基于綜合難度模型的“立體幾何”試題難度分析
——以2017-2022年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷為例

嚴 瑾 夏世嬌 吳仁芳

一、問題的提出

隨著時代的不斷發(fā)展，我國高考試卷呈現(xiàn)出從多樣化發(fā)展到統(tǒng)一化回歸的趨勢[1]。為落實高考改革總體要求，新高考試卷成為各省市教師和學(xué)者研究的重點，其中試題難度的分析又是研究中的熱點。

綜合難度模型是研究試卷綜合難度的重要工具之一。該模型由學(xué)者Nohara 于2001 年建立，首次提出了“總體難度”的概念，將總體難度劃分為“實際背景”“問題擴展”“運算水平”“推理過程”4個部分。我國學(xué)者鮑建生在總體難度的基礎(chǔ)上構(gòu)建了數(shù)學(xué)課程綜合難度系數(shù)模型[2]；隨后，研究者們在該模型的基礎(chǔ)上，提出了多種課程難度模型和實驗難度模型[3-5]。這些模型較好地刻畫了課程難度和實驗難度，但由于分析對象不同，這些難度模型無法直接適用于中高考測試。武小鵬在鮑建生等人的綜合難度系數(shù)模型的基礎(chǔ)上，分析并結(jié)合中高考特點，構(gòu)建了基于測試項目的綜合難度系數(shù)模型。這一模型改進了以往綜合難度系數(shù)模型中權(quán)重的計算方式，由直接相加轉(zhuǎn)變?yōu)槔肁HP 理論進行計算，一定程度上避免了主觀因素的影響，更加貼近實際情況[6]。

綜觀已有文獻，少有針對某個知識單元進行高考數(shù)學(xué)試題難度的探討?！傲Ⅲw幾何”單元在高考試題中的分值比重較大，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，尤其是直觀想象、邏輯推理上發(fā)揮著重要的作用，對其進行難度分析是必要的。為此，基于武小鵬改進的綜合難度模型，本文對“立體幾何”單元試題進行難度分析。

需要指出的是，3+3模式目前正在全國高考試點推進，2021 年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷也正式出臺。對比2020、2021、2022 年高考試卷，為便于對試題難度應(yīng)用綜合難度模型，研究將傳統(tǒng)的全國Ⅰ卷對應(yīng)到新高考Ⅰ卷，將傳統(tǒng)的全國Ⅱ卷對應(yīng)至全國Ⅱ卷，全國Ⅲ卷對應(yīng)至全國甲卷，具體如表1所示：

表1 高考試卷省份統(tǒng)計表

本文將分析各卷“立體幾何”試題的難度特點及差異，以期為“立體幾何”知識單元的命題和教學(xué)提供參考。

二、研究設(shè)計

（一）研究對象

選取近六年全國卷高考數(shù)學(xué)理科Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷一共18 套試卷“立體幾何”知識單元涉及的試題，其中解答題將1、2小問拆開成2道題分別統(tǒng)計，具體樣本統(tǒng)計如表2所示：

表2 2017-2022全國高考試卷中立體幾何試題統(tǒng)計

由表2 可見，“立體幾何”試題總體數(shù)量上穩(wěn)定，每種題型的波動不大。考查方式傾向于選擇題和解答題，填空題出現(xiàn)較少。分值在17-22 分上下波動。重點圍繞三視圖、表面積、棱錐棱柱體積、線面之間的位置關(guān)系、線線角和線面角以及二面角的正弦/余弦值。要更深層次地了解“立體幾何”試題難度，需要做進一步的難度分析。

（二）研究方法

1.“立體幾何”綜合難度模型的建立

武小鵬團隊的綜合難度模型由背景因素、參數(shù)水平、運算水平、推理能力、知識含量、解題的思維方式、認知水平7 個難度因素組成，對整張測試卷的整體難度進行分析，“立體幾何”單元作為試卷的一部分，其知識結(jié)構(gòu)與其他單元存在差異，因此考慮對模型的影響因素進行修改。

綜觀近年關(guān)于“立體幾何”單元的研究，以及《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017 年版2020 年修訂）》對于試題命制的要求，初步確定增加條件含量、字符閱讀量、條件是否模糊、解決方案多樣性、結(jié)果開放性這5 個難度因素。根據(jù)與數(shù)學(xué)教育教學(xué)專家、一線教師的交流研討，發(fā)現(xiàn)立體幾何中的概念，主要包括關(guān)于位置的概念和形狀的概念，要確定立體圖形的位置與形狀，需要學(xué)生弄清條件關(guān)系，根據(jù)已有條件從二維平面上分析三維圖形特征，應(yīng)當對條件因素予以保留；閱讀障礙不利于學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)提取和處理信息，增加字符閱讀量這個條件是必要的；條件是否模糊、解決方案多樣性、結(jié)果開放性這三個因素涉及結(jié)構(gòu)不良問題，結(jié)構(gòu)不良問題對于學(xué)生能力考查的層次很高，在近六年高考卷中鮮少出現(xiàn)，缺乏難度對比的樣本，也無從比較差異性，因此不宜放入綜合難度模型中。

由此，“立體幾何“綜合難度系數(shù)模型的影響因素確定為背景因素、參數(shù)水平、運算水平、推理能力、知識含量、解題的思維方式、認知水平、條件含量及字符閱讀量9 個因素，其水平劃分與內(nèi)涵如表3所示：

表3 “立體幾何”綜合難度系數(shù)模型結(jié)構(gòu)與內(nèi)涵

綜合難度系數(shù)模型是對九個因素和因素內(nèi)各個水平進行合理加權(quán)，整合成綜合指標的過程。因素的難度系數(shù)為：

（1）[7]

整套試題的總綜合難度系數(shù)為：

（2）[8]

符號意義如表4所示：

表4 公式（1）符號意義

首先確定各個因素的權(quán)重。立體幾何單元各個因素的數(shù)據(jù)幾乎無波動性，數(shù)據(jù)間相關(guān)關(guān)系不明顯，而且富有明顯的數(shù)字大小的信息特征，適宜選取AHP層次分析法來確定各個因素權(quán)重。利用層次分析法確定權(quán)重的步驟如下[9]：

（1）構(gòu)造判斷矩陣

對9 個因素指標進行重要程度的排序，量化標準如表5所示：

表5 指標之間比較量化規(guī)定

根據(jù)以上評分標準確定判斷矩陣A，aij表示第i個指標相對于第j個指標得到的量化值。

（2）計算九個因素的權(quán)重（因素內(nèi)各水平的權(quán)重系數(shù)確定方法同上）

其中，λmax表示判斷矩陣的最大特征值，RI為隨機一致性指標，RI的取值表見表6。

表6 RI取值

當CR<0.1，可認為矩陣A具有一致性。

2. 綜合難度模型中各難度系數(shù)的構(gòu)建

使用專家評審法構(gòu)建判斷矩陣。專家組由11人組成，其中3 人是數(shù)學(xué)教育方向的碩士研究生導(dǎo)師，2 人是從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究的碩士生導(dǎo)師，2 人是具有多年教學(xué)經(jīng)驗的一線高中教師，2名課程與教學(xué)論方向的碩士研究生，2名數(shù)學(xué)教育方向的碩士研究生，通過專家組的評判得到評分標度數(shù)據(jù)。

（1）各因素的權(quán)重系數(shù)計算

依據(jù)上述計算方法，通過對11 位教師計算的結(jié)果求平均找近似的方法得到如表7的數(shù)據(jù)。

表7 各因素標度值

不同因素的判斷矩陣A為：

依據(jù)判斷矩陣A得到向量

進一步得到9 個因素的權(quán)重系數(shù)ki=（0.23，0.40，0.73，1.37，0.95，2.18，2.03，0.81，0.32），經(jīng)一致性檢驗，CR=0.0563<0.1，該結(jié)果具有較好的一致性。

根據(jù)專家對不同水平的評判結(jié)果，得到不同水平權(quán)重系數(shù)計算信息表，如表8所示：

表8 各因素不同水平權(quán)重系數(shù)計算信息表

因素知識含量解題的思維方式認知水平條件含量字符閱讀量代碼e12 e13 e23 f12 g12 g13 g23 h13 0.81 i12 0.29 0.27 0.22 0.33 0.23 0.26 0.39 0.29 0.25平均值0.65 0.72 0.38近似值1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 1/5 i13 1/3 h23 1 1 1/3 1/5 1/5 1■1■■1 h12 1 3■1 5■■■■■1 5 1 5 1■ ■■■■1 3 A 1 3 3 1■■■■■■■■( )1 3■■■■■■■■1 1 3■■■■■■■1 3 1■■■■1 5 1 1 1 3 1 1■■■■5■■ ■i23■3 1■5 1■■5 3 1 5 1■ ■3 1 1 3 1 1■ ■Ai 1/15 15 1/5 1/25 1 2/3 1 15 1/9 3 3 1/3 1 3 0.61 0.64 0.14 0.10 0.43 0.26 0.25 0.75 0.43 0.22 0.09 0.32 ai 0.46 k52 k61 k53 k51 k62權(quán)重編碼k72 k91 k92 k93 0.50 k71 5 0.30 k73 k81 0.90 1.92 0.78權(quán)重1.50 k82 0.27 1.83 1.29 0.42 1 1 k83 0.30 1.29 0.66 0.96 1.38

經(jīng)一致性檢驗，CR1=0.0121，CR2=0.0331，CR3=0.0121，CR4=0.0331，CR5=0.0331，CR6=0.0000，CR7=0.0612，CR8=0.0000，CR9=0.0868。CRi<0.1，不同水平的權(quán)重系數(shù)之間存在較好的一致性。

（2）模型數(shù)據(jù)的收集與分析

邀請6 名數(shù)學(xué)教育碩士依據(jù)模型結(jié)構(gòu)，對18 套試卷中“立體幾何”題目進行分類編碼，并邀請2 名一線數(shù)學(xué)教師對其分析的結(jié)果進行一致性檢驗。在處理解答題第二問的條件含量時，如果第一、第二小問無關(guān)聯(lián)，只計算第二問和題干的條件；如果第一問的條件對第二問有影響，則加上第一問的條件。類似地，在計算第二問的字符閱讀量時，如果第一、第二小問無關(guān)聯(lián)，只計算第二問和題干的字符閱讀量，否則加上第一問的字符閱讀量。以例1為例，編碼如下：

例題 1：（2022 新高考 I 卷選擇題第 4 題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫。已知該水庫水位為海拔148.5m 時，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m 時，相應(yīng)水面的面積為180.0km2，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m 上升到157.5m 時，增加的水量約為

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

此題難度水平如下：生活背景（以南水北調(diào)工程為背景）；沒有參數(shù)；復(fù)雜數(shù)值計算（運算水平相對提高）；簡單推理（要求簡單分析海拔變化和增加的水量之間的體積關(guān)系）；少量知識含量；順向思維；運用識記水平（要求學(xué)習者運用棱臺體積公式）；三個以及以上條件含量（本題可以使用的條件有：水庫水位的海拔高度、水面的面積、海拔高度變化）；大量字符閱讀量。

（3）統(tǒng)計結(jié)果

統(tǒng)計編碼結(jié)果得表9：

表9 近六年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“立體幾何”試題綜合統(tǒng)計

依據(jù)9 個因素的權(quán)重系數(shù)，即（0.23，0.40，0，73，1.37，0.95，2.18，2.03，0.81，0.32），以及上述表格結(jié)果，利用公式2計算每套試卷的綜合難度系數(shù)。

三、研究結(jié)果

（一）各因素不同水平對比

圖1 各因素不同水平對比折線圖

（二）綜合難度對比

將所收集數(shù)據(jù)代入模型計算，得出各因素綜合難度系數(shù)di，匯總為下表：

進一步計算得到全國Ⅰ卷的綜合難度系數(shù)為8.17，全國Ⅱ卷的綜合難度系數(shù)為7.80，全國Ⅲ卷的綜合難度系數(shù)為7.34。全國Ⅰ卷難度最大，全國Ⅱ卷次之，全國Ⅲ卷難度最小，這符合全國高考試卷以往的命題難度。

根據(jù)表10繪制雷達圖，如圖2所示：

表10 2017-2022高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“立體幾何”試題各因素的難度系數(shù)

圖2 2017-2022年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“立體幾何”試題綜合難度系數(shù)雷達圖

觀察雷達圖可知：

（1）影響“立體幾何”試題難度的9 個因素中，背景因素和參數(shù)水平的難度系數(shù)最小，而知識含量、解題的思維方式、字符閱讀量比背景因素和參數(shù)水平略大一些，難度系數(shù)最高的是運算水平、推理能力、條件含量和認知水平；

（2）在運算水平、知識含量2 個因素上，全國Ⅰ卷的難度與全國Ⅱ卷基本持平，高于全國Ⅲ卷；在對推理能力的考查中，全國Ⅰ、Ⅲ卷要高于Ⅱ卷；而在解題的思維方式、條件含量、參數(shù)水平這3 個因素中，全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷無明顯差異，難度水平基本持平；

（3）計算全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ“立體幾何”試題9 個因素難度系數(shù)值的極差R=xmax-xmin，發(fā)現(xiàn)全國Ⅰ卷“立體幾何”試題各因素難度系數(shù)的極差為R1=1.18，全國Ⅱ卷的極差為R2=1.15，全國Ⅲ卷的極差為R3=0.98，說明全國Ⅲ卷“立體幾何”試題在九個因素難度上的平衡性略強于全國Ⅰ、Ⅱ卷。

四、結(jié)論及建議

（一）研究結(jié)論

1.“立體幾何”單元難度差異不顯著

從綜合難度系數(shù)上看，全國Ⅰ卷難度最大，全國Ⅱ卷次之，全國Ⅲ卷難度最小，符合全國高考試卷以往的命題難度，彼此間差異不明顯。從各因素難度水平上看，對比折線圖可知，九個難度因素各水平占比相似，難度重合度較高，但三種類型試卷所適用的地區(qū)有所不同，難度因素水平差異不明顯，不利于學(xué)生的發(fā)展。

2.“立體幾何”單元在難度上存在較為穩(wěn)定的層次性

在選擇題中，若立體幾何為第1-6 的試題，基本涉及九個難度因素中較低的水平，若題號為7-10，則涉及九個難度因素中較高的水平，若題號為11-12的試題，其綜合性和技巧性明顯高于其他試題。在填空題中，若出現(xiàn)在13-14 題，一般為較低水平試題，題號15 為中等水平試題，題號為16 的試題則一般綜合性和技巧性較強。在解答題中，每一道立體幾何大題都設(shè)有兩問，第一問一般設(shè)置難度水平較低的試題，而第二問則會相應(yīng)地增加難度。

3.“立體幾何”單元在難度上強調(diào)學(xué)習的過程性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017 年版2020 年修訂）》強調(diào)處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生在背景和過程中主動探究、認識建構(gòu)、理解結(jié)論[10]。這一點可以從簡單數(shù)值運算水平試題較少，而推理能力、認知水平這兩個難度因素的水平相對較高上得到印證。除此之外，字符閱讀量和條件含量較高說明高考試題強調(diào)學(xué)生在解決相關(guān)問題時不僅要注意相關(guān)條件的含義，而且還要對試題中的信息進行分析、篩選、加工，進而解決相關(guān)問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習的過程性。

（二）命題及教學(xué)建議

1. 對高考命題的建議

基于研究結(jié)果，對照《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“高中課標2020年修訂版”）相關(guān)要求，提出以下建議。

（1）增加背景因素，注重問題情境的設(shè)置

近六年全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考理科數(shù)學(xué)試卷“立體幾何”單元試題中設(shè)置了少量含有不同背景因素的試題，但大部分試題仍然脫離情境，不利于學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)，也不符合高中課標2020 年修訂版對現(xiàn)階段高中生數(shù)學(xué)學(xué)習的要求。應(yīng)當注重在不同題型中設(shè)置含有問題情境的試題，激勵學(xué)生應(yīng)用學(xué)科知識探索實際生活，這對學(xué)生處理問題的能力提出了更高的要求，有利于發(fā)揮數(shù)學(xué)高考的選拔功能。

（2）適當降低運算水平和解題技巧，注重難度的均衡

近六年全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考理科數(shù)學(xué)試卷“立體幾何”單元試題對運算水平和推理能力的要求明顯高于其他因素，過高強度的運算和高難度的推理，影響學(xué)生對整張試卷的時間安排，根據(jù)高中課標2020年修訂版的要求，應(yīng)當均衡各因素難度，處理好考試時間和題目難度的關(guān)系，給學(xué)生充足的思考時間[10]。

（3）適當改變題型結(jié)構(gòu)與數(shù)量，增加試題靈活性

近六年全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考理科數(shù)學(xué)試卷“立體幾何”單元試題在總數(shù)量上完全相同，而且每種題型的題目在數(shù)量上甚至題號上都無顯著差距，盡管新高考卷與以往不同，新設(shè)置了多選題，在思維量上有所增加，但仍然接近傳統(tǒng)的知識考查方式。囿于命題定勢，降低了試題的靈活性，容易導(dǎo)致學(xué)生機械的訓(xùn)練。根據(jù)高中課標2020 年修訂版的要求，可以設(shè)置一定數(shù)量的應(yīng)用問題，還應(yīng)包括開放性問題和探究性問題，從而考查學(xué)生靈活應(yīng)變的能力。

2. 對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的建議

（1）注重基礎(chǔ)教學(xué)，重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生“四基”

高中課標2020 年修訂版重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（“四基”）的教學(xué)，通過對近六年高考理科數(shù)學(xué)試卷“立體幾何”部分的研究發(fā)現(xiàn)，運算水平、推理能力、知識含量等因素的難度系數(shù)均較高，即無論是哪種類型的試卷，都重視對學(xué)生“四基”的考查，由此可以推測“四基”仍將是高考試卷考查的核心，因此高中教師在“立體幾何”的日常教學(xué)中，不宜讓學(xué)生把過多的時間放在解決難題、怪題上，而應(yīng)當注重基礎(chǔ)知識的教學(xué)，使學(xué)生更加深刻地理解和掌握基礎(chǔ)知識，讓學(xué)生在學(xué)習活動中鍛煉基本技能，獲得基本活動經(jīng)驗，并通過教學(xué)設(shè)計讓學(xué)生體驗立體幾何的基本思想，體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)。要提高分析能力，理解、抽象試題中的數(shù)學(xué)關(guān)系。采取治本的策略，從根本上解決問題[11]。

（2）注重情境教學(xué)，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生“四能”

近年來，新課程改革和相應(yīng)課程標準都強調(diào)重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用，從近六年高考“立體幾何”試題中也可以看到，包含背景因素的應(yīng)用型試題在逐漸增加，這有助于考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力和分析、解決問題的能力（四能）。因此教師在“立體幾何”單元的教學(xué)中，應(yīng)該創(chuàng)設(shè)一些符合生活實際的問題情境，通過教師的引導(dǎo)讓學(xué)生參與到情境教學(xué)中，既引發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，也能發(fā)展學(xué)生的思維過程，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意識。此外，還應(yīng)該注意將“立體幾何”單元的知識與其他版塊知識相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識間的緊密聯(lián)系，將這些知識共同用于解決問題。

（3）注重過程教學(xué)，重視學(xué)習特點，培養(yǎng)學(xué)生“六大核心素養(yǎng)”

立體幾何內(nèi)容重在對直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查，突出對數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、推理論證和運算求解等關(guān)鍵能力的考查[12]。而在近六年高考試卷“立體幾何”單元的試題中，僅需記住公式代入數(shù)字計算的題目也在逐漸減少，實行新高考后更是微乎其微，因此硬背公式已不再符合新高考的要求。由于學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)知識具有過程性，其對于數(shù)學(xué)知識從認識到理解、掌握、應(yīng)用不能一蹴而就，而是一個循序漸進的過程，因此切不可直接將知識呈現(xiàn)在學(xué)生面前讓其記住，而應(yīng)讓學(xué)生在思考的過程中實現(xiàn)對定義、定理以及公式的理解與應(yīng)用，同時獲得核心素養(yǎng)的發(fā)展。