修正的Picard算子在Orlicz空間中的指數(shù)加權(quán)逼近

姜?jiǎng)匍獏歉氯盏?/p>

(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022;2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

1.引言及預(yù)備知識

對于f:R→R,Picard算子為

文[1]中對Picard算子進(jìn)行了修正,其修正的Picard算子為

其中f是使積分有限的函數(shù),且有

其中a>0,n ≥na,na=[4a2]+1.

對于φa(x)=e2ax,x ∈R,n ≥na時(shí)有

其中對?k ≥0,ek(x)=xk.

當(dāng)a →0時(shí),由于

文[2]研究了修正的Picard算子在帶指數(shù)權(quán)Lp空間中的逼近問題,并得出相應(yīng)的逼近結(jié)果如下

本文用M(u)和N(v)表示互余的N函數(shù),關(guān)于N函數(shù)的定義及性質(zhì)詳情可見文[3]中的論述.定義Orlicz空間中的范數(shù)

由文[3]知,Orlicz范數(shù)還可定義為

文中C為常數(shù),不同處C可能不同.

在此之前,文[6]研究了正線性算子在無限區(qū)間的Lp加權(quán)逼近問題,文[7-8]分別介紹和研究了廣義Picard算子的相關(guān)定義及一些性質(zhì),[9]研究了光滑Picard奇異積分算子的基本收斂率問題,文[10]給出了基于兩個(gè)參數(shù)的卷積型奇異積分算子的收斂性結(jié)果,但在Orlicz空間中Picard算子指數(shù)加權(quán)逼近的問題尚未有人研究.本文在指數(shù)加權(quán)Orlicz空間中利用Minkowski不等式,Hlder不等式,凸函數(shù)的Jensen不等式以及Orlicz空間中連續(xù)模的性質(zhì)給出該算子的加權(quán)逼近正定理,并通過Korovkin定理得到了相關(guān)的收斂性質(zhì).由于Orlicz空間比Lp空間大,它是Lp空間的拓展,尤其是由不滿足?2條件的N函數(shù)生成的Orlicz空間是Lp空間的實(shí)質(zhì)性的拓展和提升,考慮到Orlicz空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)比Lp空間復(fù)雜得多,故在Orlicz空間內(nèi)研究逼近問題能夠體現(xiàn)一定的分析技巧、一定的推理難度和理論意義.

2.若干引理

引理4表示帶有權(quán)函數(shù)w(t)且在R上定義的加權(quán)Orlicz空間,在內(nèi)的Korovkin型定理如下:

令w(t)為在實(shí)軸上的正連續(xù)函數(shù)并滿足

用wmin,wmax分別表示w(t)在有限區(qū)間上的最小值和最大值.

又根據(jù)上述Korovkin型定理?xiàng)l件,可選定A1使得

所以能得到如下不等式:

又由條件可知當(dāng)n →∞時(shí),有

且在[?A,A]上連續(xù),對給定的?ε′ >0,?δ >0,使得

由條件知當(dāng)n充分大時(shí),有

引理5證畢.

3.主要結(jié)論

其中γ由引理3中所說.

證對c ∈R,由引理3有

定理2證畢.

定理3若,a>0,則

證由引理5知只需證明

當(dāng)n →∞時(shí),j=1的情況顯然成立.

當(dāng)j=2時(shí),根據(jù)引理1-2并結(jié)合文[2]中定理5.2,有

當(dāng)n →∞時(shí),j=2的情況成立,結(jié)合引理5即可以完成定理3的證明.

定理4令,x是f的加權(quán)Lebesgue點(diǎn),則

綜上所述,定理4得證.