)所示,半導(dǎo)體TMDs 或絕緣體hBN 的費米面EF位于導(dǎo)帶和價帶之間的能隙中,因此兩層的價帶均被電子占據(jù)而導(dǎo)帶均無占據(jù).引入層極化算符其期望值對應(yīng)從上層轉(zhuǎn)移到下層的電子數(shù).當(dāng)不存在層間耦合時,所有被占據(jù)電子的基態(tài)|Ψ〉由低于費米面的ψn,k和ψn′,k組成,此時=0,即不存在電子的層間轉(zhuǎn)移.當(dāng)引入層間耦合效應(yīng)時,為簡單起見我們只考慮導(dǎo)帶和價帶: 下層的價帶 v 和上層的導(dǎo)帶 c′之間存在層間耦合而下層的導(dǎo)帶 c 和上層的價帶 v′之間存在層間耦合它們帶來的層間雜化可產(chǎn)生有限大小的電子層間轉(zhuǎn)移;另一方面上下層的價帶都被電子占滿(導(dǎo)帶上無電子占據(jù)),因此價帶之間(和導(dǎo)帶之間)的層間耦合不會導(dǎo)致電子層間轉(zhuǎn)移,可不考慮.通常層間耦合的強度遠遠小于能隙,二階微擾下價帶波函數(shù)變?yōu)?/p>

圖3 電子在層間的再分配效應(yīng) (a)雙層半導(dǎo)體TMDs 或絕緣體hBN 的費米面 EF 示意圖;(b)單層hBN 的pz 軌道緊束縛能帶,插圖中 ?R1,2,3 是hBN 晶格的3 個最近鄰位移矢量,t 是最近鄰躍遷強度;(c)計算得到的雙層hBN 層極化密度隨層間平移r0的變化;(d)三種不同r0 時的雙層hBN 原子排布,上半部為上方視角,下半部為側(cè)方視角,虛線箭頭代表從N 向B 原子的電子轉(zhuǎn)移,其中藍(橙)色大圓圈代表上(下)層的N 原子,藍(橙)色小圓圈代表上(下)層的B 原子Fig.3.The interlayer charge redistribution effect: (a) Diagram of the Fermi level EF of the bilayer semiconductor TMDs or insulator hBN;(b) the conduction and valence bands obtained from the pz-orbital tight-binding model for the monolayer hBN,in the inset,?R1,2,3corresponds to the three nearest-neighbor displacement vectors,and t is the nearest-neighbor hopping;(c) the calculated layer-polarization density in bilayer hBN as a function of the interlayer translation r0 ;(d) the atomic registries of bilayer hBN under three different r0, the upper (lower) parts correspond to the top-view (side-view).The dashed arrows denote the electron redistribution from N to B atoms.Here the large blue (orange) circles stand for the N atoms in the upper (lower) layer,small blue (orange) circles are the B atoms in the upper (lower) layer.

雙層hBN 的層間耦合形式與TMDs 類似.對于晶格匹配的R 類雙層hBN,近似取不同層的兩個原子的pz軌道之間的層間耦合形式為

于是可推導(dǎo)出導(dǎo)帶和價帶之間的層間耦合:

在層間躍遷參數(shù)tinter=0.6 eV,衰減特征長度σ=1 ?下,計算得到的層極化密度隨r0的變化見圖3(c).可以看到,r0=(a1+a2)/3 和2(a1+a2)/3時層極化最大且符號相反,它們恰好對應(yīng)雙層hBN最穩(wěn)定的AB 和BA 兩種構(gòu)型;而r0=0 的AA 構(gòu)型下,上下層互為鏡像對稱,層極化密度為0(見圖3(d));其余r0下的層極化密度則取中間值.不同參數(shù)下,層極化密度的大小隨之變化,但其隨r0變化的函數(shù)形狀基本固定.非零的層極化代表不同層中有非零且符號相反的凈電荷密度,即存在一個垂直平面的電偶極矩.在莫爾超晶格中,r0(Rc)隨位置Rc緩慢變化,因此不同區(qū)域有著不同的電偶極密度,這使得其中的電子和空穴感受到一個隨位置變化的靜電勢,這正是莫爾超晶格勢的主要來源[50].而莫爾超晶格勢導(dǎo)致的局域化是莫爾激子[16?21]以及電子強關(guān)聯(lián)多體態(tài)[22?33]出現(xiàn)的重要原因.電子的層間再分配導(dǎo)致的垂直平面電偶極矩已被多個實驗在雙層hBN 和TMDs 系統(tǒng)中觀測到[34?42],且測得的電子數(shù)密度隨r0的變化方式以及數(shù)量級(～0.01 nm–2)與這里采用的簡單模型估算結(jié)果相符.

上述對電子層間再分配的討論是基于單層布洛赫函數(shù),但從直觀的角度,它更易于理解的方式是電子在不同層的B 和N 原子軌道之間的轉(zhuǎn)移[51].由于B 和N 原子具有不同的電子親和勢,當(dāng)位于不同層的兩者相互靠近時,N 原子上的電子會向B原子靠近以降低總能量,這會導(dǎo)致少量電子在兩層中的再分配.層間距固定的情況下,不同層的N 向B原子轉(zhuǎn)移的電子數(shù)隨兩者的面內(nèi)距離指數(shù)衰減.如圖3(d)所示,在r0=(a1+a2)/3 (r0=2(a1+a2)/3)時,上層的B(N)原子與下層的N(B)原子在面內(nèi)的位置重疊,因此轉(zhuǎn)移的電子數(shù)達到最大,這導(dǎo)致了一個垂直向下(上)的電偶極矩;而在r0=0時,上層的B(N)原子與下層的B(N)原子在面內(nèi)重疊,上下層互為鏡像對稱,層間的凈電荷轉(zhuǎn)移為0.

5 總結(jié)與討論

本文以單層二維半導(dǎo)體材料中的布洛赫態(tài)為出發(fā)點,給出了位于不同層中的布洛赫態(tài)層間耦合的具體形式,并著重分析其在帶邊±K附近與晶格動量的關(guān)系,以及局域布洛赫波包的層間耦合與其中心位置的關(guān)系.在雙層莫爾超晶格中,布洛赫波包的性質(zhì)隨波包中心Rc處的層間平移r0(Rc) 劇烈變化,這使得不同位置處波包的層間耦合差異極大.同時,布洛赫態(tài)層間耦合隨晶格動量的變化使得激發(fā)態(tài)P±型波包具有與基態(tài) S 型完全不同的層間耦合形式,利用該性質(zhì)可以用外場來選擇性地打開或關(guān)閉特定谷的 S 型波包層間耦合,從而實現(xiàn)對谷的層間輸運的調(diào)控.最后一節(jié)分析了層間耦合導(dǎo)致的電子在不同層的再分配,并用一個簡單的緊束縛模型計算了產(chǎn)生的電偶極矩密度,給出的數(shù)量級與實驗相符.這說明本文的結(jié)果可以用來分析層間耦合帶來的實驗現(xiàn)象,并用在基于雙層材料新奇物理性質(zhì)的器件上.

前面的分析將雙層系統(tǒng)中的單層材料視為剛性,在該假設(shè)下r0(Rc) 為Rc的線性函數(shù).但實際上在莫爾超晶格的周期很大時,每個單層中的原子排布都會發(fā)生細微的重構(gòu),導(dǎo)致r0(Rc) 不再是Rc的線性函數(shù).但是本文關(guān)于波包的大部分結(jié)果仍成立,即波包的性質(zhì)由其中心所在區(qū)域的r0(Rc) 決定,只是它隨Rc的函數(shù)關(guān)系會發(fā)生改變;同時在A,B和C區(qū)域,由對稱性分析得到的結(jié)論(表2 和圖2(c))也成立,只是層間耦合的定量大小會受到原子排布重構(gòu)的影響.期望將來有更精確的分析原子排布重構(gòu)影響下的層間耦合的結(jié)果.