基于與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)的巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑估算

曹洋兵，謝浩，張遂，黃真萍，邱冬冬，關(guān)慰清

(1. 福州大學(xué)紫金地質(zhì)與礦業(yè)學(xué)院，福建 福州 350108； 2. 自然資源部丘陵山地地質(zhì)災(zāi)害防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(福建省地質(zhì)災(zāi)害重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室)，福建 福州 350003； 3. 貴州省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局一〇三地質(zhì)大隊(duì)，貴州 銅仁 554300； 4. 石油化工工程質(zhì)量監(jiān)督總站，北京 102500)

0 引言

巖體結(jié)構(gòu)面力學(xué)效應(yīng)理論與巖體失穩(wěn)災(zāi)害實(shí)例均表明，數(shù)量龐大、 規(guī)模中等的節(jié)理等隨機(jī)結(jié)構(gòu)面對(duì)巖體邊坡或地下工程巖體穩(wěn)定性具有重要影響[1-3]，是工程建設(shè)中不可回避的關(guān)鍵研究對(duì)象. 從隨機(jī)結(jié)構(gòu)面中分析場(chǎng)地巖體結(jié)構(gòu)面發(fā)育分布特征和確定性規(guī)律，是目前合理解決巖體工程問題的主要策略. 隨機(jī)結(jié)構(gòu)面形狀被普遍認(rèn)為是薄圓盤[4-6]，在此條件下，科學(xué)合理地確定其平均直徑就成為重要的研究方向.

從統(tǒng)計(jì)學(xué)基本理論看，隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑應(yīng)基于研究區(qū)工程巖體所有隨機(jī)結(jié)構(gòu)面規(guī)模的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、 分析和確定. 但是，獲取所有結(jié)構(gòu)面數(shù)據(jù)顯然是不可行的，故只能采用抽樣方法進(jìn)行平均直徑的統(tǒng)計(jì)、 推斷. 當(dāng)前，估算平均直徑的方法主要是基于露頭面全跡長(zhǎng)的方法. Warburton[7]推導(dǎo)出露頭面全跡長(zhǎng)與直徑分布的隱式函數(shù)關(guān)系式； Priest[8]獲得結(jié)構(gòu)面直徑服從負(fù)指數(shù)分布時(shí)露頭面平均全跡長(zhǎng)與平均直徑的關(guān)系式； 伍法權(quán)[9]認(rèn)為露頭面與結(jié)構(gòu)面交切的平均全跡長(zhǎng)即為圓形的平均弦長(zhǎng)，并由此獲得基于露頭面全跡長(zhǎng)的平均直徑估算公式； Zhang等[10]基于圓形統(tǒng)計(jì)窗法，推導(dǎo)露頭面平均全跡長(zhǎng)計(jì)算式，并估算平均直徑； Tonon等[11]針對(duì)常見的露頭面全跡長(zhǎng)概率分布形式，推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)面直徑分布形式和平均直徑； 張國強(qiáng)等[12]提出無限測(cè)窗下跡長(zhǎng)分布概率密度函數(shù)的多項(xiàng)式形式，并推導(dǎo)相應(yīng)的直徑分布概率密度函數(shù)的解析解； 黃磊等[13]在露頭面平均全跡長(zhǎng)估算平均直徑的計(jì)算中糾正截短值造成的誤差； 吳超等[14]基于DBI(Davies-Bouldin index)指標(biāo)和離散系數(shù)確定節(jié)理跡長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)的下限值，實(shí)現(xiàn)對(duì)節(jié)理樣本的優(yōu)化并獲取節(jié)理分布特征； Xu等[15]提出一種新的快速模糊聚類方法，用其對(duì)結(jié)構(gòu)面進(jìn)行分組，提高露頭面全跡長(zhǎng)幾何特征估計(jì)的合理性.

此外，Priest[16]基于數(shù)值積分法，通過反復(fù)嘗試直徑分布特征，在計(jì)算獲取的未刪截半跡長(zhǎng)特征與實(shí)測(cè)值高度吻合時(shí)確定直徑分布模型與參數(shù)，提出隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑的反分析方法； Song[17]基于矩形統(tǒng)計(jì)窗法，將文獻(xiàn)[16]的數(shù)值積分法改進(jìn)為Monte-Carlo法，通過對(duì)比模擬值和實(shí)測(cè)值確定直徑分布特征； 梅濤等[18]在節(jié)理跡長(zhǎng)分布已知條件下，設(shè)定不同平均直徑初值，通過對(duì)比平均直徑計(jì)算值和初值，確定最佳直徑分布和平均直徑； 黃磊[19]將文獻(xiàn)[17]的實(shí)體模擬法改進(jìn)為程序計(jì)算法，即直接通過幾何計(jì)算獲得各種直徑分布下的未刪截半跡長(zhǎng)特征，對(duì)比計(jì)算值和實(shí)測(cè)值，得到最佳直徑分布； Hekmatnejad等[20]以全跡長(zhǎng)為校準(zhǔn)參量，通過對(duì)比實(shí)測(cè)值和計(jì)算值，開展基于數(shù)值積分法的結(jié)構(gòu)面直徑無偏估計(jì).

綜上所述，關(guān)于巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑估算的研究目前在估算方法、 理論計(jì)算和工程應(yīng)用等方面均已取得重要進(jìn)展，但仍存在以下兩方面的問題： 1)露頭面全跡長(zhǎng)難以被全部獲取，即露頭面平均全跡長(zhǎng)屬于估計(jì)量而非實(shí)測(cè)量，其估算過程受隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑分布形式的約束，不易求得準(zhǔn)確的平均直徑； 2)基于實(shí)測(cè)半跡長(zhǎng)或全跡長(zhǎng)的平均直徑反分析方法，由于關(guān)聯(lián)函數(shù)的復(fù)雜性、 多極值等而存在多解性問題，同時(shí)存在直徑概率密度函數(shù)確定不嚴(yán)格(多以擬合誤差極小值作為直徑概率密度函數(shù)選擇依據(jù))等問題. 基于此，本研究在半跡長(zhǎng)測(cè)線法條件下，通過理論推導(dǎo)，提出一種巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑的估算方法; 基于與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，應(yīng)用隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)對(duì)該方法進(jìn)行應(yīng)用檢驗(yàn)和相關(guān)討論，以期為準(zhǔn)確獲取巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑提供有價(jià)值的參考和借鑒.

1 基于與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)的平均直徑估算方法

利用半跡長(zhǎng)測(cè)線法對(duì)巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面采樣后，首先需要進(jìn)行分組，再分別對(duì)各組結(jié)構(gòu)面的產(chǎn)狀、 直徑和體密度等進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析. 因此，下述平均直徑估算理論公式推導(dǎo)是基于某組結(jié)構(gòu)面進(jìn)行的. 在推導(dǎo)之前，首先做出如下3個(gè)假設(shè)： 1) 每個(gè)結(jié)構(gòu)面是厚度可忽略的圓盤狀； 2) 同組結(jié)構(gòu)面的產(chǎn)狀相同； 3) 結(jié)構(gòu)面直徑與產(chǎn)狀的分布函數(shù)相互獨(dú)立.

設(shè)隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑為D； 直徑的概率密度函數(shù)為y(D)； 露頭面全跡長(zhǎng)為l； 露頭面全跡長(zhǎng)概率密度函數(shù)為f(l)； 概率分布函數(shù)為F(l)； 與測(cè)線交切全跡長(zhǎng)概率密度函數(shù)為g(l)； 概率分布函數(shù)為G(l)； 與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)為m； 與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)概率密度函數(shù)為h(m)； 概率分布函數(shù)為H(m).

露頭面全跡長(zhǎng)越長(zhǎng)，與測(cè)線交切的概率越大，則實(shí)際與測(cè)線交切全跡長(zhǎng)落到區(qū)間[l，l+dl]內(nèi)的概率與全跡長(zhǎng)成正比，即：

G(l)=klf(l)dl

(1)

式中:k為比例系數(shù).

與測(cè)線交切全跡長(zhǎng)的概率密度函數(shù)為：

(2)

由密度函數(shù)性質(zhì)可知：

(3)

故：

(4)

又因?yàn)椋?/p>

(5)

式中:μl為露頭面平均全跡長(zhǎng).

(6)

在全跡長(zhǎng)為l的條件下，假設(shè)跡線與測(cè)線交點(diǎn)沿跡長(zhǎng)隨機(jī)分布，則與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)均勻分布在(0,l)范圍內(nèi)，其條件概率密度為：

(7)

因?yàn)榕c測(cè)線交切的半跡長(zhǎng)落在[m，m+dm]的概率為h(m)dm，等于所有的測(cè)線中l(wèi)>m情況下與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)在[m，m+dm]的概率，即：

(8)

故與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)概率密度函數(shù)為：

(9)

將式(6)代入式(9)，與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)的概率密度函數(shù)可轉(zhuǎn)換為：

(10)

在獲得式(10)的過程中，未對(duì)與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)和露頭面全跡長(zhǎng)的概率分布形式作出任何假設(shè)，故該式具有一定的普適性.

限于篇幅，在未對(duì)露頭面全跡長(zhǎng)概率分布形式作出假設(shè)時(shí)，此處可直接參考文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)的露頭面全跡長(zhǎng)概率密度函數(shù)與直徑的關(guān)系式：

(11)

式中:μD為隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑.

將式(11)代入式(10)，可得與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)的概率密度函數(shù)與直徑的關(guān)系式：

(12)

對(duì)上式中的雙重積分交換積分次序：

(13)

將式(13)積分并化簡(jiǎn)：

(14)

以下假設(shè)直徑服從負(fù)指數(shù)分布：

(15)

限于篇幅，在假設(shè)直徑服從負(fù)指數(shù)分布時(shí)，此處可直接參考文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)的露頭面平均全跡長(zhǎng)與平均直徑關(guān)系式：

(16)

將式(15)和式(16)代入式(14)，得：

(17)

又因?yàn)椋?/p>

(18)

式中:μm為與測(cè)線交切平均半跡長(zhǎng).

將式(17)代入式(18)，可得：

(19)

交換積分次序得：

(20)

值得說明的是，上式中m和D分別表示同一結(jié)構(gòu)面與測(cè)線交切的半跡長(zhǎng)和直徑，因此必有0≤m≤D. 而上式對(duì)變量m先積分，則對(duì)m積分的上限和下限分別取D和0時(shí)，才能體現(xiàn)0≤m≤D這一關(guān)系. 由此，積分可得：

(21)

故隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑為：

(22)

由上文可知，式(14)未對(duì)分布形式作任何假設(shè)，是與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)與隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑之間的普適關(guān)系式. 據(jù)此，可采用數(shù)值積分法或反分析法確定直徑分布形式與平均直徑. 為便于工程應(yīng)用，推導(dǎo)出式(22). 該式為隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑服從負(fù)指數(shù)分布條件下，與測(cè)線交切平均半跡長(zhǎng)和平均直徑的關(guān)系式，是本研究所提出的平均直徑的估算方法. 該方法無需對(duì)露頭面平均全跡長(zhǎng)進(jìn)行估算，更加快速、 簡(jiǎn)單. 需要強(qiáng)調(diào)的是，式(22)的推導(dǎo)過程未對(duì)與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)分布形式作出任何假設(shè)，在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，可直接通過測(cè)線法來獲取與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)樣本，并進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)與分析，得到與測(cè)線交切平均半跡長(zhǎng).

2 應(yīng)用檢驗(yàn)與討論

由于無法獲得實(shí)際工程巖體所有隨機(jī)結(jié)構(gòu)面的直徑數(shù)據(jù)，故本研究基于巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)，闡述所提方法的應(yīng)用過程，并檢驗(yàn)其可靠性. 采用現(xiàn)有成熟軟件的標(biāo)準(zhǔn)均勻隨機(jī)數(shù)生成方法和Monte-Carlo隨機(jī)模擬法[21]獲得所需的隨機(jī)結(jié)構(gòu)面各幾何參量分布特征. 基于AutoCAD三維建模技術(shù)對(duì)隨機(jī)結(jié)構(gòu)面進(jìn)行幾何表征，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)結(jié)構(gòu)面的三維網(wǎng)絡(luò)模擬，具體設(shè)置情況如下：

1) 設(shè)定隨機(jī)結(jié)構(gòu)面生成區(qū)域大小和體密度. 為保障隨機(jī)模擬的可靠性，生成區(qū)域要足夠大(寬度和高度不小于平均直徑的3倍，長(zhǎng)度不小于平均直徑的10倍). 在不同的平均直徑條件下，通過改變體密度大小使得與測(cè)線交切的半跡長(zhǎng)數(shù)量足夠多，一般認(rèn)為150條以上的隨機(jī)結(jié)構(gòu)面采樣數(shù)能保證工程應(yīng)用精度[21]. 本研究中樣本數(shù)量均不低于200條，從而保證數(shù)據(jù)量充足，以盡可能減小誤差.

2) 設(shè)定隨機(jī)結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀與隙寬. 上述公式推導(dǎo)之前已假定每組結(jié)構(gòu)面完全平行，本次網(wǎng)絡(luò)模擬取傾向?yàn)?0°、 傾角為80°、 隙寬為0.005 m. 由于假定各參量的概率分布相互獨(dú)立，故這兩個(gè)參數(shù)值對(duì)平均直徑估算無直接影響.

3) 設(shè)定隨機(jī)結(jié)構(gòu)面為負(fù)指數(shù)分布，其平均直徑分別設(shè)置為4、 5、 10、 15、 20、 25、 30、 35、 40、 45、 50 m，共11種工況. 此處的平均直徑是真實(shí)工程巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面的平均直徑，可作為本方法的檢驗(yàn)依據(jù).

基于上述隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)與參數(shù)設(shè)置，可生成不同平均直徑下隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模型，如圖1(a)所示. 在生成區(qū)域中心附近，沿長(zhǎng)度方向設(shè)置截面作為露頭面，對(duì)模型剖切后可獲得該露頭面上所有跡線，如圖1(b)所示. 在該露頭面上設(shè)置測(cè)線并清除不與測(cè)線相交的結(jié)構(gòu)面，可測(cè)量出所有與測(cè)線交切的結(jié)構(gòu)面半跡長(zhǎng)，如圖2所示. 進(jìn)行與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)分析，如圖3(以平均直徑為5 m的隨機(jī)結(jié)構(gòu)面為例)所示，發(fā)現(xiàn)直徑為負(fù)指數(shù)分布時(shí)，與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)呈現(xiàn)右偏分布特征. 前人研究表明[22-24]，半跡長(zhǎng)多為負(fù)指數(shù)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，通過卡方檢驗(yàn)對(duì)比，對(duì)數(shù)正態(tài)分布(卡方值為4.4)優(yōu)于負(fù)指數(shù)分布(卡方值為8.7). 故應(yīng)用對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，可獲得與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)的期望值，即為與測(cè)線交切平均半跡長(zhǎng).

圖1 隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模型和露頭面跡線圖

圖2 與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)測(cè)量示意圖

圖3 與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)概率密度直方圖和對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)擬合圖

為盡可能消除隨機(jī)誤差，對(duì)同一條測(cè)線分別采用與測(cè)線交切的上半跡長(zhǎng)和下半跡長(zhǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并應(yīng)用式(22)估算平均直徑，由此可獲得11種平均直徑工況下的平均直徑估算值(D估算). 計(jì)算各種平均直徑工況下估算值相對(duì)于真實(shí)值(D真實(shí))的相對(duì)誤差，如下：

(23)

與測(cè)線交切的上半跡長(zhǎng)得出的平均直徑估算值、 相對(duì)誤差分別用D估算上、δ上表示； 與測(cè)線交切的下半跡長(zhǎng)得出的平均直徑估算值、 相對(duì)誤差分別用D估算下、δ下表示. 計(jì)算結(jié)果如表1所示，通過式(22)估算的巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑與真實(shí)平均直徑差距較小，估算值的相對(duì)誤差為0.23%～12.13%. 此外，通過模擬和計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，相對(duì)誤差隨著采樣數(shù)增多而減小. 由此可以推斷，相對(duì)誤差較大的原因在于基于半跡長(zhǎng)測(cè)線法的隨機(jī)結(jié)構(gòu)面采樣數(shù)較小. 根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)樣本數(shù)量足夠多時(shí)，估算的平均值必然逐步收斂于真實(shí)值. 因此，在工程應(yīng)用時(shí)，應(yīng)當(dāng)盡量多采集樣本. 總體上看，上述檢驗(yàn)條件下，0.23%～12.13%的相對(duì)誤差已足以說明本方法的準(zhǔn)確性與實(shí)用性.

表1 各種工況下平均直徑真實(shí)值與估算值的對(duì)比

需要指出的是，式(22)的推導(dǎo)過程表明，本研究提出的平均直徑估算方法在半跡長(zhǎng)測(cè)線法條件下適用，且隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑適用于負(fù)指數(shù)分布的情況，在其余情況下的適用性還有待研究. 但是，實(shí)際觀測(cè)經(jīng)驗(yàn)與結(jié)構(gòu)面分級(jí)理論[1]均已表明，結(jié)構(gòu)面的規(guī)模越大，其數(shù)量越少. 現(xiàn)有研究[9, 21]對(duì)巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑概率密度函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)后，認(rèn)為直徑更有可能服從負(fù)指數(shù)分布，服從其它分布是由于人為舍棄或無法獲取微小結(jié)構(gòu)面所引起的. 因此，負(fù)指數(shù)分布極有可能是大部分工程巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面的真實(shí)分布情況.

3 結(jié)語

在半跡長(zhǎng)測(cè)線法條件下，提出基于與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)的巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑估算方法，應(yīng)用隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)對(duì)本方法進(jìn)行應(yīng)用檢驗(yàn)和討論，主要獲得以下結(jié)論：

2) 基于巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)，對(duì)本方法進(jìn)行檢驗(yàn). 結(jié)果表明，隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑估算值與真實(shí)值差距較小，估算值的相對(duì)誤差為0.23%～12.13%，說明本方法具有較好的準(zhǔn)確性與實(shí)用性.

3) 相較于目前的常用方法，本方法免去對(duì)露頭面平均全跡長(zhǎng)的估算步驟，直接基于實(shí)測(cè)的與測(cè)線交切半跡長(zhǎng)進(jìn)行估算，計(jì)算步驟簡(jiǎn)練且估算結(jié)果精確度較高，具有較高的應(yīng)用價(jià)值.