Jupyter交互式平臺(tái)在結(jié)構(gòu)化學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
——以“單電子原子薛定諤方程”為例

張浩，闞子規(guī)，林子涵，錢雨晨，司承運(yùn)，錢海

中國藥科大學(xué)理學(xué)院，南京 211198

結(jié)構(gòu)化學(xué)是從微觀角度認(rèn)識(shí)化學(xué)規(guī)律的學(xué)科，其以電子因素和空間因素兩條主線闡明原子、分子和晶體的結(jié)構(gòu)、性能和應(yīng)用，基本原理和方法廣泛應(yīng)用于化學(xué)、材料、醫(yī)藥等科學(xué)領(lǐng)域[1]。以量子力學(xué)、群論和晶體學(xué)等相關(guān)數(shù)學(xué)物理理論為基礎(chǔ)的知識(shí)體系能夠很好地引導(dǎo)學(xué)生突破經(jīng)驗(yàn)表象逐步認(rèn)識(shí)化學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)化學(xué)科學(xué)思維[2]，但也對(duì)教師和學(xué)生的數(shù)理基礎(chǔ)、邏輯思維及空間想象力提出了較高的要求。這其中量子力學(xué)基礎(chǔ)部分尤為突出，例如單電子原子薛定諤方程求解過程涉及到大量數(shù)學(xué)演算和推導(dǎo)過程，另外由解析解獲得量子數(shù)、能量、角度分布、概率密度等函數(shù)圖像也極為抽象，難以理解。傳統(tǒng)教學(xué)多以數(shù)學(xué)演算板書推導(dǎo)和波函數(shù)圖像PPT演示相結(jié)合的形式，教學(xué)過程中學(xué)生往往被動(dòng)接受理論知識(shí)，參與度低、互動(dòng)性差、缺乏趣味性，產(chǎn)生畏難情緒。

隨著互聯(lián)網(wǎng)及計(jì)算機(jī)信息技術(shù)的發(fā)展，在課堂上使用慕課、微課、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)互動(dòng)平臺(tái)變得越來越容易。南開大學(xué)孫宏偉教授建設(shè)結(jié)構(gòu)化學(xué)課程網(wǎng)站[2]，課程資源素材豐富且共享自由下載。這些互動(dòng)平臺(tái)不僅提供了強(qiáng)大的圖形化、可視化工具調(diào)試不同參數(shù)下的結(jié)果，還能夠進(jìn)行科學(xué)計(jì)算和解析復(fù)雜的函數(shù)問題，使得學(xué)生不再單一枯燥地面對(duì)靜態(tài)的書本知識(shí)。我們嘗試在結(jié)構(gòu)化學(xué)教學(xué)中引入一款基于Web瀏覽器的開源交互式在線應(yīng)用Jupyter[3]，它簡單易學(xué)，允許用戶把所有的說明性文字、數(shù)學(xué)公式、代碼和可視化內(nèi)容結(jié)合在一個(gè)可輕松共享的IPython Notebook文檔(ipynb)里，不僅在數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，而且在教育教學(xué)實(shí)踐中顯示了良好效果[4–7]。

1 Jupyter的使用優(yōu)點(diǎn)

Jupyter非常重要的概念是其單元格(Cell)模式，其中Markdown單元格用于記錄敘述性文檔可以展示相關(guān)理論概念等(見圖1)，Code單元格能進(jìn)行編碼并同步顯示結(jié)果實(shí)現(xiàn)科學(xué)計(jì)算及可視化模擬等功能。每個(gè)單元格能夠獨(dú)立運(yùn)行使得調(diào)試變得容易，局部錯(cuò)誤不會(huì)影響整個(gè)文檔；也允許從其他ipynb中直接組合并且以模塊化形式更新。Jupyter及其應(yīng)用插件是免費(fèi)共享普及的，使得其制作的ipynb文檔資源豐富，為不同層次的課程提供借鑒和參考。此外，Jupyter平臺(tái)有多樣化的版本，主要包括輕量化的Jupyter Notebook、功能多樣的工作臺(tái)式Jupyter Lab以及網(wǎng)絡(luò)化部署Jupyter Hub等，教師根據(jù)教學(xué)需要選擇適用的版本。結(jié)構(gòu)化學(xué)的教學(xué)內(nèi)容包含了大量理論介紹、數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)、結(jié)構(gòu)模擬、函數(shù)圖像等，Jupyter能輕松地將這些內(nèi)容整合到同一ipynb文件中。類似于使用PPT教學(xué)，國外很多教師制作ipynb用于化學(xué)教學(xué)活動(dòng)[5–7]。

圖1 包含Markdown單元格和Code單元格的Jupyter頁面截圖

2 教學(xué)實(shí)踐

我們將以“單電子原子薛定諤方程及其解”為例從理論知識(shí)演示、波函數(shù)推導(dǎo)、電子云分布可視化三個(gè)方面充分展示Jupyter交互式平臺(tái)在結(jié)構(gòu)化學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用及優(yōu)勢(shì)。

2.1 理論知識(shí)演示

核外只有一個(gè)電子的原子稱為單電子原子，如H原子和He+，Li2+等類氫原子，其結(jié)構(gòu)簡單，薛定諤方程可以嚴(yán)格求解，但求解過程也非常復(fù)雜，包括笛卡爾坐標(biāo)到球極坐標(biāo)變換、變數(shù)分離、偏微分方程求解、量子力學(xué)基本假設(shè)條件判斷、波函數(shù)歸一化、復(fù)數(shù)解實(shí)數(shù)解變換等。當(dāng)然該部分教學(xué)重點(diǎn)是波函數(shù)解析解的物理意義及其描述狀態(tài)的性質(zhì)，大多數(shù)專業(yè)的課程要求并不需要嚴(yán)格推導(dǎo)求解過程而是主要介紹其解析思路，例如Laplace算符球極坐標(biāo)表示，R方程和Θ方程求解過程都是推薦學(xué)生閱讀相關(guān)量子力學(xué)專著[1]。然而量子力學(xué)中許多新概念、新方法、新原理是和經(jīng)典物理學(xué)完全不同的，教學(xué)內(nèi)容的簡化雖然使學(xué)生專注于波函數(shù)性質(zhì)的理解，但也讓學(xué)生一知半解，對(duì)很多推導(dǎo)過程感到困惑[8]。

針對(duì)這一系列問題，我們可以利用Jupyter Lab中的ipydrawio插件繪制流程圖將教學(xué)知識(shí)點(diǎn)簡明扼要地呈現(xiàn)出來(見圖2)。專業(yè)化流程圖設(shè)計(jì)應(yīng)用drawio具有豐富的圖形構(gòu)件，能夠清晰地展現(xiàn)單電子原子薛定諤方程的求解過程，幫助學(xué)生理清思路進(jìn)而高效地講授該內(nèi)容(見補(bǔ)充材料S1)。Jupyter的單元格中支持Markdown標(biāo)記語言編輯敘述性文檔，且其語法簡單易學(xué)，不需要對(duì)格式進(jìn)行編輯即可輸出美觀大方的文檔用于理論概念的闡述。傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)化學(xué)課程中數(shù)學(xué)公式繁多，PPT編輯工作量巨大；Jupyter支持LaTex數(shù)學(xué)符號(hào)輸入，非常便于教學(xué)過程中相關(guān)數(shù)學(xué)物理理論的介紹與推演。Jupyter還能通過RISE插件以PPT形式進(jìn)行課堂演示講授，圖2為RISE呈現(xiàn)的類PPT效果截屏。當(dāng)然相對(duì)于PPT豐富的模板和所見即所得的操作，Jupyter的顯示效果還相對(duì)單一，特別對(duì)一些圖片、視頻及動(dòng)畫演示的處理還不夠好。筆者通常是將現(xiàn)有的PPT批量地轉(zhuǎn)為png位圖Base64編碼嵌入到Markdown單元格中，是一種不錯(cuò)的替代方式。相信在不久的將來Jupyter自由共享的特性能夠推出功能更加強(qiáng)大的類PPT插件用于課程教學(xué)講演。

圖2 單電子原子薛定諤方程求解思路的類PPT頁面截圖

2.2 波函數(shù)推導(dǎo)

“大部分物理學(xué)和全部化學(xué)的定律之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)，我們已完全了解，而唯一的困難僅僅是正確應(yīng)用這些定律時(shí)所導(dǎo)出的方程，解起來太困難?！边@是著名量子力學(xué)奠基者P. A. M. Dirac的句子。有趣的是計(jì)算化學(xué)家J. A. Pople在獲得諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)時(shí)也同樣提到這段話[9]。由此可見數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)及運(yùn)算在量子力學(xué)中的重要性及困難程度，而這正是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)化學(xué)過程中的“攔路虎”。

Jupyter脫胎于IPython Notebook，它能夠使用Python語言編程處理數(shù)學(xué)運(yùn)算并能夠同步地將處理結(jié)果用MathJax渲染顯示(見圖3)。我們可以借助Python中的科學(xué)計(jì)算程序庫SymPy、SciPy等進(jìn)行量子力學(xué)相關(guān)的公式推導(dǎo)和科學(xué)運(yùn)算[10]。例如，常微分方程(ODE)的Φ方程的解析相對(duì)于R方程和Θ方程較為簡單，但是其求解過程也能很好體現(xiàn)波函數(shù)單值性、歸一化、態(tài)疊加原理等量子力學(xué)假設(shè)的應(yīng)用，有助于建立波函數(shù)解析的基本思路。傳統(tǒng)上Φ方程的推導(dǎo)大都是根據(jù)常系數(shù)二階齊次線性方程的通解獲得其復(fù)數(shù)特解，再根據(jù)歐拉公式和態(tài)疊加原理進(jìn)行線性組合獲得實(shí)數(shù)解。對(duì)于我校這類醫(yī)藥類相關(guān)專業(yè)的學(xué)生來說復(fù)變函數(shù)內(nèi)容還是相對(duì)不熟悉，無論是歸一化積分運(yùn)算還是邊界條件判斷都不太好理解[11]。其實(shí)Φ方程復(fù)數(shù)解的物理意義并不明確因而其推導(dǎo)意義也不大，借助SymPy強(qiáng)大運(yùn)算能力調(diào)用dsolve()函數(shù)便可解析常微分方程，并直接獲得實(shí)數(shù)域通解為三角函數(shù)形式(見圖3)。學(xué)生早在中學(xué)時(shí)期就已經(jīng)掌握三角函數(shù)的運(yùn)算，大大降低了知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)難度。當(dāng)然我們也可以根據(jù)歐拉公式的變形較為簡單地推導(dǎo)獲得復(fù)數(shù)解，也進(jìn)一步深化態(tài)疊加原理及實(shí)數(shù)解復(fù)數(shù)解關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

圖3 Jupyter中Φ方程推導(dǎo)的實(shí)例截圖

更重要的是Jupyter實(shí)現(xiàn)的函數(shù)化編程思維和數(shù)學(xué)推演過程是一致的。Code單元格作為科學(xué)計(jì)算的編程載體(見圖3中In[])能夠同步顯示計(jì)算結(jié)果(見圖3中Out[])，與作為理論概念介紹載體的Markdown單元格相得益彰，能夠形成很好的交互式學(xué)習(xí)體驗(yàn)。通過簡單培訓(xùn)，學(xué)生在Jupyter中既可以同步地學(xué)習(xí)理論內(nèi)容和科學(xué)計(jì)算編碼，還能自主添加Markdown注釋，運(yùn)行和修改編碼形成自己的ipynb文件。實(shí)際教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)科學(xué)計(jì)算編程過程展現(xiàn)了極大的興趣，不但自己逐漸學(xué)會(huì)了SymPy符號(hào)計(jì)算編碼，還能夠幫助教師簡化編碼改進(jìn)計(jì)算過程。這一過程的實(shí)現(xiàn)需要學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容深入理解才能夠?qū)崿F(xiàn)，學(xué)生獲得了很棒的成就感。筆者也從中收獲頗多，真正地形成“教學(xué)相長，師生共進(jìn)”的教學(xué)氛圍。

2.3 波函數(shù)和電子云可視化

波函數(shù)不但決定電子在空間的概率密度分布，而且還規(guī)定了它所描述狀態(tài)下微觀體系的各種性質(zhì)。在結(jié)構(gòu)化學(xué)教學(xué)中，波函數(shù)的性質(zhì)既是教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。波函數(shù)圖形可以方便直觀地展示波函數(shù)性質(zhì)，進(jìn)而幫助學(xué)生理解微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律[12]。目前大多數(shù)結(jié)構(gòu)化學(xué)課程中多是通過專業(yè)科學(xué)軟件如MATLAB、3DMax、GaussView等實(shí)現(xiàn)的，這些軟件多是商業(yè)軟件非自由共享而且學(xué)習(xí)困難操作復(fù)雜；相關(guān)波函數(shù)預(yù)先封裝僅由學(xué)生簡單機(jī)械傳參調(diào)用，因而交互性能較差。

Python的SymPy及SciPy庫中內(nèi)嵌很多數(shù)學(xué)物理常用函數(shù)，比如單電子原子波函數(shù)Psi_nlm、徑向波函數(shù)R_nl、球諧波函數(shù)Ynm，連帶勒讓德多項(xiàng)式assoc_legendre等等。我們可以非常方便的調(diào)用，如圖4所示一行代碼就能夠列示出任何高階量子態(tài)(n = 6，l = 5，m = 4)的各種波函數(shù)。調(diào)用內(nèi)嵌函數(shù)時(shí)傳遞參數(shù)與結(jié)構(gòu)化學(xué)的規(guī)定有不少差異，使用中應(yīng)該認(rèn)真閱讀相應(yīng)的應(yīng)用程序編程接口(Application Programming Interface，API)文檔。實(shí)際教學(xué)過程中教師也可以引導(dǎo)學(xué)生閱讀程序庫原碼，既加深了相關(guān)波函數(shù)性質(zhì)的理解，還能培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)編程能力。波函數(shù)圖像雖然也能通過SymPy中的繪圖函數(shù)plot繪制，但是渲染顯示效果較為粗糙故并不推薦使用，重要地是其交互效果不佳，只能做簡單應(yīng)用。

圖4 調(diào)用SymPy庫中的內(nèi)嵌波函數(shù)實(shí)例

Python能夠成為當(dāng)前最流行的編程語言很大一部分原因就在于其在數(shù)據(jù)分析和可視化中的強(qiáng)大應(yīng)用。借助于“Python數(shù)據(jù)分析四板斧”Matplotlib、NumPy、SciPy、Pandas程序庫，我們能實(shí)現(xiàn)單電子原子電子云空間分布的可視化，還能夠從不同角度直觀地揭示各種電子云空間幾率分布的規(guī)律，并且編碼可視化非常便于學(xué)生通過修改代碼參數(shù)交互式分析函數(shù)圖像。如圖5所示，通過for循環(huán)結(jié)構(gòu)列示出各種量子態(tài)下的徑向概率分布曲線對(duì)比圖，學(xué)生很容易得出原子軌道隨著主量子數(shù)增加離核越遠(yuǎn)，圖中有(n ? l)個(gè)極大值峰和(n ? l ? 1)個(gè)節(jié)面，主峰位置隨著l增加而向核移近等結(jié)論。另外，現(xiàn)有教材通常僅提供了s、p、d、f軌道角度幾率分布圖，由電子能級(jí)填充規(guī)律可知第一個(gè)填充g軌道的元素原子序數(shù)應(yīng)該為 121，因此目前發(fā)現(xiàn)的元素沒有占用 g軌道的，其波函數(shù)圖像很難找到。如圖6所示僅僅修改角量子數(shù)(l = 4)便可預(yù)測出g軌道角度幾率分布圖，較容易地總結(jié)出g軌道具有節(jié)面數(shù)等于角量子數(shù)l、共9個(gè)簡并軌道可容納18電子等特征，有效地?cái)U(kuò)展學(xué)生的知識(shí)邊界。對(duì)于原子軌道空間分布來說，傳統(tǒng)教材使用較為單一的二維截面等值線圖來表示，而Jupyter可以選用渲染效果更加炫麗的熱力圖來增加課程的趣味性，讓學(xué)生搭配色彩多樣的colormap可以自主地體會(huì)到科學(xué)之美(見圖7)。而且可視化的編碼實(shí)現(xiàn)方式多樣，限于篇幅的原因，筆者在補(bǔ)充材料中貼出相應(yīng)的代碼。借助于Python強(qiáng)大的數(shù)據(jù)可視化功能，Jupyter能夠靈活地輸出各種各樣的波函數(shù)、電子云密度概率分布圖，還能鼓勵(lì)學(xué)生自主地運(yùn)用Python數(shù)據(jù)分析手段獲取單電子原子電子軌道的結(jié)構(gòu)特征，而不是傳統(tǒng)課程中“講授為主”的教學(xué)手段，有效地增強(qiáng)課程互動(dòng)性提高教學(xué)效果。

圖5 單電子原子徑向幾率分布圖

圖6 g軌道角度幾率分布圖

圖7 電子云空間分布熱力圖

3 教學(xué)反思

是化學(xué)課還是編程課？運(yùn)用Jupyter交互式平臺(tái)首先要解決好這一問題。如同PPT一樣Jupyter應(yīng)當(dāng)永遠(yuǎn)作為傳遞信息流的基本工具。結(jié)構(gòu)化學(xué)主要從原子、分子和晶體等微觀結(jié)構(gòu)領(lǐng)域揭示物質(zhì)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)之間的關(guān)系，其概念復(fù)雜抽象而且一般學(xué)校很難開展微觀實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，這些知識(shí)理論難以有效傳達(dá)給學(xué)生才是我們應(yīng)用Jupyter這一新興平臺(tái)的根本原因。通常結(jié)構(gòu)化學(xué)教學(xué)內(nèi)容在本科生和研究生階段均有涉及，我們?cè)诮虒W(xué)過程中應(yīng)該有針對(duì)性地講授編碼過程。Jupyter單元格模式能夠讓教師方便地編輯修改內(nèi)容而不影響整個(gè)文檔。對(duì)于本科生課程教學(xué)，教師可以屏蔽代碼只保留傳參接口便于學(xué)生修改數(shù)值創(chuàng)建所需要的圖形形成交互體驗(yàn)；而對(duì)于研究生課程則可以鼓勵(lì)他們創(chuàng)建不同的編碼和計(jì)算過程，編輯自己的ipynb文檔并將其應(yīng)用于自身的研究工作中。很可喜的是看到學(xué)生通過本課程的學(xué)習(xí)能夠用Matplotlib或Seaborn替代Origin、Graphpad等軟件處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪制論文圖表。

結(jié)構(gòu)化學(xué)已經(jīng)很難了，竟然還要編程？這是課程開始時(shí)不少學(xué)生發(fā)出的感嘆。其實(shí)本校本科生在大一時(shí)學(xué)習(xí)過Python程序設(shè)計(jì)，Jupyter的應(yīng)用已經(jīng)有了前期基礎(chǔ)，課程中教師簡單介紹所應(yīng)用程序庫的使用即可，而且相關(guān)程序庫API非常詳細(xì)且方便查閱，表1中列示Jupyter教學(xué)平臺(tái)中常用的Python程序庫及API文檔網(wǎng)址。作為醫(yī)藥背景的高校學(xué)生將程序設(shè)計(jì)應(yīng)用于專業(yè)課程學(xué)習(xí)的范例還不多，很難應(yīng)用編程去解決實(shí)際問題。而應(yīng)用Jupyter交互式平臺(tái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化學(xué)教學(xué)很好地改善了這一困局，能夠讓學(xué)生深刻體會(huì)程序語言在化學(xué)學(xué)習(xí)及相關(guān)科學(xué)研究中的應(yīng)用，深化所學(xué)，做到學(xué)以致用。在大數(shù)據(jù)和人工智能飛速發(fā)展的今天，大學(xué)生也應(yīng)該了解并掌握編程知識(shí)。事實(shí)上就學(xué)生反饋而言，這樣的教學(xué)形式能夠很好地激發(fā)學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的多學(xué)科綜合應(yīng)用能力，帶來“真香”體驗(yàn)。當(dāng)然，在現(xiàn)今教育改革中教學(xué)課時(shí)被進(jìn)一步壓縮背景下，結(jié)構(gòu)化學(xué)課程中引入Jupyter交互平臺(tái)一定程度上帶來教學(xué)時(shí)間緊張的問題。教師可以提前錄制課程先導(dǎo)視頻并上傳教學(xué)資料到在線學(xué)習(xí)網(wǎng)站，通過“線上線下結(jié)合”的方式減少學(xué)生對(duì)于Jupyter平臺(tái)的使用障礙。此外教師還可借助主題研討課、開放實(shí)驗(yàn)等教學(xué)形式深化Jupyter交互平臺(tái)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，有效地解決這一問題。

4 結(jié)語

將Jupyter交互平臺(tái)應(yīng)用于結(jié)構(gòu)化學(xué)教學(xué)中本質(zhì)上是利用Python編程解決數(shù)學(xué)推導(dǎo)、抽象概念可視化等結(jié)構(gòu)化學(xué)教學(xué)中的痛點(diǎn)。當(dāng)今化學(xué)等相關(guān)學(xué)科的發(fā)展早已擺脫了早期定性“練金術(shù)”思維，而是強(qiáng)調(diào)數(shù)理理論引入讓化學(xué)有章可循、有理可依，這也是結(jié)構(gòu)化學(xué)學(xué)科發(fā)展的背景。我們可以將Jupyter看成“PPT+科學(xué)計(jì)算+數(shù)據(jù)可視化”三合一的綜合平臺(tái)，運(yùn)用其能夠鞏固基本理論和原理并精細(xì)地分析典型結(jié)構(gòu)，有效地闡述結(jié)構(gòu)化學(xué)中結(jié)構(gòu)決定性質(zhì)、性質(zhì)反映結(jié)構(gòu)的基本特點(diǎn)。正如二三十年前PPT替代黑板成為主要教學(xué)平臺(tái)，結(jié)構(gòu)化學(xué)教學(xué)應(yīng)該主動(dòng)擁抱新興技術(shù)手段，有理由相信Jupyter交互平臺(tái)能夠在結(jié)構(gòu)化學(xué)及相關(guān)教學(xué)活動(dòng)中發(fā)揮巨大作用。

補(bǔ)充材料：可通過鏈接http://www.dxhx.pku.edu.cn免費(fèi)下載。