不完全免疫的多階段綿羊布魯氏菌病模型的穩(wěn)定性分析與最優(yōu)控制

鄭云,夏米西努爾·阿布都熱合曼

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830046)

1.引言

布魯氏菌病簡(jiǎn)稱布病,是由布魯氏菌屬的病菌引起的人畜共患病.布病不僅對(duì)畜牧業(yè)造成了很大的經(jīng)濟(jì)損失也威脅著人類健康.布病會(huì)造成牛、羊等家畜不孕和流產(chǎn),而人感染布病后可能出現(xiàn)多種并發(fā)癥,主要包括腦炎、脊髓炎、脊椎炎、關(guān)節(jié)炎、心內(nèi)膜炎、睪丸炎和前列腺炎等[1].布病可通過染病動(dòng)物與易感動(dòng)物的直接接觸傳播,也可通過被染病動(dòng)物的內(nèi)臟、流產(chǎn)物、血液等污染的環(huán)境向易感動(dòng)物傳播.目前,控制動(dòng)物布病傳播的手段主要有疫苗接種、撲殺患病動(dòng)物、環(huán)境消毒等.結(jié)合生產(chǎn)實(shí)際,建立布病的傳染病模型是研究布病傳播機(jī)制的有效方法[2?5].特別地,文[5]考慮了疫苗接種措施并將易感羊群分為幼年與成年,從而建立了一個(gè)多階段的不完全免疫綿羊布病模型,但是其并沒有考慮環(huán)境傳播.基于文[5]的工作,本文建立了一個(gè)考慮環(huán)境傳播與布病控制措施的多階段布病模型:

其中S1代表幼年易感羊群,其幾乎不會(huì)感染布病,S2代表成年易感羊群,V代表接種疫苗羊群,I代表感染布病的羊群,B代表環(huán)境中的病菌數(shù)量,而A是輸入率,b是羊群的出生率,μ1是幼年羊群的死亡率,σ是幼年羊到成年羊的轉(zhuǎn)化率,d是幼年羊群的移出率,β是傳染率系數(shù),?代表環(huán)境中病菌的傳染率系數(shù),θ是疫苗接種率,δ是丟失免疫率,μ2是成年羊群的死亡率,?是疫苗失效率,ν是撲殺率,k是感染者的病菌脫落率,m是病菌的自然消除率,n是消毒次數(shù),τ是消毒的有效率.模型(1.1)的參數(shù)都是非負(fù)的.

2.平衡點(diǎn)的存在唯一性和基本再生數(shù)

將模型(1.1)的前四個(gè)方程相加,得到

其中,μ=min{μ1+d,μ2},且μ>b.因此

再由模型(1.1)的第五個(gè)方程,有

所以得到模型(1.1)的正不變集:

令(I,B)=(0,0),將之帶入到模型(1.1)的前三個(gè)方程中,得到

利用下一代矩陣的方法[6],計(jì)算模型的基本再生數(shù)R0.考慮傳染項(xiàng)(I,B),定義

基本再生數(shù)

其中ρ(·) 是矩陣的譜半徑.

下面,我們尋找模型(1.1)的地方病平衡點(diǎn)存在的充分條件.考慮下面方程組

其中S1,S2,V,I,B均是大于零的.由上面方程組的第三個(gè)等式,有

將上式帶入方程組的第四個(gè)等式,并化簡(jiǎn)得

而由方程組的后兩個(gè)等式,可以得到

記M1=,有

因此,F1(I)關(guān)于I是嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù).再由方程組的第二個(gè)等式,有

將上式代入到方程組的第一個(gè)等式中,得到

對(duì)上式化簡(jiǎn)得到

而上式可化為R0>1.因此,當(dāng)R0>1時(shí),模型(1.1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)P?=,其中P?的各個(gè)分量都是正數(shù).

3.無病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

由文[6]的定理2,我們可直接推出下面的定理3.1.

定理3.1當(dāng)R0<1時(shí),模型(1.1)的無病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的,而當(dāng)R0>1時(shí),是不穩(wěn)定的.

定理3.2當(dāng)R0≤1時(shí),模型(1.1)的無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

證定義Lyapunov函數(shù)

計(jì)算L沿著模型(1.1)軌線的全導(dǎo)數(shù),得

因此,等式L′=0成立,當(dāng)且僅當(dāng),V=V0和I=0或R0=1.所以{P0}是集合{(S1,S2,V,I,B):L′=0}唯一的正不變集.由LaSalle正不變集原理[7],當(dāng)R0≤1時(shí),無病平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的.

定理3.3當(dāng)R0>1時(shí),模型(1.1)的地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

求L1沿著模型(1.1)軌線的全導(dǎo)數(shù),得

考慮函數(shù)g(x)=1?x+lnx,當(dāng)x>0時(shí),它是非正的,g(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=1.所以

求L2沿著模型(1.1)軌線的全導(dǎo)數(shù),有

定義Lyapunov函數(shù)

計(jì)算L沿著模型(1.1)軌線的全導(dǎo)數(shù),有

等式L′=0成立,當(dāng)且僅當(dāng)(S1,S2,V,I,B)=.因此,集合{(S1,S2,V,I,B):L′=0}的最大正不變集是孤立點(diǎn)P?.由LaSalle正不變集原理[7],當(dāng)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)P?是全局漸近穩(wěn)定的.

4.最優(yōu)控制

在實(shí)際生產(chǎn)中,綿羊布病的控制策略主要有疫苗接種,撲殺患病綿羊以及對(duì)包含病菌的環(huán)境進(jìn)行消毒,這些措施都會(huì)增加養(yǎng)殖的成本,所以討論布病控制成本這一問題是必要的.本節(jié)通過最優(yōu)控制方法來解決此問題,控制變量u1(t),u2(t),u3(t)分別表示疫苗接種率,撲殺率以及消毒次數(shù)與消毒有效率的乘積,其中0≤ui ≤1(i=1,2),而0≤u3(t)≤M,其中M是正常數(shù).根據(jù)以上說明,模型(1.1)的最優(yōu)控制模型為

令x=(S1,S2,V,I,B)T,控制模型(4.1)可寫為向量形式:

其中u=(u1(t),u2(t),u3(t))T,再記f=?(t,x)+φ(t,x)u,而

其中pi,qi(i=1,2,3)代表正權(quán)重系數(shù).目標(biāo)函數(shù)表示在時(shí)間段[0,tf]對(duì)羊群接種疫苗,撲殺患病綿羊和對(duì)環(huán)境消毒的總成本.我們需要找到最優(yōu)控制對(duì)使得

其中U是控制集合,可表示為

證利用文[8]的理論來證明最優(yōu)控制的存在性,只需要驗(yàn)證下面4條性質(zhì)成立.

1) 控制集U是閉集,且是凸集;

2) 集合{(x0,u)}是非空的,其中x0是模型(4.1)是初始值,而u ∈U;

3) 模型(4.1)的等式右邊的向量函數(shù)f是連續(xù)的,且f=?(t,x)+φ(t,x)u;

4) 目標(biāo)函數(shù)的被積函數(shù)在集合U是凸的,且存在常數(shù)ε>1,ω1>0,ω2使得

由U的定義,1)和2)成立.f顯然是連續(xù)的,3)成立.控制變量u1,u2,u3在被積函數(shù)中的平方項(xiàng)出現(xiàn),故被積函數(shù)在控制集U上是凸的.而

取ω1=,ω2=0,ε=2,條件(4)成立.即存在一個(gè)最優(yōu)控制對(duì)u?∈U使得J(u?)=minu∈U{J(u)}.

定義Hamiltonian函數(shù)為

其中λi(i=1,2,3,4,5)是各狀態(tài)變量的伴隨變量.下面求各伴隨變量關(guān)于t的導(dǎo)數(shù),得到伴隨方程為

且上面伴隨方程滿足橫截條件λi(tf)=0(i=1,2,3,4,5).由最優(yōu)性條件

再考慮控制變量的邊界條件,我們有

至此,我們得到了最優(yōu)控制對(duì)的表達(dá)式.

5.數(shù)值模擬

本節(jié)利用數(shù)值模擬的方式解釋了理論結(jié)果,并結(jié)合圖像提出了一些控制布病的措施.令A(yù)=150,b=0.2,μ1=0.15,d=0.84,σ=0.9,β=7×10?4,?=4×10?4,μ2=0.25,δ=0.4,?=0.18,ν=0.15,k=12,m=6,n=4,ε=0.6.

由圖1(a),當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時(shí),布病最終消失,而由圖1(b),當(dāng)基本再生數(shù)R0>1時(shí),布病最終成為地方病.

由理論結(jié)果與圖1可知,要想控制布病的傳播,關(guān)鍵在于令基本再生數(shù)R0小于1,而在實(shí)際應(yīng)用中,人們通常采用疫苗接種、環(huán)境消毒、以及撲殺患病動(dòng)物等措施來控制布病的傳播.由圖2可知上述控制策略對(duì)布病的控制有積極作用.

6.總結(jié)

本文建立了一類包含環(huán)境傳播的不完全免疫的多階段綿羊布病模型,并研究了模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).本文還討論了關(guān)于布病控制成本的最優(yōu)控制問題,得到了最優(yōu)控制對(duì)的存在性和表達(dá)式.最后利用數(shù)值模擬的方法驗(yàn)證了理論結(jié)果,并提出一些控制布病傳播的策略.