Banach空間中關(guān)于m-增生算子零點的一種新的粘性隱式迭代算法

潘靈榮,王元恒

(1.浙江開放大學(xué)溫嶺學(xué)院,浙江 溫嶺 317500;2.浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

1.引言

變分不等式理論在基礎(chǔ)科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)研究中起到了重要的作用,例如在最優(yōu)化、最優(yōu)控制、力學(xué)和微分方程等領(lǐng)域受到了許多學(xué)者的關(guān)注,見文[1-8].

令H是實Hilbert空間且具有內(nèi)積〈·,·〉,E是H中的非空閉凸子集,設(shè)A:為非線性算子.經(jīng)典的變分不等式問題即找到x?∈E滿足

設(shè)A1,A2:是兩個非線性算子,CENG[8]引入一個迭代算法,找到了一個非擴張映射的不動點集與變分不等式問題(1.2)的解集的公共元.

(x?,y?)∈E×E滿足上式,易知式(1.1)是式(1.2)的特殊情況.

2019年,蔡鋼[9]考慮了更一般的變分不等式問題(1.3),運用超梯度方法和粘性隱式迭代算法,找到關(guān)于一個非擴張映射的不動點集與兩個逆強單調(diào)算子的變分不等式問題的解集的公共元.

(x?,y?)∈E×E滿足上式,其中0≤a<1,λ1,λ2是正實數(shù).顯然,式(1.1)和式(1.2)是式(1.3)的特殊情況.

近年來,關(guān)于運用隱中點規(guī)則進行粘性迭代算法的收斂性分析的研究成果較多,如ZHANG[10]在自反的一致凸Banach空間中構(gòu)造了非擴張映射與m-增生算子的粘性隱式中點法則,如下

在適當(dāng)?shù)目刂茥l件下,證明了迭代序列的強收斂性.

在Hilbert空間中,KE和MA[11]研究了廣義的粘性隱規(guī)則算法逼近于非擴張映射的不動點,構(gòu)造迭代序列如下:

當(dāng)參量滿足一定的條件時,證明了序列的強收斂定理.

受以上工作的啟發(fā),我們研究了新的廣義粘性隱式算法并證明了由該算法生成的序列強收斂到m-增生算子零點和變分不等式問題(1.3)的解集的公共元.

2.預(yù)備知識

設(shè)X是實Banach空間,X?是X的對偶空間,C是X中的非空閉凸子集.令J:2X?是賦范對偶映射,定義為J(x)={f ∈x?:〈x,f〉=‖x‖·‖f‖=‖x‖2},?x ∈X.這里〈·,·〉表示X與X?之間的廣義對偶配對.

對?? ∈(0,2],ξ,η ∈X,空間X的凸性模δX(?)定義如下：

如果δX(?)>0,那么稱X是一致凸的.

空間X的光滑模ρX定義如下：

設(shè)D(A)={z ∈C:Az/=?}和R(A)={Az:z ∈D(A)}分別是算子A ?C ×C上的定義域和值域.如果存在j(x ?y)∈J(x ?y),使得〈Ax ?Ay,j(x ?y)〉≥0,?x,y ∈C,那么稱算子A是增生的.

如果對α>0和j(x ?y)∈J(x ?y),有〈Ax ?Ay,j(x ?y)〉≥α‖Ax ?Ay‖2,?x,y ∈C,那么稱算子A是α-逆強增生的.若R(I+rA)=C對所有的r >0成立,那么稱增生算子A是m-增生的,這里記A的零點集為A?1(0)={z ∈D(A):0∈Az}.設(shè)Jr=(I+rA)?1(r >0)為A的預(yù)解式,若A是m-增生的,則Jr是非擴張的且F(Jr)=A?1(0).

設(shè)D是C中的一個子集,定義映射Q:對?x ∈C和t ≥0,Qx+t(x ?Qx)∈C,有Q(Qx+t(x ?Qx))=Qx,則稱Q是太陽的.如果對所有的x ∈D,有Qx=x,則稱映射Q是一個收縮.一個太陽非擴張收縮既是太陽收縮的,也是非擴張的.

映射T:稱為嚴(yán)格壓縮的,若存在常數(shù)ρ ∈(0,1),滿足

為了得到本文的結(jié)果,還需要以下引理.

引理2.1[12]設(shè)X是實Banach空間,C是X中的非空閉凸集,如果算子A:是α-逆強增生的,那么有

其中ξ,η ∈C,λ>0,如果,那么稱I ?λA是非擴張的.

引理2.2[13]X是光滑Banach空間,假設(shè)Q:是收縮的且J是X的賦范對偶映射,那么下列陳述是等價的

(a)Q是太陽和非擴張的;

(b)‖Qξ ?Qη‖2≤〈ξ ?η,J(Qξ ?Qη)〉,?ξ,η ∈X;

(c)〈ξ ?Qξ,J(η ?Qξ)〉≤0,?ξ ∈X,η ∈C.

引理2.3[14]設(shè)l >0,若X是一致凸實光滑Banach空間,那么存在一連續(xù)嚴(yán)格增的凸函數(shù)g:[0,2l]R,g(0)=0,使得對所有的x,y ∈Bl,有

引理2.6[17]C是Banach空間X的非空閉凸子集,T:是具有不動點的非擴張映射.若X有弱序列連續(xù)對偶映射,則映射I ?T在零處半閉(即當(dāng)I是恒等映射,如果xn ?x,‖xn ?Txn‖→0,那么x=Tx).

引理2.7[18]X是一致光滑Banach空間,C是X的非空閉凸子集.T:是非擴張映射且F(T)≠?.f:是壓縮映射.那么定義為xt=tf(xt)+(1?t)Txt,t ∈(0,1)的序列xt強收斂到F(T) 中一點.若定義映射Q:ΠC F(T)為Q(f)=,f ∈ΠC,則Q(f)滿足下列變分不等式

引理2.8[19]X是Banach空間,C是X中的非空閉凸子集,且A1,A2:是兩個非線性算子.QC是太陽非擴張收縮.對?λ1,λ2>0,a ∈[0,1),下列結(jié)果是等價的:

3.主要結(jié)果

定理3.1令X是一致凸和一致光滑的Banach空間,C是X中的非空閉凸子集,假設(shè)QC:是太陽非擴張收縮的,Ai:是di-逆強增生算子,這里i=1,2.f:是嚴(yán)格壓縮映射,其參數(shù)ρ ∈(0,1),A是X中的m-增生算子,滿足?=F(G)∩A?1(0)≠?,這里G的定義見引理2.8,定義序列{xn}如下：

那么序列{xn}強收斂到p ∈?,也是下列變分不等式的解

證設(shè)p ∈?,由引理2.8知,u=QC(p ?λ1A1p),p=QC(I ?λ2A2)(ap+(1?a)u).根據(jù)序列{xn}的定義有

移項整理得‖zn ?p‖≤‖xn ?p‖.進一步有

由于Jr是非擴張的,可知

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可得

所以{xn}有界.

移項整理得

這里M1=supn≥0(‖xn‖+‖zn‖).

定義序列{wn}為xn+1=βnxn+(1?βn)wn,n ≥0.

如果rn ≤rn+1,由引理2.5有

另一方面,根據(jù)(3.4)式和(3.5)式,得

結(jié)合(3.6)式、(3.7)式和{wn}的定義,我們有

由條件(i)-(v)知

由(3.1)式,(3.2)式和引理2.1知

將(3.9)式代入(3.10)式,得到

結(jié)合(3.3)式和(3.11)式,進一步可知

由引理2.2和2.3,發(fā)現(xiàn)

再次由引理2.2和2.3,可得

整理后可知

由于0

由(3.1)式、(3.3)式和(3.16)式,可得

移項整理得

由(3.8)式,(3.12)式,(3.13)式,條件(i),條件(ii)和g的性質(zhì),可知

由(3.17)式和(3.18)式,得到

根據(jù)序列{xn}的定義,有

由條件(i),(ii)和(3.8)式,得到

移項整理,可知

由(3.8)式,(3.17)式和(3.20)式,得到

由(3.8)式,(3.20)式和(3.21)式,得

結(jié)合(3.21)式和(3.22)式,可知

由引理2.5,得到

根據(jù)(3.23)式,得到

同理,可知

由(3.21)式和(3.24)式,得

因為X是一致光滑Banach空間且序列{xn}是有界的,所以存在xn的子序列弱收斂到ω,由引理2.8可知G是非擴張的,從(3.19)式和引理2.6,可知ω ∈F(G).再由(3.25)式和引理2.6,可知ω ∈A?1(0).因此ω ∈?.根據(jù)引理2.7,得到〈(I ?f)p,j(p ?ω)〉≤0,?ω ∈?.由于j是弱序列連續(xù)對偶映射,有26)

根據(jù)定理3.1,可得到下述結(jié)果.

定理3.2令X是一致凸和一致光滑的Banach空間,C是X中的非空閉凸子集,假設(shè)QC:是太陽非擴張收縮的,Ai:是di-逆強增生算子,這里i=1,2.f:是嚴(yán)格壓縮映射,其參數(shù)ρ ∈(0,1),A是X中的m-增生算子,滿足?=F(G)∩A?1(0)≠?,這里G的定義見引理2.8,定義序列{xn}如下：

那么序列{xn}強收斂到p ∈?,也是下列變分不等式的解〈(I ?f)p,j(p ?q)〉≤0,?q ∈?.

4.應(yīng)用于均衡問題

設(shè)D是Hilbert空間H的非空閉凸子集,?:D×D →R為二元函數(shù),這里R是實數(shù)集,均衡問題是指找到x ∈D,使得?(x,y)≥0,對于?y ∈D.

為了解決以上的均衡問題,設(shè)函數(shù)?滿足下列條件:

對于r >0和x ∈H,定義Tr:H →D為Tr={v ∈D:,這里?滿足上述條件(A1)-(A4).記均衡問題的界集為EP,單值映射Tr為固定非擴張映射,且EP(?)=F(Tr),其中EP(?)是閉凸集.我們得到下面的結(jié)果.

定理4.1設(shè)D是Hilbert空間H的非空閉凸子集,Ai:是di-逆強單調(diào)映射,這里i=1,2.f:是嚴(yán)格壓縮映射,其參數(shù)ρ ∈(0,1),令A(yù)是X中的m-增生算子,?:R滿足條件(A1)-(A4),假設(shè)?=F(G)∩F(Tr)∩A?1(0)≠?,這里G的定義見引理2.8,定義序列{xn}如下

那么序列{xn}強收斂到p ∈?,也是下列變分不等式的解