一類含p-Laplacian算子的分數(shù)階時滯微分方程無窮多點邊值問題的正解

崔秭月,周宗福

(安徽大學數(shù)學科學學院,安徽 合肥 230601)

1.引言

近些年來,分數(shù)階微分方程受到廣大研究者的關注.在生物模型,動力學,經(jīng)濟學,電子網(wǎng)絡等科學領域,分數(shù)階微分方程提供了一個非常有效的建模分析的方法[1?5].而分數(shù)階微分方程邊值問題更是研究的熱點,如含有p-Laplacian算子及時滯的分數(shù)階微分方程邊值問題即是其中的一個重要研究課題[6?9].在設置邊界條件時,涉及到多點邊值條件,R-S積分邊值條件及非局部邊值條件等[10?13].在解決分數(shù)階微分方程有關邊值問題時,不動點定理是得到正解的存在性和多重性的重要工具,如Banach不動點定理,Guo-Krasnoselskii’s不動點定理,Avery Peterson不動點定理等[14?16].

文[8]中,作者利用單調(diào)迭代方法得到以下含p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性:

文[14]中,作者利用Banach壓縮映射原理分析了在多點邊值條件下含p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程正解的存在唯一性:

受上述文獻的的啟發(fā),本文考慮以下含有p-Laplacian算子和無窮多點的分數(shù)階時滯微分方程邊值問題:

對邊值問題(1.1),我們將先構造Green函數(shù),再借助p-Laplacian算子的一些性質(zhì),在特定的非負函數(shù)集合上使用Banach壓縮映射原理,得到邊值問題(1.1)正解的存在唯一性,最后將給出一個例子說明我們的結(jié)論的應用性.

在本文中,作如下假設:

2.預備知識

在這一部分,介紹一些定義和引理.

定義2.1函數(shù)f:(t0,+∞)→R的γ(γ >0)階Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義為：

定義2.2函數(shù)f:(t0,+∞)→R的γ(γ >0)階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)定義為：

其中n=[γ]+1,[γ]表示實數(shù)γ的整數(shù)部分.

引理2.1[14]假設u ∈C(0,1)∩L1(0,1),α>0,則

其中N是大于等于α的最小整數(shù).

引理2.2[17]若α>0,λ>?1,則

引理2.3假設(H0)成立,令h ∈C[0,1],則下述邊值問題

利用引理2.3的類似方法可推得:

引理2.4假設(H0)成立,令y ∈C[0,1],則下述邊值問題

引理2.5假設(H0)成立,令z ∈C[0,1],則下述邊值問題

上式再結(jié)合(2.4),并利用引理2.3,可得

引理2.6函數(shù)G(t,s)滿足以下性質(zhì):

類似引理2.6,可推得H(t,s)的一些性質(zhì):

引理2.7函數(shù)H(t,s)滿足:

引理2.8?t ∈[0,1],有

下面給出p-Laplacian算子的若干性質(zhì)[14]:

由引理2.5知,T的不動點即為邊值問題(1.1)的解,反之亦然.

3.主要結(jié)果

現(xiàn)作以下假設:

引理3.1假設(H1)成立,則TBr0?Br0.

證由T的定義可知,TBr0?X.?u ∈Br0,由G,H,f及?的非負性知,Tu(t)≥0,下證||Tu||≤r0.

由引理2.6,引理2.7及(H1)可知,對?t ∈[0,1],

引理3.2若(H3)成立,則對?t ∈[0,1],?u ∈Br0,有

所以,(3.1)得證.

定理3.1設p≥2,若(H1)-(H3)成立,且

則邊值問題(1.1)存在唯一正解.

證因為p≥2,故1

由引理2.7及(H1)可得

因為1

2.由(H2),引理2.7以及p-Laplacian算子的性質(zhì)(ii)可得,?x,y ∈Br0,?t ∈[0,1],

因此,T:Br0→Br0為壓縮的,由Banach壓縮映像原理可知,T有唯一不動點,即邊值問題(1.1)在Br0有唯一非負解,且由類似定理3.1 的證明知,為(1.1)的唯一正解.

4.例子

取L=0.1401.經(jīng)具體計算可得:Q0=0.2996,λ=0.8050,進而知

故由定理3.1得,邊值問題(4.1)有唯一正解.